弹性矩阵-课件

晶体的弹性性质应力、应变张量，虎克定律弹性常数与对称性弹性波在晶体中传播2020/12/271压电铁电晶体是电介质，它具有介电性质；同时压电铁电晶体又是弹性介质，它又具有弹性性质，而压电效应就是反映了它的介电性质和弹性性质之间的耦合作用。不同晶体结构的压电铁电晶体，各向异性程度不一样，或者说独立的弹性常数的数目与晶体的对称性有关。

2020/12/272形变deformation在外力作用下，物体的大小和形状都要发生变化，通常称为形变。当讨论物体的转动和移动时，形变对运动物体的影响很小，是次要问题，一般可以忽略不计。当讨论振动的传播或压电效应等问题时，形变就成了重要问题，需要进行深入的讨论和研究。2020/12/273塑性和弹性

PlasticandElastic如果外力撤消后，物体不能恢复原状，这种性质就称为物体的塑性；如果外力撤消后，物体能恢复原状，这种性质就称为物体的弹性。自然界不存在完全的弹性体，也不存在完全的塑性体；只存在既有弹性又有塑性的物体。当外力较小时，形变也小，外力撤消后，形变消失，物体恢复原状；当外力较大时，外力撤消后，物体不能恢复原状。可见物体的弹性有一定的限度，超过这个限度就成为塑性。与压电有关的问题，都属于弹性范围内的问题，

2020/12/274应力、应变

应变张量:straintensor晶体中任一点的位置可以用所选定的坐标系的位置矢量来描述，它的三个分量为x1、x2、x3。当晶体发生形变时，其中每一点的位置均会发生改变。设形变前的某一点的位置矢量为r，形变后为r’（其分量为x’1、x’2、x’3），由于形变这一点的位移可以用位置矢衣来表示：

2020/12/275当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生变化，设最近邻的两点形变前的距离为dl（分量为dxi），形变后的距离为dl’（分量为dx’i），因为dx’i=dxi+di，而2020/12/276于是:2020/12/277利用以下关系：2020/12/278于是有:2020/12/279最后可得到形变前后距离的变化为:其中张量eik由下式给出:2020/12/2710该式给出了在物体形变时，它的长度单元的改变。例如（i/xk），当i=k时，代表伸缩应变（纵向应变），而当ik时，代表切应变（横向应变）。一般称eik为应变张量元。从上式直接可以看出eik=eki，即应变张量是对称的。

2020/12/2711在大多数情况下，应变是很小的，所以上式右方的第三项可以略去，于是应变张量元为：

2020/12/2712应变张量元的矩阵形式二级对称的张量，有六个独立元素2020/12/2713如果用x、y、z代表位置矢量r的三个分量；u、v、w代表位移矢量的三个分量；那么这六个张量元可写成为：2020/12/2714应变张量元的几何意义

正应变2020/12/2715体积元的体积改变量：

由形变引起的体积相对增量称为体膨胀为：2020/12/2716切应变shear由于发生切应变，原来的正方形变成了菱形，它的边长不改变

切应变exy=(v/x+u/y)/2的几何意义2020/12/2717由于切变AA’，BB’，CC’，DD’，图中u、v代表A点位移的分量，令AD=A’D’=x，AB=A’B’=y，则：所以exy=(v/x+u/y)/2=(1+2)/22020/12/2718由于应变张量是个对称的二阶张量，只有六个独立的元素，因此常被写成一个纵列矩阵，用S代表张量元，用一个新的足标=1、2、…、6来代替原来的足标，其对应关系如下：

S1S2S3S4S5S6exxeyyezz2eyz2ezx2exy

2020/12/2719应力张量stresstensor在没有形变的固体中，分子的排列是处于热平衡状态，作用在固体中任意一部分的合力都等于零。如果固体有形变，那么它就不再处于原来的平衡态，而会受到力的作用，该力会使物体具有恢复到平衡的趋向。2020/12/2720这种在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力称为应力。应力是一个二级张量，其各个分量为xx、yy、zz、yz、zy、xy、yx、xz、zx。为此我们也把应力称为应力张量。张量元的前一个足标代表应力的方向，后一个足标代表应力所作用面的法线方向。2020/12/2721作用在立方体上的应力张量元

2020/12/2722例如，作用在垂直于x轴的单位面积上沿x方向的应力是xx，这类应力是垂直于表面的，代表张力或压力；作用在垂直于x轴的单位面积上沿y方向的应力是yx，这类应力是沿着表面的，即平行于表面的切向，代表切应力。

2020/12/2723内应力作用在物体上的总力矩等于零，因此，存在如下关系：

应力张量：2020/12/2724单、双脚标之间的对应关系2020/12/2725应力张量也是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元素。所以对于晶体，也常常把应力张量写成一个纵列矩阵，以T（=1、2、…、6）来表示，其对应关系为：

T1T2T3T4T5T6xxyyzzyzzxxy应力张量和应变张量的情况有一点不同，当=4、5、6时，T=ij，而S=2cij（ij）。2020/12/2726作用在体积元上xyz的力与应力张量元ij之间的关系。如图所示，沿x方向力的分量有三个:

2020/12/2727所以作用在体积元xyz上力的x分量为：2020/12/2728作用在单位体积上力的x量为：同理：

以上公式在建立描述固体中弹性波传播的方程时将会用到。2020/12/2729胡克定律Hook’slaw对于足够小的形变，应变与应力成正比，因此应变分量是应力分量的线性函数，这一规律称为胡克定律，写成矩阵形式为:2020/12/2730弹性柔顺常数compliance弹性柔顺常数的物理意义:s11=(S1/T1)Tk，当其它应力分量Tk(k1)为常数（或Tk=0）时，由于沿x方向的伸缩应力T1的改变引起x方向伸缩应变S1的改变，与伸缩应力T1的改变成正比。可见s11只与x方向的伸缩应力T1和伸缩应变S1有关。2020/12/2731s12=(S1/T2)Tk，当其它应力分量Tk(k2)为常数（或Tk=0）时，由于沿y方向的伸缩应力T2的改变引起x方向伸缩应变S1的改变，与伸缩应力T2的改变成正比。或s12=(S2/T1)Tk，当其它应力分量Tk(k1)为常数（或Tk=0）时，由于沿x方向的伸缩应力T1的改变引起y方向伸缩应变S2的改变，与伸缩应力T1的改变成正比。可见s12为与y方向的伸缩应力T2和x方向的伸缩应变S1有关的弹性柔顺常数；或者为与x方向的伸缩应力T1和y方向的伸缩应变S2有关的弹性柔顺常数。

2020/12/2732s14=(S1/T4)Tk，当其它应力分量Tk(k4)为常数（或Tk=0）时，由于x面上的切应力T4的改变引起x方向伸缩应变S1的改变与切应力T4的改变之比（x面即yz平面）。或s14=(S4/T1)Tk，当其它应力分量Tk(k1)为常数（或Tk=0）时，由于x面上的伸缩力T1的改变引起x面上伸切应变S4的改变与伸缩应力T1的改变之比。可见s14为与x面上的切应力T4和x方向的伸缩应变S1有关的弹性柔顺常数；或者为与x方向的伸缩应力T1和x面上的切应变S4有关的弹性柔顺常数。

2020/12/2733s44=(S4/T4)Tk，当其它应力分量Tk(k4)为常数（或Tk=0）时，由于x面上的切应力T4的改变引起x面上切应变S4的改变与切应力T4的改变之比。可见s44只与x面上的切应力T4和切应变S4有关的弹性柔顺常数。其它弹性常数所代表的意义与s11、s12、s14和s44类似。

2020/12/2734矩阵形式的胡克定律还可写为

由于应力、应变都是二级张量，所以弹性柔顺常数sij共有36个，其中独立的弹性柔顺常数共21个（如果应力、应变都是9个独立分量，则弹性柔顺常数将为81个）。弹性柔顺常数是一个四级张量。2020/12/2735弹性刚度常数stiffness胡克定律也可表示为其中cij为弹性刚度常数，共有36个，独立的弹性刚度常数共21个，弹性刚度常数也是一个四级张量。2020/12/2736矩阵形式:2020/12/2737对于各向同性的多晶体，胡克定律的形式为式中s44=2（s11-s12），有两个独立的弹性常数；

2020/12/2738写成分量形式为：从胡克定律看出，各向同性物体的的应力T1、T2、T3只对伸缩形变有贡献，而与切应变无关；切应力T4、T5、T6只对切应变有贡献，而与伸缩形变无关。并且切应力T4只对切应变S4有贡献，与切应变S5、S6无关；T5、T6情况与此相同。

2020/12/2739实验上常采用杨氏模量Y，泊松比及切变模量G来代替弹性柔顺常数s11、s12、s44。它们之间的关系为：YangsmodulusPoissionratioShearmodulus2020/12/2740用杨氏模量Y，泊松比及切变模量表示的各向同性介质的虎克定律：2020/12/2741弹性常数与对称性2020/12/2742和介电常数一样，材料的弹性常数也与对称性有关。描写各向同性弹性介质的独立弹性常数只有两个；描写完全各向异性介质弹性介质的独立弹性常数共有21个；而介于各向同性与完全各向异性之间的介质，它们的独立弹性常数个数则介于221之间。2020/12/2743例如，属于三斜晶系1点群的压电晶体是完全各向异性的，独立的弹性常数共有21个。属于立方晶系的23点群和3m点群的压电晶体，是对称性最高的晶体，它接近于完全各向同性。独立的弹性常数只有三个。属于四方晶系4mm点群的BaTiO3晶体，独立弹性常数共有六个。属于六角晶系32点群的-石英晶体和点群的LiNbO3，独立弹性常数都是六个。属于正交晶系mm2点群的铌酸钡钠（Ba2NaNb5O15）晶体和222点群的酒石酸钾钠（NaKC4H4O64H2O）晶体，独立弹性常数有9个。不同对称性晶类的独立弹性常数2020/12/2744根据Neumann原则，晶体的对称性不仅表现在结构上，也表现在它的物理特性上，因此晶体的弹性常数必然和晶体的对称性密切相关。通常是晶体的对称性愈高，其独立的弹性常数分量数目愈少。2020/12/2745为了确定晶体具有的独立弹性常数，通常有两种方法：一种是脚标代换法；另一种是坐标变换法。由于坐标变换法具有普适性．因此我们首先讨论弹性常数张量的坐标变换。此外对于各向异性晶体，其弹性常数的数值都是对于正常晶体坐标系给出的，而实际使用的晶片往往是旋转切割的，其坐标选取与正常的晶体坐标系不同，为此必须将弹性常数张量从晶体坐标系变换到实际采用的坐标系中下面首先讨论应力和应变张量的坐标变换。2020/12/2746应力张量X和应变张量x坐标变换设新旧坐标系分别为O-x1,x2,x3和O-x’1,x’2,x’3,如右图示。新旧坐标系的坐标轴的方向余弦为：2020/12/2747上述新旧坐标系的方向余弦的9个数构成一个正交矩阵2020/12/2748因为应力T和应变S是二阶张量，所以它们的坐标变换遵从二阶张量的变换规则。首先考虑应力张量的坐标变换，设T’和T分别为坐标变换前后的应力张量，则根据二阶张量的变换法则有T’=A×A–1或[T’]=[A][T][A-1]采用爱因斯坦脚标重复自动求和规则，变换前后应力的分量可写成：T’ij=aimajnTmn。2020/12/2749将上式展开，首先考虑到i=j=1时应力分量T’11，有:将上式完全展开，得2020/12/2750整理，得:应力矩阵元采用缩写下标，上式可写为:2020/12/2751同理可以得出变换后应力张量的其余五个分量2020/12/2752上面六组联立代数方程组的矩阵形式式中：应力张量的坐标变换关系2020/12/2753矩阵[M]叫做应力张量的变换矩阵2020/12/2754按照完全相同的方法可以得出式中：应变张量S的坐标变换关系2020/12/2755矩阵[N]称为应变张量的变换矩阵注意矩阵M、N的不同！2020/12/2756使用完全类似的方法,还可以求出应力张量的逆变换矩阵[M]-1和应变张量的逆变换矩阵[N]-1,即[T]=[M]-1[T’],[S]=[N]-1[S’]并得出如下关系式:[M]-1=[N]t,[N]-1=[M]t式中,[M]t为[M]转置矩阵,[N]t为[N]的转置矩阵.2020/12/2757弹性常数张量的坐标变换设胡克定律在原是坐标中表示为 [S]=[c][T],[T]=[s][S]在坐标变换后新坐标系中表示为[S’]=[c’][T’],[T’]=[s’][S’]根据新旧坐标变换关系式有[S’]=[M][S],[T]=[N]-1[T’]故有[S’]=[M][c][T]=[M][c][N]-1[T’]2020/12/2758将上式和(1)比较得出弹性刚度常数在新旧坐标系中的变换关系为[c’]=[M][c][M]t(2)同理,可得到弹性柔顺常数在新旧坐标系中的变换关系[s’]=[N][s][N]t(3)由式(2)和(3)可知,只要知道了应力和应变张量的坐标变换矩阵[M]和[N],就可以求出弹性常数张量的坐标变换。2020/12/2759为了确定晶体独立弹性常数,必须根据晶体的对称性,并应用Neumann原则来完成,现在以三角系3m点群晶体为例子来进行讨论。对于三角晶系3m点群的晶系,x=0的面是对称面,z轴为三阶转轴,根据Neumann原则,晶体的弹性常数张量经上述对称性操作,其值不应改变。2020/12/2760对于x1=0的对称面,新旧坐标选取如下图,新旧坐标系之间的方向余弦矩阵为:2020/12/2761将上式代入应变张量矩阵的坐标变换矩阵[N]为：2020/12/2762将坐标变换矩阵代入弹性柔顺常数在新旧坐标系中的变换式：[s’]=[N][s][N]t得，2020/12/2763由于x=0面为对称面,新旧坐标系的弹性柔顺常数矩阵应该相等,即sij’=sij,为此只有下式成立时才能满足s15=s16=s25=s26=s35=s36=s45=s46=0所以弹性柔顺常数矩阵变成如下:2020/12/27642020/12/2765由于z(x3)轴为三阶转轴,新旧坐标系选取如图示,对此新旧坐标系的变换矩阵为:2020/12/2766将上式代入坐标变换矩阵2020/12/2767[N]的转置矩阵是2020/12/2768将[N]和[N]t代入[s’’]=[N][s’][N]t,再令[s’’]=[s’],得到s11=s22,,s13=s23,s14=-s24,s34=0,s44=s55,s56=2s14,s66=2(s11-s12).2020/12/2769又因为:2020/12/2770由此可见,独立的弹性柔顺常数只有s11,s12,s13,s14,s33,s44共六个所以2020/12/2771足标代换法以222点群为例。222点群表示有三个二次旋转轴，分别沿x,y,z方向。先考察沿z轴的二次旋转轴。因为z轴是二阶轴，当晶体绕z轴转180后，晶体坐标变换为，或2020/12/2772由于弹性柔顺常数是一个四阶对称张量，完善的写法应有四个足标。例如，s1111、s1122、s1123、s1212等等，通常为了方便，常用二个足标（缩写下标）代替四个足标。2020/12/2773四足标与双足标之间的关系为112233231312123456例如：s1111s11，s1122s12，s1123s14，s1212s66等。当晶体绕z轴转180后，四足标中的变换为，1111，2222，3333，23-23，13-13，1212；双足标中的变换为11，22，33，4-4，5-5，66。2020/12/277411，22，33，4-4，5-5，662020/12/2775绕z轴转180后：绕x、y轴转180后：2020/12/2776因为z轴是二阶轴，当晶体绕z轴转180后，弹性柔顺常数应保持不变，这就要求s’ij=sij,i,j=1,2,3,4,5,6可见，只有当s14=s15=s16=s34=s35=s46=s56=0时两者才完全一致。再利用222点群晶体的轴是二阶轴，重复上述方法，可以得到s16=s26=s36=s45=0。2020/12/2777最后得到属于正交晶系222点群晶体的弹性柔顺常数如下。其中独立弹性柔顺常数共9个。2020/12/27782020/12/27792020/12/27802020/12/27812020/12/2782压电陶瓷的弹性常数

先看弹性柔顺常数s11、s22、s33。因为s11反映压电陶瓷沿x方向伸缩形变的弹性柔顺常数，它只与x方向的弹性性质有关。同理，s22、s33是分别是反映压电陶瓷沿y方向和z方向伸缩形变的弹性柔顺常数，它们分别只与y方向和z方向的弹性性质有关。而经过极化处理后的压电陶瓷（设轴z轴为极化轴），沿z方向的性质就与沿x、y轴方向的性质就不一样了。所以s11s33、s22s33，但是对于x轴与y轴之间则没有任何差别，即xy平面是各向同性面。这就要求弹性柔顺常数s11=s22，于是得到s11=s22s33的结论。2020/12/2783s12、s13、s23等弹性柔顺常数。因为任何弹性介质，当纵向伸长时，横向都要产生收缩。而s12、s13、s23就是反映这一性质的弹性柔顺常数，所以s12、s13、s23都不可能等于零。由于压电陶瓷的xy平面是各向同性面，当其x轴与y轴之间互换时，弹性常数应保持不变，这就要求s13=s23。但是压电陶瓷的x轴与z轴之间不能互换，这就要求s12s23，于是得到s12s23=s23。此外还有s14=s24，s15=s25，s16=s26。2020/12/2784s44、s55、s66等弹性柔顺常数又因为xy平面的各向同性，当x轴与y轴之间互换时，弹性柔顺常数应保持不变，即，

因为：2020/12/2785而x轴、y轴与z轴之间不能互换，固有s44=s55s66。s14、s15、s16、s24、s25、s26、s34、s35、s36、s45、s46、s56等弹性柔顺常数，可用足标代换法证明它们皆等于零。2020/12/2786最后得到压电陶瓷的弹性柔顺常数用矩阵表示为：其中独立弹性柔顺常数为s11、s12、s13、s33、s44五个。2020/12/2787用上述相同的方法，可得到压电陶瓷的弹性刚度常数用矩阵表示为：其中独立弹性柔顺常数为c11、c12、c13、c33、c44五个。

2020/12/2788晶体中的弹性波

以平面波为例，简单介绍描述压电体中声波传播的方法2020/12/2789对于各向异性的晶体，它的弹性性质由胡克定律来描述。压电器件中有一类重要和应用广泛的领域：声表面波器件（SurfaceAcousticWaveDevices,SAWD）,[电声电]2020/12/2790而应变张量元为：式中u、v、w代表晶体中质点位移沿x、y、z方向的分量。2020/12/2791式中代表晶体密度，按（3-8）对应关系，上式可改写为质点的运动方程可写为

2020/12/2792把（3-12）、（3-18）代入上式，原则上就得出波的传播方程式，从而解出位移三个分量u、v、w。2020/12/2793u(t),v(t),w(t)2020/12/2794显然，这样的运算比较繁杂，下面我们介绍另外的方法求解晶体中所传播的弹性波方程的方法。讨论的是各向异性介质，波在不同方向上的传播情况显然是不同的。例如，各个方向上的有效弹性常数不同，波的传播速度也不同。2020/12/2795下面我们具体来考虑某一方向上的传播情况。设任意传播方向，它的方向余弦为l、m、n，在这个方向上的某点P(x、y、z)同原点的距离为，则显然，P的位移分量u、v、w依赖于（即质点的位移）波的传播方向l、m、n，所以可以把（3-18）式改写为：2020/12/2796应变张量元（3-18）式改写为：2020/12/2797应力和应变之间由虎克定律联系（3-21）式代入上式得到质点位移（u,v,w）与应力(T1-T6)之间的关系2020/12/2798质点运动方程可写为：

式中ij称为克利斯托夫（Christoffel）张量，它共有六个张量元，组成对称二级张量。2020/12/2799克利斯托夫（Christoffel）张量ij的具体表示式为：--（3-23）2020/12/27100设表示沿传播的波在晶体中所引起的弹性位移矢量，它的分量为u、v、w。位移矢量的方向余弦为p、q、r，那么，为位移矢量的长度。2020/12/27101把的表达式代入到质点运动方程（3-22）式中得到，

这就是沿方向传播的弹性波方程，式中ceff代表沿方向晶体的有效弹性常数。2020/12/27102晶体沿方向的有效弹性常数ceff须满足下列方程组：2020/12/27103因而得久期方程由此可知