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文档简介

Chap01函数、极限与连续重点内容:极限定义,极限运算法则,极限存在准则,两个重要极限,

等价无穷小量;2.函数的连续性,连续函数的运算,闭区间上连续函数的性质.难点:极限存在准则,等价无穷小量的使用;函数的间断点,闭区间上连续函数性质的应用.

今日讲课内容:数列极限定义函数极限定义长假后讲课内容:

极限运算法则极限存在准则两个重要极限概念的引入二.数列极限的概念三.数列极限的性质数列的极限1.

如何用渐近的方法求圆的面积A？

用圆内接正多边形的面积近似圆的面积A.A1

A2

A3

A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,

,显然n越大,An越接近于A.

因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.一、概念的引入刘徽割圆术：“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽刘徽

|牟合方盖2.曲边三角形的面积问题：与割圆问题同样的是——曲边三角形的面积A

如何计算？11oxy我们通常的做法是:将区间[0,1]n等份,用小矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积.不足近似(橘色部分)过剩近似(橘色加蓝色部分)可以看到，随着n的不断增大，不足近似不断增加，过剩近似不断减少，越来越接近于所要求的曲边三角形面积A

的真值。3.截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”例如数

列注意：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取问题当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.二.数列极限的定义如果数列没有极限,就说数列是发散的.几何解释:其中数列收敛的表述——用逻辑符号:

例1证所以,用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定的寻找N.例2例3证注意：3.改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.

重排不改变数列敛散性.

*数列发散的表述——用逻辑符号:

三.数列极限的性质1.有界性例如,有界无界定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2.唯一性定理2收敛的数列极限唯一。定理2收敛的数列极限唯一。证法二3#.子数列的收敛性注意：例如，定理3收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同。证明从略。其实这个结论就是从一般到特殊的必然。例4证小结数列:研究其取值规律，变化趋势。数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;

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