导数题型专题总结

导数题型专题总结

导数题型专题总结：本专题旨在整合重点、难点内容，纵向比较并横向延伸，点拨解题技巧，优化解题思路，规范答题标准，集中突破解题难点。教学过程：考向一：讨论参变量求解单调区间、极值例题1：已知函数$f(x)=x-\frac{2}{x}+a(2-lnx)$，(a>0)，讨论$f(x)$的单调性。变式1：已知函数$f(x)=\frac{2x-b}{(x-1)^2}$，求导函数$f'(x)$并确定$f(x)$的单调区间。变式2：设函数$f(x)=x^3-3ax+b$，(a≠0)。（1）若曲线$y=f(x)$在点$(2,f(2))$处与直线$y=8$相切，求$a,b$的值。（2）求函数$f(x)$的单调区间与极值点。变式3：设函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx$，且$f'(-1)=0$。（1）试用含$a$的代数式表示$b$。（2）求函数$f(x)$的单调区间。变式4：已知函数$f(x)=\frac{x^2+ax-2a^2+3a}{e^x}$，(a≠0)。求函数$f(x)$的单调区间与极值。考向二：已知区间单调或不单调，求解参变量的范围例题2：设函数$f(x)=xe^{kx}$，(k≠0)。（1）求曲线$y=f(x)$在点$(0,f(0))$处的切线方程。（2）求函数$f(x)$的单调区间。（3）若函数$f(x)$在区间$(-1,1)$内单调递增，求$k$的取值范围。变式1：已知函数$f(x)=x^3+ax^2+x+1$，(a∈R)。（1）讨论$f(x)$的单调区间。（2）若函数$f(x)$在区间$(-\frac{2}{3},-1)$内单调递减，求$a$的取值范围。变式2：已知函数$f(x)=\frac{mx}{3x+1}$，函数$f(x)$在区间$(2,+\infty)$内存在单调递增区间，求$m$的取值范围。变式3：已知函数$f(x)=x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2$，$g(x)=k^2x^2+kx+1$，$(k∈R)$，设函数$p(x)=f(x)+g(x)$，若$p(x)$在区间$(0,3)$上不单调，求$k$的取值范围。考向三：零点问题例题3：已知二次函数$y=g(x)$的导函数图像与直线$y=2x$平行，且$y=g(x)$在$x=-1$处取得极小值$m-1$，设$f(x)=g(x)x$，$(k∈R)$，如何取值函数$y=f(x)-kx$存在零点，并求出零点。变式1：已知实数a，函数f(x)=2ax^2+2x-3-a。如果在区间[-1,1]上存在零点，求a的取值范围。答案：由题意可知，存在零点意味着函数在[-1,1]上取过0值。因此，有2a(0)^2+2(0)-3-a=0，即a=3/2。当a≠3/2时，函数在[-1,1]上无零点；当a=3/2时，函数在x=1/2处取得零点，因此a的取值范围为a=3/2。变式2：已知函数f(x)=x^3-3ax-1。若在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图像有3个不同的交点，求m的取值范围。答案：由题意可知，函数在x=-1处取得极值，即f'(-1)=0。因此，有3(-1)^2-3a=0，即a=-1。此时，函数的极值为f(-1)=2，因此函数图像在y=2处有一个水平切线。又因为直线y=m与函数图像有3个不同的交点，所以m的取值范围为m∈(-∞,2)。变式3：已知函数f(x)=aln(x+1)+x^2-10x。若在x=3处取得极值，求a的值、函数f(x)的单调区间，以及直线y=b与y=f(x)的图像有3个不同的交点时b的取值范围。答案：由题意可知，函数在x=3处取得极值，即f'(3)=0。因此，有a=6/5。又因为f''(x)=1/(x+1)>0，所以函数f(x)在(-∞,-1)和(-1,+∞)上单调递增，在x=-1处取得极小值。直线y=b与函数图像有3个不同的交点时，必须满足b=f(-1)=-4a/5，且b为函数f(x)的最大值。因此，b的取值范围为b∈(-∞,-24/25]。例题4：已知函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x∈R)，若对任意的a∈[-2,2]，不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范围。解析：由题意可知，不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，即f(-1)≤1，f(0)≤1，f(1)≤1。因此，有b≤1，b≤1/2-a/2，b≤1-a-2a^2。由此得到b的取值范围为b≤min{1,1/2-a/2,1-a-2a^2}，即b∈(-∞,1/2]。变式1：设函数f(x)=ex-e-x，若对所有的x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围。答案：由题意可知，对于所有的x≥0，都有f(x)≥ax，即ex-e-x≥ax。将左边的式子看成一个关于e的函数，即y=e^x-e^-x，则y在x=0处取得最小值0，且导数为e^x+e^-x>0。因此，当x>0时，y单调递增，即f(x)=y≥0。又因为f(0)=0，所以有a≤f'(0)=2。因此，a的取值范围为a∈(-∞,2]。变式2：设函数f(x)=1/(xlnx)（x>0且x≠1），求函数f(x)的单调区间，以及当2x>xa对任意x∈(0,1)成立时，a的取值范围。答案：首先，当x∈(0,1)时，有lnx<0，因此f(x)<0。当x>1时，有lnx>0，因此f(x)>0。又因为f'(x)=-1/(x^2ln^2x)-1/(x^2lnx^2)<0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减。其单调区间为x∈(0,1]∪(e,+∞)。又因为2x>xa对任意x∈(0,1)成立，所以有2/x>a/lnx，即a<2lnx/x。因此，a的取值范围为a<2lnx/x，其中x∈(0,1)。变式3：设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围。答案：由题意可知，对于所有的x≥0，都有f(x)≥ax，即(x+1)ln(x+1)≥ax。将左边的式子看成一个关于ln(x+1)的函数，即y=(x+1)ln(x+1)，则y在x=0处取得最小值0，且导数为ln(x+1)+1>0。因此，当x>0时，y单调递增，即f(x)=y≥0。又因为f(0)=0，所以有a≤f'(0)=1。因此，a的取值范围为a∈(-∞,1]。例题5：设x=3是函数f(x)=(x^2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点。求a与b的关系式（用a表示b），并求函数f(x)的单调区间；设a>0，g(x)=∣a^2+25∣/(4ex)，若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得f(ξ1)-g(ξ2)<1成立，求a的取值范围。解析：由题意可知，x=3是函数f(x)的一个极值点，即f'(3)=0。因此，有(6+2a)e^3-3=0，即a=(3-e^3)/2。又因为x=3是极值点，所以f''(3)<0，即2e^3(x^2+ax+b)-6xe^3<0，即x^2+ax+b<3x。因此，函数f(x)在(-∞,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，且在x=3处取得极大值。又因为f(3)=(9+3a+b)e^3，所以有b=-(9+3a)e^3。因此，a与b的关系式为b=-(9+3a)e^3，函数f(x)的单调区间为x∈(-∞,3]∪[3,+∞)。对于第二部分，由题意可知，f(ξ1)-g(ξ2)<1，即[(ξ1^2+aξ1+b)e^3-ξ2^2ln[(a^2+25)/4]]<1。因此，有ξ1^2+aξ1+b<ξ2^2ln[(a^2+25)/4]+1/e^3。又因为f(x)在x=3处取得极大值，所以有a<(3-e^3)/2。因此，a的取值范围为a<(3-e^3)/2。文章已经没有明显的格式错误和问题段落，但是需要进行小幅度改写以提高可读性。变式5：要证明$\frac{nm}{n}>\frac{1}{m}$，其中$m,n\inN^*$且$3\leqm<n$。例题9：要证明$\sin\frac{\pi}{2n+1}\geq\frac{1}{n+1}$，其中$n\inN^*$。变式1：要证明$\frac{1}{2n+1}<2\sin\frac{1}{2n+1}$，其中$n\inN^*$。例题10：已知函数$f(x)=x-\sinx$，数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=f(a_n)$，其中$n=1,2,\ldots$。要证明：（1）$0<a_{n+1}<a_n<1$；（2）$\frac{a_{n+1}}{a_3}<\frac{1}{6}$。变式1：已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+(a-1)\lnx$，其中$a>1$。要证明：若$a<5$，则对于任意$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，且$x_1\neqx_2$，有$\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}>-1$。预测一：已知函数$f(x)=\frac{1+x}{1-x}e^{-ax}$，其中$a>0$。要求：（1）讨论$f(x)$的单调性；（2）若对于任意$x\in(0,1)$，有$f(x)>1$，求$a$的取值范围。预测二：已知函数$f(x)=x+a\lnx$，其中$a$是常数，且$a\leq-1$。要求：（1）当$a=-1$时，求$f(x)$在$[e,e^2]$上的值域；（2）若对于任意$x\in[e,e^2]$，有$f(x)\leqe^{-1}$，求实数$a$的取值范围。预测三：已知函数$f(x)=\frac{1+a}{x}e^x$，其中$a>0$。要求：（1）求函数$f(x)$的零点；（2）讨论$y=f(x)$在区间$(-\infty,0)$上的单调性；（3）在区间$(-\infty,-\frac{a}{2}]$上，讨论$f(x)$是否存在最小值。若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。预测四：已知函数$f(x)=a\lnx-\frac{1}{x}$，其中$a\inR$。要求：（1）若曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与直线$x+2y=0$垂直，求$a$的值；（2）求函数$f(x)$的单调区间；（3）当$a=1$且$x\geq2$时，证明$f(x-1)\leq2x-5$。预测五：已知函数$f(x)=\lnx+ax$，其中$a<0$。要求：（1）设$a<-1$，求$f(x)$的单调区间；（2）若函数$f(x)$在$[1,e]$上的最小值是$\frac{3}{2}$，求$a$的值。预测六：已知函数$f(x)=px-p(x-2)\lnx$，其中$p$是正实数。要求：（1）若$p=2$，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；（2）若函数$f(x)$在其定义域内为增函数，求正实数$p$的取值范围。预测七：（1）求f（x）的单调区间：f（x）=x3-x，f’（x）=3x2-1，令f’（x）=0，得x=±1/√3，因此f（x）在（-∞，-1/√3）单调递减，在（-1/√3，1/√3）单调递增，在（1/√3，+∞）单调递增。（2）设a>0，过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，要证明-a<b<f（a）。由于f（x）单调递增，所以三条切线的x坐标分别为a，c，d（a<c<d），则有b=f（a）+f’（a）（c-a）+f’（d）（d-a）+f’（c）（c-a）。又因为三条切线都过点（a，b），所以它们的方程分别为y=b+f’（a）（x-a），y=b+f’（c）（x-c），y=b+f’（d）（x-d）。将这三条直线与y=f（x）相交，得到三个交点，分别为（a，b），（c，f（c）），（d，f（d））。由于f（x）单调递增，所以f（c）<f（a）<f（d），又因为三条切线都在曲线上方，所以它们的斜率都大于f’（x），即f’（a）<f’（c）<f’（d）。代入上面的式子，得到-a<b<f（a），证毕。预测八：（1）当a=1时，f（x）-g（x）=x2-x-lnx，f’（x）=2x-1/x，令f’（x）=0，得x=1/√2，因此f（x）在（0，1/√2）单调递减，在（1/√2，+∞）单调递增。因此f（x）-g（x）在（0，1/√2）上单调递减，在（1/√2，+∞）上单调递增。（2）设M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），则有ax1^2-x1=ax2^2-x2，lnx1=lnx2，解得x1=x2，或x1+x2=a+1。如果x1=x2，则M、N重合，与题意矛盾，因此必有x1+x2=a+1。又因为M、N是f（x）与g（x）的交点，所以有x1^2-x1=a^2x2^2-x2，lnx1=x2。将x2表示为lnx1，代入前面的式子，得到x1^2-x1=a^2ln^2x1-lnx1。令y=x1-lnx1/2，化简得到y^2=a^2ln^2e^y，即