天津杨柳青第二中学2022年高三数学理测试题含解析

天津杨柳青第二中学2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数是（

）A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：A略2.已知全集，集合，，则（▲）

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】集合的并集A1C集合，故选择C.【思路点拨】先求得集合，然后根据交集定义求得结果.3.给出下列命题：①已知椭圆两焦点为，则椭圆上存在六个不同点，使得为直角三角形；②已知直线过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于A、B两点，则｜AB｜的最小值为2；③若过双曲线C：的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，则；④已知⊙,⊙，则这两圆恰有2条公切线；其中正确命题的序号是

(

)

A．①③④

B．①②③

C．②③④

D．①②③④

参考答案：A略4.如图，△ABC和△DEF均为等边三角形，AF＝BD＝CE，DF＝2AF＝20cm，若在△ABC中随机投入260粒芝麻，则落在△DEF外的芝麻粒数约为A．100

B．130

C．150

D．180参考答案：D5.若函数的导函数,则函数的单调递减区间是

(

)

参考答案：A6.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（

）A． B． C． D．参考答案：B结合三视图，还原直观图，故，故选B．7.若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为(

) A．64π B．16π C．12π D．4π参考答案：A考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所得的圆O′的半径，利用SA⊥平面ABC，SA=2，此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答： 解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC=，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1，∵SA⊥平面ABC，SA=2∴球O的半径R=4，∴球O的表面积S=4πR2=64π．故选：A．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．8.平面向量，共线的充要条件是（

）A.，方向相同

B.，两向量中至少有一个为零向量

C.，

D.存在不全为零的实数，，参考答案：D9.二项式的展开式中的系数是(

)A．84

B．-84

C．126

D．-126参考答案：10.（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．

C．

D．参考答案：A【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

解：复数===﹣i对应的点的坐标为（0，﹣1），故选：A．【点评】：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为

。参考答案：412.一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1,2,4，则这个几何体的体积为__________．参考答案：略13.若直线是曲线斜率最小的切线，则直线与圆的位置关系为_________.参考答案：略14.若关于x的不等式＋－≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．参考答案：略15.（极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线表示圆，则点到圆心的距离为

；参考答案：16.袋中装有大小、形状完全相同的m个红球和n个白球，其中m，n满足：已知从袋中任取2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率.现从袋中任取2个球，设取到红球的个数为ξ，则ξ的期望=

．参考答案：17.在的展开式中，x2的系数为（用数字作答）．参考答案：﹣14考点： 二项式定理．专题： 计算题．分析： 利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，求出r，代入通项求出展开式中x2的系数．解答： 解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（﹣2）×C71=﹣14故答案为﹣14点评： 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，

，四边形BCClB，为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．

(1)求证：AB1平面A1BC；

(2)求二面角C-AA1-B的余弦值．参考答案：（1）略（2）【知识点】单元综合G12（1）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，

所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，又因为四边形BCC1B1为矩形，所以CB⊥BB1，

因为AB∩BB1=B，所以CB⊥平面AA1B1B，

又因为AB1?平面AA1B1B，所以CB⊥AB1，

又因为四边形A1ABB1为菱形，所以AB1⊥A1B，

因为CB∩A1B=B所以AB1⊥面A1BC；

（2）解：过B作BD⊥AA1于D，连接CD

因为CB⊥平面AA1B1B，所以CB⊥AA1，

因为CB∩BD=B，所以AA1⊥面BCD，

又因为CD?面BCD，所以AA1⊥CD，

所以，∠CDB就是二面角C-AA1-B的平面角．

在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2在直角△CDB中，DB=2，CB=3，所以CD=，

所以cos∠CDB==．【思路点拨】（1）证明AB1⊥面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，CB⊥AB1，证明CB⊥平面AA1B1B，利用四边形A1ABB1为菱形可证；

（2）过B作BD⊥AA1于D，连接CD，证明∠CDB就是二面角C-AA1-B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C-AA1-B的余弦值．19.已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值；（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，只须m大于等于φ（n）的最大值即可，从而求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3，∴a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），则φ（n）=|2n﹣1|+|2n+1|+2=∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是20.（本题满分12分）等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足且，求的前项和.参考答案：（Ⅰ），由，

（Ⅱ）叠加=

21.（本小题满分13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A元件B（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．参考答案：（Ⅰ）解：元件A为正品的概率约为．

………………1分元件B为正品的概率约为．

………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量的所有取值为．

………………3分；

；；

．

………………7分所以，随机变量的分布列为:………………8分

．

………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有件，则次品有件.依题意，得，

解得．

所以，或．

………………11分

设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件，则．

………………13分22.如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）记的