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文档简介
2022年广东省惠州市惠东县增光中学高三数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设关于的不等式组表示的平面区域内存在点,满足,求得的取值范围是(
)(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:C2.设为单位向量,其中向量,向量,且向量在上的投影为2,则与的夹角为A.
B.
C.
D.参考答案:C3.已知数列满足(),,,记,则下列结论正确的是A.,
B.,
C.,
D.,参考答案:A略4.设集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R,则集合P?UM=
(
)A.{1,2}
B.{3,4} C.{1}
D.{-2,-1,0,1,2}参考答案:A因为集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R,则?UM={1,2},集合P?UM={1,2},故选A.5.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日,中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币,直径22毫米,面额100元.为了测算图中军旗部分的面积,现向硬币内随机投掷100粒芝麻,已知恰有30粒芝麻落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B设军旗的面积为,则有,解得,故选B.6.若平面向量与的夹角是180°,且,则等于(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D略7.如图,双曲线的中心在坐标原点O,M、N分别为双曲线虚轴的上、下端点,A是双曲线的右顶点,F是双曲线的右焦点,直线AM与FN相交于点P,若∠APF是锐角,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1+,+∞) C.(0,) D.(,+∞)参考答案:A【考点】双曲线的简单性质.【分析】设双曲线的方程为﹣=1,求出点P的坐标,再根据∠APF是锐角,则<0,得到b2<ac,继而得到e2﹣e﹣1<0,解得即可.【解答】解:设双曲线的方程为﹣=1,由题意可得A(a,0),F(c,0),M(0,b),N(0,﹣b),故直线AF的方程为y+b=x,直线NF的方程为y﹣b=﹣x,联立方程组,解得x=,y=,即P(,),∴=(,),=(,),∵∠APF是锐角,∴=?+?<0,∴b2<ac,∴c2﹣a2<ac∴e﹣<1,即e2﹣e﹣1<0,解得e>,e<(舍去),故选:A8.下列关于函数的描述正确的是A.在上递增
B.在上最小值为0
C.周期为
D.在上递减参考答案:D9.如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是
.A
B C
D参考答案:A略10.已知向量,,且,则m=A. B. C.0 D.参考答案:A【分析】结合向量垂直满足数量积为0,代入坐标,建立等式,计算参数,即可。【详解】,结合向量垂直判定,建立方程,可得,解得,故选A。【点睛】考查了向量垂直的判定,考查了向量数量积坐标运算,难度中等。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于,的不等式组(是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则
.参考答案:或先做出不等式对应的区域,阴影部分。因为直线过定点,且不等式表示的区域在直线的下方,所以要使所表示的平面区域是直角三角形,所以有或直线与垂直,所以,综上或。12.已知函数,,对任意的,总存在,使,则实数的取值范围是
.参考答案:13.已知为等差数列,若,则的值为______.参考答案:答案:4014.函数的定义域为_____________.参考答案:略15.若某几何体的三视图(单位:)如图所示,则此几何体的体积是
.参考答案:18解析:该几何体是由二个长方体组成,下面体积为,上面的长方体体积为,因此其几何体的体积为1816.设f(x)=,若f(t)=f()则t的范围.参考答案:[2,3]∪{﹣}【考点】函数的值;分段函数的应用.【分析】利用分段函数的性质求解.【解答】解:∵f(x)=,f(t)=f(),∴当t≤﹣1时,t+2=,解得t=﹣,或t=(舍);当﹣1<t<0时,2t+1=,无解;0<t<2时,2t+1=8,t=2,不成立;2≤t≤3时,f(t)=f()=8,成立;t>3时,8=2,解得t=3,不成立.综上所述,t的范围为:[2,3]∪{﹣}.故答案为:[2,3]∪{﹣}.17.已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上,则该球的体积为
.参考答案:4π解:若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上,则球的直径等于正方体的对角线长即2R=2∴R=则球的体积V==4π.故答案为:4π.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)如图,已知AF平面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,DAB,AB//CD,ADAFCD2,AB4.(Ⅰ)求证:AC平面BCE;(Ⅱ)求三棱锥ACDE的体积;(Ⅲ)线段EF上是否存在一点M,使得BMCE?若存在,确定M点的位置;若不存在,请说明理由.参考答案:(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点M为线段EF中点.试题分析:(Ⅰ)过C作CNAB,垂足为N,由ADDC可知四边形ADCN为矩形.ANNB2.又由给定数据知,AC2+BC2AB2,得到ACBC;根据AF平面ABCD,AF//BE得到BE平面ABCD,BEAC,即可得证;(Ⅱ)由AF平面ABCD,AF//BE,得知BE平面ABCD,利用“等体积法”得到(Ⅲ)在矩形ABEF中,因为点M,N为线段AB的中点,得到四边形BEMN为正方形,BMEN;由AF平面ABCD,得到AFAD.在直角梯形ABCD中,可得AD平面ABEF,而CN//AD,得到所以CN平面ABEF,CNBM;
进一步由BM平面ENC,即得BMCE.试题解析:(Ⅰ)过C作CNAB,垂足为N,因为ADDC,所以四边形ADCN为矩形.所以ANNB2.又因为AD2,AB4,所以AC,CN,BC,所以AC2+BC2AB2,所以ACBC;
………2分因为AF平面ABCD,AF//BE所以BE平面ABCD,所以BEAC,
………3分又因为BE平面BCE,BC平面BCE,BEBCB所以AC平面BCE.
………4分(Ⅱ)因为AF平面ABCD,AF//BE所以BE平面ABCD,
………8分(Ⅲ)存在,点M为线段EF中点,证明如下:
…………9分在矩形ABEF中,因为点M,N为线段AB的中点,所以四边形BEMN为正方形,所以BMEN;
…………10分因为AF平面ABCD,AD平面ABCD,所以AFAD.在直角梯形ABCD中,ADAB,又AFABA,所以AD平面ABEF,又CN//AD,所以CN平面ABEF,又BM平面ABEF所以CNBM;
…………12分又CNENN,所以BM平面ENC,又EC平面ENC,所以BMCE.
…………14分考点:1.平行关系、垂直关系;2.几何体的体积.19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是等腰直角三角形,且斜边AB=,侧棱AA1=2,点D为AB的中点,点E在线段AA1上,AE=λAA1(λ为实数).(1)求证:不论λ取何值时,恒有CD⊥B1E;(2)当λ=时,求多面体C1B﹣ECD的体积.
参考答案:【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.【分析】(1)由已知可得CD⊥AB.再由AA1⊥平面ABC,得AA1⊥CD.利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1.进一步得到CD⊥B1E;(2)当λ=时,.再由△ABC是等腰直角三角形,且斜边,得AC=BC=1.然后利用结合等积法得答案.【解答】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,点D为AB的中点,∴CD⊥AB.∵AA1⊥平面ABC,CD?平面ABC,∴AA1⊥CD.又∵AA1?平面ABB1A1,AB?平面ABB1A1,AA1∩AB=A,∴CD⊥平面ABB1A1.∵点E在线段AA1上,∴B1E?平面ABB1A1,∴CD⊥B1E;(2)解:当λ=时,.∵△ABC是等腰直角三角形,且斜边,∴AC=BC=1.∴,,∴.20.如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=3,F为线段DE上的动点.(Ⅰ)若F为DE的中点,求证:BE∥平面ACF;(Ⅱ)若二面角E﹣BC﹣F与二面角F﹣BC﹣D的大小相等,求DF长.参考答案:【考点】用空间向量求平面间的夹角;向量语言表述线面的垂直、平行关系;二面角的平面角及求法.【分析】(I)连接AC,BD交于O,连OF,利用三角形的中位线平行于底边得到OF∥BE,利用直线与平面平行的判定定理得证.(II)法一:利用二面角的平面角的定义,通过作辅助线,利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质找出二面角E﹣BC﹣D的平面角与二面角F﹣BC﹣D的平面角,利用已知条件得到线段的长度关系.法二:通过建立空间直角坐标系,求出两个面的法向量,利用向量的数量积公式求出二面角E﹣BC﹣F的余弦值,同理求出二面角D﹣BC﹣F的余弦值,根据已知它们的绝对值相等,列出方程求出DF的长度.【解答】证明:(Ⅰ)连接AC,BD交于O,连OF,如图1∵F为DE中点,O为BD中点,∴OF∥BE,OF?平面ACF,BE?平面ACF,∴BE∥平面ACF.…(Ⅱ)如图2,过E作EH⊥AD于H,过H作MH⊥BC于M,连接ME,同理过F作FG⊥AD于G,过G作NG⊥BC于N,连接NF,∵AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,∴AE⊥CD,∵CD⊥AD,AE∩AD=A,AD,AE?平面DAE,∴CD⊥平面DAE,EH?平面DAE,∴CD⊥EH,CD∩AD=D,CD,AD?平面ABCD,EH⊥平面ABCD,∴HE⊥BC,∴BC⊥平面MHE,∴∠HME为二面角E﹣BC﹣D的平面角,同理,∠GNF为二面角F﹣BC﹣D的平面角,∵MH∥AB,∴,又,∴,而∠HME=2∠GNF,∴,∴,,又GF∥HE,∴,∴.…解法二:(Ⅱ)∵AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,∴AE⊥CD,∵CD⊥AD,AE∩AD=A,AD,AE?平面DAE,∴CD⊥平面DAE,如图建立坐标系,则E(3,0,0),F(a,0,0),,A(3,0,3),D(0,0,0)由得,设平面ABCD,且,由设平面BCF,且,由设平面BCE,且,由设二面角E﹣BC﹣F的大小为α,二面角D﹣BC﹣F的大小为β,α=β,,∴,∵0<a<3,∴.…21.已知函数()(1)求函数的最大值,并指出取到最大值时对应的的值;(2)若,且,计算的值.参考答案:略22.已知函数(
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