高二数学不等式的性质及其应用通用版知识精讲

高二数学不等式的性质及其应用通用版【本讲主要内容】不等式的性质及其应用【知识掌握】【知识点精析】不等式的概念和性质是不等式进行变形的基础，是解(证)不等式的主要依据。实数比较大小的理论依据：a—b>0€a>b；a—b=0€a=b；a—bvO€a<b；实数比较大小的方法：作差比较法不等式的基本性质：对每一条性质，一定要弄清条件和结论，尤其是要记准每一条性质的条件，注意条件放宽后，条件和结论之间发生的变化；避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误。掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力。【解题方法指导】例1.选择题：(1)若aVbVO,则下列各式不成立的是()11A.> B.a2>ab C.a2>b2 D.ab<b2ab解析：由不等式的性质知A成立，aVbVO,aVO,则a2>ab，B成立，一a>—b>0,(—a)2>(—b)2，C成立，bVO，则ab>b2，D不成立，选D评析：准确地把握不等式性质成立的条件，是正确推理的关键。(2)OVxVyVaVl,则有( )A.loga(xy)VO B.OVloga(xy)VlC.1Vloga(xy)V2 D.loga(xy)>2解析：OVxVyVa,则有0VxyVa2,而aVl,loga(xy)>logaa2=2，故选D评析：本题是对不等式的性质与对数函数的单调性的综合考查例2.已知a>b>c,比较a2b+b2c+c2a与ab2+bc2+ca2的大小解析：a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)=a2(b—c)+bc(b—c)+a(c2—b2)=(b—c)[a2—(b+c)a+bc]=(b—c) (a—b) (a—c)>0a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2评析：比较法是比较两实数大小的最基本的方法,又分作差比较法,作商比较法,以上两例均是利用作差比较法,其步骤是：“作差(商)——变形——判断”,其中变形是关键,常用的变形方法有配方法,分解因式法,分子或分母有理化等。同学们要注意体会与积累变形时的常用技巧。另外选择题比较大小,还常用特值法,排除法,单调性,图象法等。例3.已知a,b,c,d是互不相等的正数，且满足OVW-、：b<vc—yd,a+b=c+d,则下列不等式正确的是( )A.ab>cd，a>c>d>b B.ab>cd，c>a>b>dC.ab<cd，a>c>d>bD.ab<cd，a>b>c>d解析：0<Ja—\b<\''c-寸d,a>b,c>d且(斗a—、；b)2<( —、d)2,即a+b——2ab<c+d——2\：cda+b=c+d,•ab>cd，排除C、D,令a=3,b=2,c=4,d=1,满足0<Ja—^b<Vc—Jd,a+b=c+d,排除A,选B点评“由已知想性质”是转化已知的思想方法,条件中根式应转化为有理式,因此需平方,另外解选择题常常利用特值淘汰。【考点突破】【考点指要】近几年的高考试题对不等式概念和性质的考查,大部分以选择题和填空题的形式出现。考查通常分为三个层次：层次一：利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合,进行数值大小的比较。层次二：根据给定条件,利用不等式的性质,判断不等式或与之有关的不等式是否成立。层次三：判断不等式中条件与结论之间的关系,是充分条件或必要条件,或充分必要条件。

典型例题分析】1例4.（06年某某卷）若a>0,b>0,则不等式一bV<a等价于（ ）x11A.— <x<0或0<x<—1B.— <x<a11C.x1B.— <x<a11C.x<——或x>—ab11D.x<——或x>—ba解析：当x>0时,1 1 1—b< <aO <aOx>x x a1当x<0时，一b< <aO—b<x11x<—，故选Doxb…1—<ax评析：本题可以解分式不等式组„1 ，但不如分类讨论，利用不等式性质做简单->—b、x11例5.（05年某某卷）已知实数a,b满足等式（2）a=（3）b，下列五个关系式①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b其中可能成立的关系式有（）A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析：（2）a=（3）b二lg（2）a=lg（3”即alg2=blg3,可知a,b同号，b一a=alg2 lg2一a=a（一1）,a<0时b>a,a>0时b<a,a=0时，b=a,故可能成立的有lg3 lg3①②⑤，选C例6.（2000年某某卷）若已知二次函数y=f（x）的图象过原点，且1Wf（—1）W2,3Wf（1）W4求f（—2）的X围。错解：y=f(x)过原点，设f(x)=ax2+bxf(—1)=a—b f(1)=a+b132<a<3,_<b<-又f(—2)=4a—2b,8<4a<12,1<2b<3,—3<—2b<—122・•・5<4a—2b<11…1<a—b<2 1 3辨析= 7 =2<a<3,—<b<―,反之不成立如[3<a<b<4 2 213满足2<a<3,1<b<3不满足不等式组22正解1：利用解方程思想

f(x)=ax2,bx,.…f(1)f(x)=ax2,bx,.…f(1)=a,bf(-1)=a-b2 f(-2)=4a-2b=3f(-1),f(1),b=2[f(1)-f(-1)]1<f(-1)<2,3<f(1)<4•…6<f(-2)<10正解2：待定系数法€f(1)=a，b1f(-1)=a-b设f(—2)=4a—2b=m(a+b)+n(a—b)=(m+n)a+(m—n)b€m,n=4 €m=1…{ …•{ •…f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1)…Im-n=-2 In=31Wf(—1)W2,3Wf(1)W4・：6Wf(—2)W10达标测试】、选择题：(2004年卷)已知a,b,c满足cVbVa,且acVO,那么下列选项中一定成立的是()A.ab>ac B.c(b—a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a—c)>011已知a>b，则不等式①a2>b2②<〒③ac2>bc2中不成立的个数是()abA.0 B.1 C.2D.3a三b,可以推出()1 1 a bA.—三B.ac2三bc2C. >D.(ac)2三(be)2a b c2 c2“a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件已知x>2,贝y()A.x3＋2>2x2＋x B.x3＋2<2x2＋x C.x3＋2<2x2＋xD.以上都不对TOC\o"1-5"\h\z设a>b>c>0,贝9下列不等式成立的是( )abA.lb—al±1B.2a<2bC.lg<0D.0<<1ba设a<0,—1<b<0,则a,ab,ab2三者的大小关系为( )A.a<ab<ab2B.ab<a<ab2C.a<ab2<abD.ab2<ab<a已知f(x)在R上是增函数且a+b>0,贝9( )f(a)＋f(b)>f(—a)＋f(—b)f(a)＋f(b)<f(—a)＋f(—b)f(—a) ＋f(a)>f(—b)＋f(b)f(—a)＋f(a)<f(—b)＋f(b)

9.（2005年全国III,6）若9.（2005年全国III,6）若a=ln2Tln3ln5b=丁,c=，则（A.aVbVc B.cVbVaC.cVaVbD.bVaVc二、填空题：已知„，„t,0„P„€，则，E的取值范围是222a,b…R,那么“a2+b2<l”,是“ab+l>a+b”的 条件cd已知三个不等式(1)ab>0；(2)；(3)bc>ad，以其中两个作为条件，ab余下一个作为结论，则可以组成 个正确命题。设1VxV10,则lg2X,lgX2和lg(lgx)的大小关系为 三、解答题：已知x>3，比较X3+11x与6x2+6的大小比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小【综合测试】一、选择题：TOC\o"1-5"\h\z若a,b为实数，则“a>b>0”是“a2>b2”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件€€若角,，卩满足—2v，„卩„2，则，—卩的取值x围是( )A.-€„，—P„0B.—兀V，—P„0C.一€V,—PV兀D.—€„，—P„€3.若aM0或bM0,贝9( )A.a2+b2>abB.a2+b2»ab C.a2+b2<abD.a2+b2„ab已知x<a<0,则一定成立的不等式是( )A.x2VaxV0B.x2>ax>a2C.x2Va2V0D.x2>a2>ax若xM2或yM—1,M=x2+y2—4x+2y,N=—5, 则M与N的大小关系是( )A.M>N B.M<N C.M=ND.不能确定若a,b是任意实数，且a>b,贝9()b 1 1A.a2>b2B. <1C.lg(a—b)>0D.()a<G)ba 2 2117.(2004年某某卷)若一<〒<0,则下列不等式：(1)a+b<ab； (2)lal>lbl； (3)abbaa<b； (4) +->2中，正确的个数是( )abA.1 B.2 C.3 D.48.已知函数f(x)=x3+x,x.,x2,x3…R,x+X<0,X+X<0,X+X<0,1 2 3 1 2 2 3 1 3

那么f(X)€f(X)€f(X)的值( )1 2 3A.一定大于0 B.一定小于0C.等于OD.正负都有可能9.若aVbVO,则下列结论中正确的是()A.不等式-)1和丄〉丄均不能成立ababB.亠〉B.亠〉1和n〉1均不能成立a一baa|b1\111„2<1„2C.一〉一和a€—〉b+—a一baLb丿La丿均不能成立D.1„D.1„2(1„2丄〉丄和…a€1丫〉…b€1„2均不能成立二、 填空题：若f(X)=3x2—x+1,g(x)=2x2+x—1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x) g(x)11有以下四个条件①b>O>a；②0>a>b；③a>O>b；④a>b>0。其中能使一〈〒成ab立的条件有 已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个等式：①a>b>1；②b>a>1；③aVb<1；④bVaV1；⑤a=b其中可能成立的关系式是 ac若a,b,c,d均为实数，使不等式—>—>0和adVbc都成立的一组值(a,b,c,bdd)是 (只要写出适合条件的一组值即可)三、 解答题：比较1+logx3与2logx2(x>0且xM1)的大小已知1Va—bV2,2Va+bV4,求4a—2b的X围材怀热叢生命吗？那么别浪夷时间，因対时间是組成生y命的材料 富兰克袜【达标测试答案】一、选择题：A解析：由条件易知a>0,cV0,由b>c得ab>acD 3.B 4.A解析：a>2且b>2可得a+b>4且ab>4,反之，不成立，如a=10,b=1有a+b>4且ab>4则不满足a>2且b>2。TOC\o"1-5"\h\zADa a b解析：a>b>0可得->1,lg>0,0VVI,C错D对b b aC提示：可用特值法，也可用作差比较法A解析：a+b>0,则a>—b, b>—a, f (a) >f (—b),f (b) >f(—a),故选AC丄 ln2ln33ln2—2ln3 1o. ,解析：a—b= — = =7(ln8一ln9)V0aVb，同理可得cVa,2 3 6 6，cVaVb,选C二、 填空题：3k „10一——<2a——<n2 2解析：ab+l>a+bOa(b—1)—(b—1)>0O(a—1)(b—1)>0,a2+b2<1=aV1,bV1=(a—1)(b—1)>0,反之，不一定成立。故a2+b2<l是ab+l>a+b的充分不必要条件cdcbcbe—ad小解析：- <-O-亏〉0O >0,显然任意两个作为条件，都可以推abad ab出第三个成立，故可以组成的正确命题有3个。解析：1VxV10,，0VlgxV1,，0Vlg2xV1,lg(lgx)V0,lg2x—lgx2=lg2x—2lgx=lgx(lgx—2)V0,，lg2xVlgX2，・lg(lgx)Vlg2xVlgx2三、 解答题：解:x+11齐一 -6=x-3^-3x+11^—6・°・x3<11x>6x2<615.解析：a2+b2+c2—(ab+bc+ca)1=—(a2—2ab+b2+a2—2ac+c2+b2—2bc+c2)2=2[(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2]-0，a2+b2+c2、ab+bc+ca综合测试答案、选择题:

1.A3.A2.B解析：b 3b2a2+b2-ab=a2—ba+b2=(a—2)2+〒1.A3.A2.B解析：b 3b2a2+b2-ab=a2—ba+b2=(a—2)2+〒>°，故选A4.B7.B5.A6.D解析：1 1 b a由一<丁<0得bVaVO,故a+bVOVab；lalVlbl；—+〒>2,故(1)(4)正确,a b a b选B。8.B解析：由已知得x<-x,x<-x,- 2 2 3x-€-x3,(x),x3+x在R上为增函数，且为奇函数，・•・/(x-)</(-叮/(叮</(-X3)・•・/(X-)+/(X2)+/(X3)</(一X2)+/(一X3)+/(一X-)'从而得/(x)+/W)+/(U<0，故选B9.B解析：法一„~-b…-*.*aVbVO„aVa—bVO--故〉一不成立；TaVbVOa一ba„lal>lbl----,故〉芮不成立，故选B。lblbl另外A中-)-成立，C与D中|a+- b+丄丿2成立ab证明如下：aVbVO,・•・1(-〈0・・・a+-Vbab1b+ VO,a11.•・la+l>lb+lba法二：令a=—2,b=—1,代入选择支，易知B正确。注意本题可先证简单不等式是否成立，而不要直接证明a+丁<b丿〉b