福建省漳州市平和县第五中学高三数学理期末试卷含解析

福建省漳州市平和县第五中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线：的左准线为，左右焦点分别为、，抛物线的准线为，焦点为，是与的一个交点，则=

（

）

A．9

B．8

C．32

D．40参考答案：A2.6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（

）

参考答案：D如图（1）所以，A正确；如图（2）所示，B正确；如图（3）所示，C正确，故选D．

3.若复数z满足iz=1+2i，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（2，﹣1）参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：z=，∴在复平面上复数z对应的点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.函数（）

A.在上递增，在上递减B.在上递增，在上递减C.在上递增，在上递减D.在上递增，在上递减参考答案：A略5.设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A． B． C． D．2参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，得到目标函数取最小值时a，b满足的等式，然后对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：画出可行域如图，由得到H（1，1），∵当a＞0，b＞0，所以z在H（1，1）处取得最小值，故a+b=2，∴，所以的最小值是2；故选D．【点评】本题考查了简单线性规划问题以及利用基本不等式求最小值；正确求出a+b=2是解答本题的关键．6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.

B.

C.D.参考答案：D略7.已知是椭圆的两个焦点，p是椭圆上的任意一点，则的最大值是（

）A.、9

B.16

C.25

D.参考答案：C8.已知函数f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是(

)A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3]参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】先求出导函数，欲使函数f（x）在区间[1，2]上单调递增可转化成f′（x）≥0在区间[1，2]上恒成立，再借助参数分离法求出参数a的范围．【解答】解：f′（x）=9x2﹣2ax+1∵f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增∴f′（x）=9x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立．即，即a≤5，故选A【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于基础题．9.在中，三内角所对的边是且成等差数列，那么直线与直线的位置关系是

(

)（A）平行

（B）垂直

（C）重合

（D）相交但不垂直参考答案：C10.设是虚数单位，则复数

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，，关于，的不等式和无公共解，则的取值范围是

．参考答案：12.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．参考答案：考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，由已知求得，代入的展开式后得答案．解答：解：设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a5+2a10=0，得，∵a1≠0，∴．则===．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题．13.已知方向上的投影为

。参考答案：14.几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________m3.参考答案：15.（坐标系与参数方程选做题）已知直线（

为参数）的公共点个数为

个参考答案：016.若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值

.参考答案：18略17.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为6的概率是．参考答案：考点： 等可能事件的概率．专题： 计算题．分析： 根据题意，列举可得从5个小球中随机取出2个小球的标注的数字情况，分析可得其中满足小球标注的数字之和为6的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答： 解：从5个小球中随机取出2个，其标注的数字情况有（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5），共10种情况，其中小球标注的数字之和为6的情况有（1，5）、（2，4），有2种情况，则其概率为=；故答案为．点评： 本题考查等可能事件的概率计算，关键是正确列举全部的基本事件，从而得到基本事件的数目和符合要求的基本事件的数目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线.（Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程.参考答案：（Ⅰ）将代入，得的参数方程为，∴曲线的普通方程为.（Ⅱ）设，，又，且中点为，所以有：，又点在曲线上，∴代入的普通方程得，∴动点的轨迹方程为.19.（本小题满分14分）已知函数的导函数是，在处取得极值，且，（Ⅰ）求的极大值和极小值；（Ⅱ）记在闭区间上的最大值为，若对任意的总有成立，求的取值范围；（Ⅲ）设是曲线上的任意一点．当时，求直线OM斜率的最小值，据此判断与的大小关系，并说明理由．参考答案：（I）依题意，，解得，……1分由已知可设，因为，所以，则，导函数．…………3分列表：1（1,3）3（3，＋∞）+0-0+递增极大值4递减极小值0递增由上表可知在处取得极大值为，在处取得极小值为．………………5分（Ⅱ）①当时，由（I）知在上递增，所以的最大值，…………6分由对任意的恒成立，得，则，因为，所以，则，ks5u因此的取值范围是．………………8分②当时，因为，所以的最大值，由对任意的恒成立，得，∴，因为，所以，因此的取值范围是，综上①②可知，的取值范围是．……10分（Ⅲ）当时，直线斜率，因为，所以，则，即直线斜率的最小值为4．…………………11分首先，由，得.其次，当时，有，所以，………………12分证明如下：记，则，所以在递增，又，则在恒成立，即，所以.……………14分20.已知函数f（x）=x3+x2﹣ax（a∈R）．（1）当a=0时，求与直线x﹣y﹣10=0平行，且与曲线y=f（x）相切的直线的方程；（2）求函数g（x）=﹣alnx（x＞1）的单调递增区间；（3）如果存在a∈[3，9]，使函数h（x）=f（x）+f′（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3处取得最大值，试求b的最大值．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据导数与函数切线斜率的关系，求得斜率，由点斜式写出切线方程；（2）利用导数判断函数的单调性求得函数的单调递增区间即可；（3）利用导数求函数的最值的方法，通过分类讨论得出b的最大值．解答：解：（1）设切点为T（x0，x03+x02），由f′（x）=3x2+2x及题意得3x02+2x0=1．

…（2分）解得x0=﹣1，或x0=．所以T（﹣1，0）或T（，）．所以切线方程为x﹣y+1=0或27x﹣27y﹣5=0．

…（4分）（2）因为g（x）=x2+x﹣a﹣alnx（x＞1），所以由g′（x）=2x+1﹣＞0，得2x2+x﹣a＞0．

…（6分）令φ（x）=2x2+x﹣a（x＞1），因为φ（x）在（1，+∞）递增，所以φ（x）＞φ（1）=3﹣a．当3﹣a≥0即a≤3时，g（x）的增区间为（1，+∞）；

…（8分）当3﹣a＜0即a＞3时，因为φ（1）=3﹣a＜0，所以φ（x）的一个零点小于1、另一个零点大于1．由φ（x）=0得零点x1=＜1，x2=＞1，从而φ（x）＞0（x＞1）的解集为（，+∞），即g（x）的增区间为（，+∞）．

…（10分）（3）方法一：h（x）=x3+4x2+（2﹣a）x﹣a，h′（x）=3x2+8x+（2﹣a）．因为存在a∈[3，9]，令h′（x）=0，得x1=，x2=．当x＜x1或x＞x2时，h′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，h′（x）＜0．所以要使h（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3处取得最大值，必有解得a≥5，即a∈[5，9]．

…（13分）所以存在a∈[5，9]使h（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3处取得最大值的充要条件为h（﹣3）≥h（b），即存在a∈[5，9]使（b+3）a﹣（b3+4b2+2b﹣3）≥0成立．因为b+3＞0，所以9（b+3）﹣（b3+4b2+2b﹣3）≥0，即（b+3）（b2+b﹣10）≤0．解得≤b≤，所以b的最大值为．…（16分）方法二：h（x）=x3+4x2+（2﹣a）x﹣a，据题意知，h（x）≤h（﹣3）在区间[﹣3，b]上恒成立．即（x3+27）+4（x2﹣9）+（2﹣a）（x+3）≤0，（x+3）（x2+x﹣1﹣a）≤0

①．若x=﹣3时，不等式①成立；若﹣3＜x≤b时，不等式①可化为x2+x﹣1﹣a≤0，即x2+x≤1+a

②．…（13分）令ψ（x）=x2+x．当﹣3＜b≤2时，ψ（x）在区间[﹣3，b]上的最大值为ψ（﹣3）=6，不等式②恒成立等价于6≤1+a，a≥5，符合题意；当b≥2时，ψ（x）的最大值为ψ（b）=b2+b，不等式②恒成立等价于b2+b≤1+a．由题意知这个关于a的不等式在区间[3，9]上有解．故b2+b≤（1+a）max，即b2+b≤10，b2+b﹣10≤0，解得2＜b≤．综上所述，b的最大值为，此时唯有a=9符合题意．…（16分）点评：本题主要考查利用导数研究函数的切线方程、判断函数的单调性、求函数最值等知识，考查分类讨论思想的运用能力，综合性强，属难题．21.已知圆的方程为，过点作圆的两条切线，切点分别为直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点。（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）已知直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值。参考答案：解：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：，设另一条切线方程为：则：，解得：，此时切线方程为：…………2分切线方程与圆方程联立得：，则直线的方程为

令，解得，∴；令,得,∴故所求椭圆方程为……………6分（Ⅱ）联立整理得，令，，则，，，即：

原点到直线的距离为，……8分，∴

=当且仅当时取等号，则面积的最大值为1．………12分略22.已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB?AC?DF=AD?FC?FB．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：（I）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD?AF，因为AB=AC，所以AB?AC=AD?AF，再根据割线定理即可得到结论．解答： 证明：（