高二数学平面知识精讲人教版

高二数学平面知识精讲人教版.本周教学内容平面平面的画法及表示位置情况—飞—厂^ 图形 ［记法说明1>水平放置平面作平四边形，使其锐角为45°、一组对边成水平方向且每条长为邻边的两倍。正对观察者作正方形（也可作矩形）平面a相当于画出正方体上（或平面1>水平放置平面作平四边形，使其锐角为45°、一组对边成水平方向且每条长为邻边的两倍。正对观察者作正方形（也可作矩形）平面a相当于画出正方体上（或平面B下）表面的正方形来表示平面，所画的平四边形内角（45°或135°）表示直角相当于平面Y侧对观察者22竖直放置画出正方形前（或后）表面的正方形来表示平面作平行四边形,使其锐角为45°，一组对边成竖直方向且长为邻边的两倍。平面相当于ABCD画出正方或形左（或平面右）表面的AC11正方形来表示平面2.平面的性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内1）关于公理1可以使用集合的符号把它简明准确地表达。AW1,BW1,AWa,BWanlua。（2）公理1判定直线在平面内的依据，进一步可判定图形共面。3）公理1说明平面具有无限延展性。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。如图：强调：“有且只有一条”的含义是：“有”说明直线是存在的，“只有”说明直线是唯一的。如果两个平面a和B有一条公共直线，就说平面a和B相交，交线是a,则可记作aQB=a公理2可表示成如下形式：若AGa,AWB，则anB=a,且A^a。两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线的每一个点都是两个平面的公共点。公理2是作出两个平面交线的依据。在公理指导下画出两个相交平面的一般步骤如下：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图（1）再画出表示两个平面交线的线段，如图（2）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它平行且等于（2）中表示交线的线段，如图（3）。画图中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图（4））公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。强调：公理3实际上是给出了确定平面的条件。讲解是应突出“不在同一直线上”和“三点”几个字“有且只有”的理解：“有”说明直线是存在的；“只有”说明直线是唯一的。公理3推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面强调：①会用符号表达推论内容（见下表）名称符号表示图形

推论1A€an有且只有一个平面a,使AWa,aua推论2aHb=Pn有且只有一个平面a，使a,a,b,a/T推论3a〃bn有且只有一个平面a,使a,a,bua//②会证明三条推论：先证“有”再证“只有”即证明存在性和唯一性③明确三条推论的作用：同公理3一样是确定平面的依据。典型例题】例1、⑴画出经过已知直线AB的三个平面。⑵已知三条直线a、b、c两两平行但不共面（即不在同一平面内），画出这些平面。思路与解：如下图乙）乙）甲图设计各平面绕直线AB转动情况；乙图设计整个图形转动。请同学们观察作出相交平面应该注意的问题。例2.三个不同平面可能把空间分成几部分？画图说明可能分成4，6，7，8个部分。引例：三条直线把平面分成引例：三条直线把平面分成4、6、1）四部分（互相平行）（2）六部分（两种情况）3）七部分（4）八部分例3.已知：延长/ABC三边，AB=D,BC=E,AC=F,求证：D、E、F共线。思路与解：如图分析：只需证明这三点都是某两个平面的公共点。证明：证明：VDGa且DWABuBAD是a、B的公共点，同理，E、F也是a、B的公共点••・D、E、F都在a、B的交线上，即这三点共线例4.已知：直线a//b,直线c和a、b都相交，直线d也和a、b都相交。求证：c、d可以确定一个平面。思路与解：如图设直线c和直线a、b的交点分别为A、B；直线d和直线a、b的交点分别为C、D°.°a//b,.°.a、b可以确定一个平面°.°AWa,BWa,AWc,BWc, cua同理duaAd、c在同一平面内。它们只能平行或相交，由推论2、3知c、d可以确定一个平面例5.三个平面两两相交有三条直线,求证这三条直线交于一点或互相平行。已知：平面aBY两两相交且anB=a,BHY=b,anY=c求证：a、b、c相交于一点或互相平行注：两种情况（1）交线相交（2）交线不相交证明(1)设anb=P则P€a,P€b•.•anB=a,BQY=b.\P€a,P€B,P€Y*.*p€anB而any=c••・P€C・•・相交于一点P(2)若不相交，在a内必有a〃c同理b〃c・.a〃b〃c模拟试题】1.已知E,F,G,H是空间的四个点命题甲：点E,F,G,H不共面命题乙：点E,F,G,H中任何三点不共线那么甲是乙成立的()条件。A.充分非必要B.必要非充分C.充要 D.非充分非必要2.侧面是边长为a的正方形的正三棱柱ABC-A1B1C1中P.R分别是AC和BB1中点,过P.C1.R三点做截面。(1)画出截面与AB的交点Q. (2)求PQ的长.已知四点不在一个平面内,证明其中任何三点都不在同一条直线上。已知几条平行线a,a,a,……a都与直线1相交，交点分别为A1.A2.A3 An123n

求证：ai,a2,a3,•…a与i共面［参考答案］分析：若E，F，G，H中若三点共线，这四点必共面，但E，F，G，H作为平面四边形四个顶点时也满足任何三点不共线。选A分析：Q为截面与底面公共点必在公共直线上由此找M由PM而定Q（1）作法：连C1R并延长C1R交CB的延长线M（”€面C1CB, ”€面ABC）连PM交AB于Q则Q为所求点（2）Rt^RMB=Rt^RC1B1BR^CC1「BM=B1C1=BC A,B是CM中点又TP是AC中点，R为BB1中点 I1••・Q是厶ACM的重心・・・PQ=3PM13在厶PCM中PM2=PC2+CM2-2PCXCMXCOS600=a24JU <13•PM= a・•・PQ= a262另解：Q是厶ACM的重心/.AQ=3a, 在△AQP中PQ2=PA2+AQ2-PQ2=PA2+AQ2-2PAXAQXCOS60O=13„a236+a2—2… … •-

4 9 232v'13•PQ=~a6用反证法。若其中有三点共线，由推论1该直线与其外的第四个点必共面，与已知矛盾故其中有三点共线不成立。原命题成立。4•证明:•・•a1//a2•a1、a2确定平甌•A1€aA1€a•A2€aA2€a°