2022年广东省广州市第三十一中学高三数学理摸底试卷含解析

2022年广东省广州市第三十一中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据向量共线定理，可得若成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．【解答】解：由得，即，则向量共线且方向相反，因此当向量共线且方向相反时，能使成立．对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反；C项中向量、的方向相同；D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A【点评】本题给出非零向量、，求使成立的条件．着重考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于中档题．2.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于(

)A．

B． C．

D．参考答案：C3.函数在内

A．没有零点

B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两一个零点D．有无穷个零点参考答案：B令，，则它们的图像如图故选B4.等差数列中，若，，则前9项的和等于A．99B．66C．144D．297参考答案：A略5.已知复数,则“”是“是纯虚数”的A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C∵，当时，是纯虚数，反之当是纯虚数时，未必为，故选C.6.已知数列{an}满足：，若，则（

）A B. C. D.参考答案：A【分析】利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解通项公式，即可得到所求结果．【详解】解：由题意数列满足：，可得，所以数列是等差数列，，所以，．故选：A．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．7.方程C：y2=x2+所对应的曲线是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数的最值即可判断．【解答】解：当y＞0时，y=（x2+），该为函数为偶函数，故关于y轴对称，且y2=x2+≥2=2，当且仅当x=±1时，取等号，故最小值为2，y2=x2+也关于x轴对称，故选：D8.已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若，则cosS9的值为()A.

B.

C．

D．参考答案：D略9.在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时，（

）A．18

B．19

C．20

D．21

参考答案：C10.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A是奇函数又在定义域上单调递增;在定义域上单调递增但是非奇非偶函数;是奇函数但在和上单调递增,在定义域上不具单调性;是奇函数又在定义域上有增有减,所以选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间上随机取一个数x,则的概率为

。参考答案：12.已知0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（α﹣β）=﹣，sinα=，则sinβ的值为．参考答案：﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据所给的角的范围和角的函数值，利用同角的三角函数之间的关系，写出角的函数值，进行角的变换，用α﹣（α﹣β）代替α，用两角差的正弦公式求出结果．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴0＜α﹣β＜π，∵cos（α﹣β）=﹣，sinα=，∴sin（α﹣β）=，cosα=，∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=×（﹣）﹣×=﹣，故答案为：13.在面积为2的中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是

参考答案：【知识点】解三角形；平面向量数量积的运算C8,F3【答案解析】解析：解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．∴=PB×PCcos∠BPC=．由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=令y=，则y′=令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减∴cos∠BPC=时，取得最大值为∴的最小值是故答案为：【思路点拨】根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．14.在中，，，设交于点，且，，则的值为

.参考答案：试题分析:由题设可得,即,也即,所以,解之得,故,应填.考点：向量的几何运算及待定系数法的运用．【易错点晴】平面向量是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的线段所在向量之间的关系为背景精心设置了一道求其中参数的和的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用向量的三角形法则,巧妙构造方程组,然后运用待定系数法建立方程组,然后通过解方程组使得问题巧妙获解.15.（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是．参考答案：﹣1≤m≤1+e【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化简整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．解：：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，∴对任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，∴﹣1≤m≤e+1．故答案为：﹣1≤m≤1+e【点评】：本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．16.在中，内角的对边分别为，若，，，则的面积__________．参考答案：【知识点】余弦定理，正弦定理C8解析：由余弦定理，得，.面积，故答案为.【思路点拨】【思路点拨】由余弦定理可求，再利用即可.17.数列{an}满足a1=2，an+1=an（n∈N*），则=．参考答案：【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{an}满足a1=2，an+1=an（n∈N*），可得=2?，=1．利用等比数列的通项公式可得：an=（n+1）?2n﹣1．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足a1=2，an+1=an（n∈N*），∴=2?，=1．∴=2n﹣1，即an=（n+1）?2n﹣1．设其前n项和为Sn，则Sn=2+3×2+4×22+…+（n+1）?2n﹣1．∴2Sn=2×2+3×22+…+n?2n﹣1+（n+1）?2n．∴﹣Sn=2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）?2n=1+﹣（n+1）?2n．∴Sn=n?2n．则==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知向量.(1)设，求；

(2)若与垂直，求的值.参考答案：19.（本小题满分10分）

如图，AB是圆的直径，C、F为圆上点，CA是BAF的角平分线，CD与圆切于点C且交AF的延长线于点D，CMAB，垂足为点M，求证：（1）CDAD；（2）若圆的半径为1，BAC=，试求DFAM的值。参考答案：20.（本小题满分13分）某同学用“五点法”画函数（）在某一个周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：

（Ⅰ）请求出上表中的的值，并写出函数的解析式；

（Ⅱ）将的图像向右平移个单位得到函数的图像，若函数在区间

（）上的图像的最高点和最低点分别为，求向量与夹角的大小．参考答案：（Ⅰ）由条件知，，，∴，，∴，．（Ⅱ）∵函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，∴，∵函数在区间（）上的图像的最高点和最低点分别为，∴最高点为，最低点为，∴，，∴，又，∴．21.为响应中央“文化强国”号召，某市2013年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造，根据估算，改造后该市在一个月内（以30天记），民族文化旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费元与时间（天）的函数关系近似满足．（1）求该市旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；（2）若以最低日收益的作为每天的纯收入，该市对纯收入按的税率来收回投资，则按此预计两年内能否收回全部投资？并说明理由．

参考答案：（1）

…………5分(2)……………8分知；