2022年广东省惠州市惠东县增光中学高三数学理联考试题含解析

2022年广东省惠州市惠东县增光中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，求得的取值范围是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C2.设为单位向量,其中向量,向量,且向量在上的投影为2,则与的夹角为A.

B.

C.

D.参考答案：C3.已知数列满足()，,，记，则下列结论正确的是A．，

B．，

C．，

D．，参考答案：A略4.设集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R，则集合P?UM=

(

)A．{1，2}

B．{3，4} C．{1}

D．{-2，-1，0，1，2}参考答案：A因为集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R，则?UM={1,2}，集合P?UM={1，2}，故选A.5.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B设军旗的面积为，则有，解得，故选B．6.若平面向量与的夹角是180°，且，则等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.如图，双曲线的中心在坐标原点O，M、N分别为双曲线虚轴的上、下端点，A是双曲线的右顶点，F是双曲线的右焦点，直线AM与FN相交于点P，若∠APF是锐角，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1+，+∞） C．（0，） D．（，+∞）参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1，求出点P的坐标，再根据∠APF是锐角，则＜0，得到b2＜ac，继而得到e2﹣e﹣1＜0，解得即可．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1，由题意可得A（a，0），F（c，0），M（0，b），N（0，﹣b），故直线AF的方程为y+b=x，直线NF的方程为y﹣b=﹣x，联立方程组，解得x=，y=，即P（，），∴=（，），=（，），∵∠APF是锐角，∴=?+?＜0，∴b2＜ac，∴c2﹣a2＜ac∴e﹣＜1，即e2﹣e﹣1＜0，解得e＞，e＜（舍去），故选：A8.下列关于函数的描述正确的是A．在上递增

B．在上最小值为0

C.周期为

D.在上递减参考答案：D9.如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是

.A

B C

D参考答案：A略10.已知向量，，且，则m=A. B. C.0 D.参考答案：A【分析】结合向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立等式，计算参数，即可。【详解】，结合向量垂直判定，建立方程，可得，解得，故选A。【点睛】考查了向量垂直的判定，考查了向量数量积坐标运算，难度中等。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则

.参考答案：或先做出不等式对应的区域，阴影部分。因为直线过定点，且不等式表示的区域在直线的下方，所以要使所表示的平面区域是直角三角形，所以有或直线与垂直，所以，综上或。12.已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数的取值范围是

．参考答案：13.已知为等差数列,若,则的值为______.参考答案：答案：4014.函数的定义域为_____________.参考答案：略15.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是

．参考答案：18解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为1816.设f（x）=，若f（t）=f（）则t的范围．参考答案：[2，3]∪{﹣}【考点】函数的值；分段函数的应用．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f（x）=，f（t）=f（），∴当t≤﹣1时，t+2=，解得t=﹣，或t=（舍）；当﹣1＜t＜0时，2t+1=，无解；0＜t＜2时，2t+1=8，t=2，不成立；2≤t≤3时，f（t）=f（）=8，成立；t＞3时，8=2，解得t=3，不成立．综上所述，t的范围为：[2，3]∪{﹣}．故答案为：[2，3]∪{﹣}．17.已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为

．参考答案：4π解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的直径等于正方体的对角线长即2R＝2∴R＝则球的体积V＝＝4π．故答案为：4π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，已知AF平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB，AB//CD，ADAFCD2，AB4．（Ⅰ）求证：AC平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥ACDE的体积；（Ⅲ）线段EF上是否存在一点M，使得BMCE?若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）证明见解析；(Ⅱ)；（Ⅲ）存在，点M为线段EF中点.试题分析：（Ⅰ）过C作CNAB，垂足为N，由ADDC可知四边形ADCN为矩形．ANNB2.又由给定数据知,AC2+BC2AB2，得到ACBC；根据AF平面ABCD，AF//BE得到BE平面ABCD，BEAC，即可得证；(Ⅱ)由AF平面ABCD，AF//BE，得知BE平面ABCD，利用“等体积法”得到（Ⅲ）在矩形ABEF中，因为点M，N为线段AB的中点，得到四边形BEMN为正方形，BMEN；由AF平面ABCD，得到AFAD.在直角梯形ABCD中，可得AD平面ABEF，而CN//AD，得到所以CN平面ABEF，CNBM；

进一步由BM平面ENC，即得BMCE.试题解析：（Ⅰ）过C作CNAB，垂足为N，因为ADDC，所以四边形ADCN为矩形．所以ANNB2.又因为AD2，AB4，所以AC，CN，BC,所以AC2+BC2AB2，所以ACBC；

………2分因为AF平面ABCD，AF//BE所以BE平面ABCD，所以BEAC，

………3分又因为BE平面BCE，BC平面BCE，BEBCB所以AC平面BCE．

………4分(Ⅱ)因为AF平面ABCD，AF//BE所以BE平面ABCD，

………8分（Ⅲ）存在，点M为线段EF中点，证明如下：

…………9分在矩形ABEF中，因为点M，N为线段AB的中点，所以四边形BEMN为正方形，所以BMEN；

…………10分因为AF平面ABCD，AD平面ABCD，所以AFAD.在直角梯形ABCD中，ADAB，又AFABA，所以AD平面ABEF，又CN//AD，所以CN平面ABEF，又BM平面ABEF所以CNBM；

…………12分又CNENN，所以BM平面ENC，又EC平面ENC，所以BMCE.

…………14分考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积.19.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．

参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E?平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20.如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F为线段DE上的动点．（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）若二面角E﹣BC﹣F与二面角F﹣BC﹣D的大小相等，求DF长．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）连接AC，BD交于O，连OF，利用三角形的中位线平行于底边得到OF∥BE，利用直线与平面平行的判定定理得证．（II）法一：利用二面角的平面角的定义，通过作辅助线，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质找出二面角E﹣BC﹣D的平面角与二面角F﹣BC﹣D的平面角，利用已知条件得到线段的长度关系．法二：通过建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，利用向量的数量积公式求出二面角E﹣BC﹣F的余弦值，同理求出二面角D﹣BC﹣F的余弦值，根据已知它们的绝对值相等，列出方程求出DF的长度．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，BD交于O，连OF，如图1∵F为DE中点，O为BD中点，∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，∴BE∥平面ACF．…（Ⅱ）如图2，过E作EH⊥AD于H，过H作MH⊥BC于M，连接ME，同理过F作FG⊥AD于G，过G作NG⊥BC于N，连接NF，∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，∴HE⊥BC，∴BC⊥平面MHE，∴∠HME为二面角E﹣BC﹣D的平面角，同理，∠GNF为二面角F﹣BC﹣D的平面角，∵MH∥AB，∴，又，∴，而∠HME=2∠GNF，∴，∴，，又GF∥HE，∴，∴．…解法二：（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，如图建立坐标系，则E（3，0，0），F（a，0，0），，A（3，0，3），D（0，0，0）由得，设平面ABCD，且，由设平面BCF，且，由设平面BCE，且，由设二面角E﹣BC﹣F的大小为α，二面角D﹣BC﹣F的大小为β，α=β，，∴，∵0＜a＜3，∴．…21.已知函数（）（1）求函数的最大值，并指出取到最大值时对应的的值；（2）若，且，计算的值.参考答案：略22.已知函数(