河南省信阳市白店乡中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

河南省信阳市白店乡中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列结论正确的是（）（A）当（B）的最小值为2

（C）当时，的最小值为（D）当时，有最大值.参考答案：D略2.一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为A.长方形；

B.直角三角形；

C.圆；

D.椭圆.参考答案：C3.函数的大致图象是

参考答案：C4.设是随机变量,且,则等于

A.

0.4

B.

4

C.

40

D.

400参考答案：A5.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中不正确的是（

）

A．

B．AB//平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角参考答案：D略6.实数x，条件P:x<x，条件q:，则p是q的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略7.下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某只股票经历了l0个跌停（每次跌停，即下跌l0%）后需再经过10个涨停（每次涨停，即上涨10%）就可以回到原来的净值；③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部；数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为．④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497﹣﹣512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组00l～016中随机抽到的学生编号是007．其中真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，判断①正确；根据数值为a的股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为a×（1﹣）（1+）=a，判断②错误；算出这两个级部的数学平均分可判断③错误；求出分段间隔为16，又503=61×31+7，可得第一个抽取的号码为007，判断④正确．【解答】解：对于①，样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，故①正确；对于②，设股票数值为a，股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为a×（1﹣）（1+）=a．故②错误；对于③，∵高三一级部和二级部的总分分别为：ma和nb，总人数为m+n，∴这两个级部的数学平均分为，故③错误；对于④，∵用系统抽样方法，从全体800名学生中抽50名学生的分段间隔为=16，又从497～512这16个数中取得的学生编号是503，且503=16×31+7，∴在第1小组1～l6中随机抽到的学生编号是007号，故④正确．∴真命题的个数是2个，故选：C．8.本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（

）A．330种 B．420种 C．510种 D．600种参考答案：A种类有（1）甲，乙，丙，方法数有；（2）甲，乙，丙；或甲，乙，丙；或甲，乙，丙——方法数有；（3）甲，乙，丙；或甲，乙，丙；或甲，乙，丙——方法数有.故总的方法数有种.

9.设函数y=f（x）在（﹣∞．+∞）内有定义，对于给定的实数k，定义函数，设函数f（x）=x2+x+e﹣x﹣3，若对任意的x∈（﹣∞．+∞）恒有g（x）=f（x），则（）A．k的最大值为﹣2 B．k的最小值为﹣2C．k的最大值为2 D．k的最小值为2参考答案：A【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】由已知条件可得，k≤f（x）在（﹣∞，+∞）恒成立，即k≤f（x）min，利用导数求函数f（x）的最小值，则答案可求．【解答】解：∵对于任意的x∈（﹣∞，+∞），恒有g（x）=f（x），由已知条件可得，k≤f（x）在（﹣∞，+∞）恒成立，∴k≤f（x）min，∵f（x）=x2+x+e﹣x﹣3，∴f′（x）=2x+1﹣，令f′（x）=0，得x=0，当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，∴当x=0时函数f（x）的值最小，最小值为﹣2，∴k≤﹣2，即k的最大值为﹣2．故选：A．10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．则角B的大小为()A. B. C. D.参考答案：A【分析】由正弦定理化简已知等式可得，结合，可得，结合范围，可得，可得，即可得解的值．【详解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴．故选：A．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线，也是曲线y=ex+1的切线，则b=．参考答案：4﹣2ln2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到b的值．【解答】解：设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，则切线分别为，，化简得：，，依题意有：，所以．故答案为：4﹣2ln2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．12.在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为

．参考答案：【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP：正弦定理．【分析】由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，所以设p=所以根据海仑公式得：S==，所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．故答案为．13.若2x+4y=4，则x+2y的最大值是

．参考答案：2【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的运算性质、指数的运算性质即可得出．【解答】解：∵2x+4y=4，∴=2，化为2x+2y≤4=22，∴x+2y≤2，当且仅当x=2y=1时取等号．则x+2y的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的运算性质、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.给出下列四个命题：①中，是成立的充要条件；②当时，有；③已知是等差数列的前n项和，若，则；④若函数为上的奇函数，则函数的图象一定关于点成中心对称．其中所有正确命题的序号为

．参考答案：①③略15.某算法的程序框图如右图，若输出的的值为，则正整数的值为

.参考答案：第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，满足条件，;第五次循环，满足条件，第六次循环，不满足条件，输出,所以此时。16.双曲线的离心率等于

．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的标准方程，可知求出a和b，然后求出c，由此能够求出它的离心率．解答： 解：由双曲线

可知a=3，b=4所以c==5∴离心率e==故答案为．点评：本题考查双曲线的基本性质，难度不大，解题时注意不要弄混了双曲线和椭圆的性质．17.若双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠。若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：

（I）随机变量的分布列;

（II）随机变量的期望;参考答案：解析：（1）的所有可能值为0，1，2，3，4，5。由等可能性事件的概率公式得

从而，的分布列为012345

（II）由（I）得的期望为

19.已知椭圆（）的上顶点与抛物线（）的焦点重合.（1）设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程；（2）设抛物线上一点，若抛物线在点处的切线恰与椭圆也相切，求椭圆的方程.参考答案：（1）易知，则抛物线的方程为由及图形的对称性，不妨设，代入，得，则.将之代入椭圆方程得，得，所以椭圆的方程为.（2）将代入得.由图形的对称性，不妨设，则即，求导得，则切线的斜率为.方程为，即，将之与椭圆联立消去得令判别式，得所以椭圆的方程为.20.在极坐标系中，动点运动时，与成反比，动点P的轨迹经过点（2,0）（I）求动点的轨迹其极坐标方程.（II）以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，将（I）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点P轨迹是何种曲线.参考答案：解：（I）设则

（II）

∴

P点轨迹是开口向下，顶点为（0,1）的抛物线略21.（本小题满分12分）为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布（，约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%.（ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ⅱ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．（说明：表示的概率.参考数据：,）参考答案：解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：…3分（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为，根据题意，，即.由得，，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为分.

…………7分（ⅱ）因为，，.所以的分布列为YP

…………………10分所以.

…………12分

22.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log-23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．（Ⅰ）求证f(x)为奇函数；（Ⅱ）若f(k·3x)+f(3x–9x–2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：解析：（1）f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)

①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．……２分令y=–x，代入①式，得f(x–x)=f(x)+f(–x)，又f(0)=0，则有0=f(x)