概率论和数理统计-概率4-11-课件

第一节数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质课堂练习小结布置作业

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.

因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数定义1设X是离散型随机变量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。若级数绝对收敛，则称级数即的和为随机变量X的数学期望，记为,例1到站时刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/63/62/6一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.

例3按规定,某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：

X1030507090

二、连续型随机变量的数学期望

设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0<x1<x2<…,则X落在小区间[xi,xi+1)的概率是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为

由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.这正是的渐近和式.近似,因此X与以概率取值xi的离散型r.v

该离散型r.v的数学期望是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为由此启发我们引进如下定义.定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果积分绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望,即请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.例4三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.

使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.(1)当X为离散型时,它的分布率为P(X=xk)=pk;(2)当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若定理设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。练习1某学生沿操场400米跑道跑步，他最多跑600米，会在途中任一处停下来，然后再沿着跟起点最近的一侧跑道跑回去，求其跑回来的平均距离。解X~U(0，600)，且记X为其首次跑过的路程，Y为其跑回的路程，则(定理4.1)例2设产品尺寸X~N(,1),利润解求使销售一个零件的平均利润最大。(定理4.1)(D.R.V期望之定义)例7例7例5设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，求E(max(X,Y)).解D1D2例5解(1)设整机寿命为N,五个独立元件,寿命分别为都服从参数为的指数分布，若将它们(1)串联；(2)并联成整机，求整机寿命的均值.（P.142例6）例4例4即N~E(5),(2)设整机寿命为可见,并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.四、数学期望的性质

1.设C是常数，则E(C)=C;4.设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸Xi相互独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立五、数学期望性质的应用例8求二项分布的数学期望若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.现在我们来求X的数学期望.

可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.

X~B(n,p),若设则X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.E(Xi)==p例9把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.由于E(Xk)=P(Xk=1)解:设巧合个数为X,

k=1,2,…,n则故引入例10一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立)按题意

本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.六、课堂练习1某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望.2设随机变量X的概率密度为1解

设试开次数为X,于是

E(X)2解Y是随机变量X的函数,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,n数学期望的应用应用据统计65岁的人在10年内正常死亡解应用1的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿

a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi

表示公司从第i个投保者身上所得的收益,i=1~1000.则Xi~0.980.02100100应用1由题设公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.

为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：分别化验每个人的血,共需化验n

次；分组化验,k

个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k

个人的血逐个化验,找出有病者,此时

k

个人的血需化验k+1次.

设每人血液化验呈阳性的概率为

p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择应用2应用2解只须计算方案(2)所需化验次数的期望.为简单计,不妨设n是k的倍数，共分成n/k组.设第i组需化验的次数为Xi,则Xi

P1k+1

若则E(X)<n例如,当

时,选择方案(2)较经济.市场上对某种产品每年需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？解设每年生产y吨的利润为Y显然，2000<y<4000应用3应用3显然，故y=3500时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元例:设某企业生产线上合格品率为0.96,不合格品中只有3/4的产品可以再加工,且再加工的合格率为0.8,其余为废品.已知每件合格品可获利80元,每件废品亏损20元,为保证企业每天平均利润不低于2万元,问企业每天至少应生产多少件产品?解:则每件产品的平均利润为设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)~N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：问平均直径

为何值时,销售一个零件的平均利润最大？(P.171习题四15题)应用4应用4解即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一个例:倒扣多少分?经常,有些考生做选择题时,乱选一通,为了惩罚这些考生,唯一的办法,就是对每一个错误答案倒扣若干分.假设每条选择题有五个答案，只有一个是正确的。在某次考试中，李老师共出20题，每题5分，满分是100分。他决定每一个错误答案倒扣若干分，但应倒扣多少分才合理呢？倒扣太多对学生不公平，但倒扣太少又起步了杜绝乱选的作用。倒扣的分数，应该恰到好处，使乱选一通的学生一无所获。换句话说，如果学生完全靠运气的话，他的总分的数学期望应该是0。假定对一个错误答案倒扣x分，而正确答案得5分。随意选一个答案，选到错误答案的概率是4/5，选到正确答案的概率是1/5，所以总分