2023年4月广东深圳市2023届高三高考二模数学试题卷（含答案）

试卷类型：A

2023年深圳市高三年级第二次调研考试

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答

题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡

右上角”条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和

涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合力={2,0},8={2,3},则Qu，(4n8)=

A.{0}B.{2}C.{3}D.{013}

3*r<1

2.已知函数/(x)=<'、；则，(〃2))=

logjX,X>l,

A.2B.-2D，

3.设等差数列{%}的前”项和为S.,若Mo=20,$20=10,则%=

A.0B.-10C.-30D.-40

4.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为匕、匕和匕，则

A.匕＜匕＜匕B.匕<匕"C.匕＜匕＜匕D.匕＜匕＜匕

5.已知△0/8中，OC=CA,OD=2DBHO与8c相交于点M,OM=xOA+yOB>

则有序数对（x,y）=

A.（另）B.（*）c•品

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6.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大

于8的概率为

1245

A-R_r-D.-

3399

7.设椭圆C：m+[=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳，玛，直线/过点耳•若点6

ab

关于/的对称点尸恰好在椭圆C上，且不•丽=!]，则C的离心率为

2

12-1「2

A.]B,-C.5D.工

8.已知£>0,x,yG(-—,—),且e"'siny=e，sinx,则下列关系式恒成立的为

44

A.coscosyB.cosx》cosyC.sinsinyD.sinx》siny

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.为了研究y关于X的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：

X12345

y0.50.811.21.5

假设经验回归方程为j=Ar+0.28,则

A.6=0.24

B.当x=8时，》的预测值为2.2

C.样本数据y的40%分位数为0.8

D.去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数，不变

10.已知/(x)是定义在闭区间上的偶函数，且在)，轴右侧的图象是函数》=5布(,冰+仍

3>0,0<夕<力图象的一部分(如图所示)，则

A./(x)的定义域为域为可

B.当x=[时，/(x)取得最大值

O

C.当x<0时，/(X)的单调递增区间为勺

3o

D.当x<0时，/(x)有且只有两个零点-普和-詈

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题第2页共6页

11.如图，在矩形4EFC中，AE=2y[3,EF=4,

B为E尸中点.现分别沿48、8c将

△BC厂翻折，使点E、尸重合，记为点P,

翻折后得到三棱锥P-48C,则

A.三棱锥尸-/BC的体积为逑

3

B.直线以与直线8c所成角的余弦值为且

6

C.直线H4与平面P8C所成角的正弦值为:

D.三棱锥尸一/8C外接球的半径为叵(第II题图)

2

12.设抛物线C:j，=Y的焦点为尸，过抛物线。上不同的两点4,8分别作C的切线,

两条切线的交点为P,4B的中点为Q,则

A.P0，x轴B.PF1AB

C.Z.PFA=Z.PFBD.\AF\+\BF\=2\PF\

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知复数z满足z2+z+l=0,贝ljzb=.

14.若X〜N(9,22),贝iJP(7<X<13)=(精确到0.01).

参考数据：若X〜则户(|>一〃|<。)B0.683,P(|X-//|<2CT)«0.955.

15.已知函数/(x)的定义域为R,若/(x+l)-2为奇函数，且/(l-x)=/(3+x),则

/(2023)=.

16.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的

底线宽48=72码，球门宽所=8码，球门位于底线的正

中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要

找到一点P，使得NEPE最大,这时候点P就是最佳射门

位置.当攻方球员甲位于边线上的点。处=,

OA1AB)时，根据场上形势判断，有方、砺两条进

攻线路可供选择.若选择线路而，则甲带球码时，

到达最佳射门位置；若选择线路而，则甲带球码

时，到达最佳射门位置.

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题第3页共6页

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知叫b,c分别为△/8C三个内角4,8,C的对边,且sin(4-8)=2sinC.

(1)证明:，=〃+2";

(2)若/=T，a=3,~BC=3BM,求/A/的长度.

18.(12分)

飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为

了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区

的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：

飞盘运动

性别合计

不爱好爱好

男61622

女42428

合计104050

(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从

这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X,求X的分布列和数学期望：

(2)依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如

果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断

爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.

n(ad-be)2

附：力2=g+6)(c+d)(a+c)(b+d)'其中〃="6+c+d.

a0.10.010.001

X。2.7066.63510.828

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题第4页共6页

19.(12分)

在三棱柱Z8C-44G中，AB=BC=2,ZABC=y,4cl上.

(1)证明：44=4。；

(2)若4/=2，5C,=V14,求平面4c4与平面5CG4夹角的余弦值.

(第19题图)

20.(12分)

已知数列｛%｝满足q=3,勺%“=9x2*1neN-,

(1)求数列SJ的通项公式：

(2)证明：数列｛。“｝中的任意三项均不能构成等差数列.

21.（12分）

已知双曲线C:V一/=[,点〃为双曲线C右支上一点，48为双曲线C的左、右

顶点，直线/〃与V轴交于点O,点。在x轴正半轴上，点E在夕轴上.

(1)若点”(2,行)，0(2,0),过点。作的垂线/交该双曲线。于S1两点，

求△QST的面积.

(2)若点“不与8重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①历=诙；②BM工EQ；③|O0|=2.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.(12分)

己知函数f(x)=e"u'1-x.

(1)讨论函数/(x)的单调性：

(2)当m>0时，函数g(x)=/(x)-12叶1+x恰有两个零点.

m

(i)求用的取值范围；

1,

(ii)证明：g(x)>mm-mm.

2023年深圳市高三年级第二次调研考试

数学试题参考答案及评分标准

2023.4

本试卷22小题，满分150分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

题号12345678

答案DACBDDCA

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

题号9101112

答案ABDBCDBDAC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.114.0.8215.216.72-16后，720-16石

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

解：(1)Vsin(A-B)=2sinC=2sin[7i-(A+B)]=sin(A+B),.................................................1分

...sinAcosB-cosAsinB=2(sinAcosB+cosAsinB),

/.sinAcosB+3cosAsinB=0,.............................................................................................................3分

由正弦定理和余弦定理得axi十02-*+3。*=0,................................................4分

2ac2hc

化简得/=/+2。2..................................................................................................................................5分

(2)(法1)在△A3C中，由余弦定理得/+02+从=9.............................................................6分

又b2+2c2=a2=9,.......................................................................................................................7分

b=c=yfi>............................................................................................................................................8分

由BC=3BM，得BM=三,

在△ABM中，由余弦定理得AM?=C2+（；«）2-2cxgaxcosB,

AM=1..................................................................................................................................................10分

(法2)在△ABC中，由余弦定理得62+，+左=9........................................................................6分

Xb2+2c2=i72=9,........................................................................................................................7分

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准第1页共9页

:•b=c=上8分

18.（12分）

解：（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人，比例为4：6,

按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人...................1分

随机变量X的取值为：0,1,2,3.

C31

P（X=0）=W=z，................................................................2分

Co6

P（X=1）=等总................................................................3分

C10乙

C：C：h3

P(X=2)=.............................................................4分

品10

C31

P（X=3）=T=—，................................................................5分

心30

随机变量X的分布列为

X0123

]_J_31

P

62To30

随机变量X的数学期望E（X）=0xt+lx；+2x—+3xA=《.........................6分

（2）零假设为4°：爱好飞盘运动与性别无关联.......................................7分

2

根据列联表重的数据，经计算得到Z=5。速521x16J]299<6.635=5........9分

10x40x22x28001

根据小概率值。=0.01的独立性检验，没有充分证据推断”。不成立，因此可以认为”。成立，即认

为爱好飞盘运动与性别无关联.......................................................10分

列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，/=500x（60£40二40/60『己】299>$535=n,

100x400x220x280

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断”。成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.

所以，结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导

致推断结论发生了变化.............................................................12分

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准第2页共9页

19.（12分）

证明：（1）设AC的中点为O,连接。A，OB,

因为=所以AC_LOB.......................................................1分

又因为AG〃AC,且AG_LA3,所以....................................2分

因为A3,OBu平面。例，且OB=B,

所以ACJ•平面。网................................................................3分

因为。u平面。网，

所以......................................................................4分

又因为。是AC的中点，

所以AA=4C......................................................................5分

解：（2）（法1）在△45C中，由余弦定理求得AC=26,则AG=AC=20.

因为所以4笈+人仁二台。：，解得48=&..............................6分

在心△AOA和田△AOB中，可知40=08=1.

在△。阳中，*+。炉=4"，因此A"O8......................................7分

由（1）知，A.O1AC,且AC,O8u平面ABC,且A。0B=0,

所以A。，平面相C................................................................8分

以OB，OC，0A所在直线分别为'轴，）'轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（o,o，D，

3（1,0,0）,C（0,A/3,0）,A（0,-&,0）.所以4瓦=钻=（1,6,0）,AC=（O,百,一1）,BC=（-1,73,0）,

BB]=A4,=(0,V3,l).................................................................9分

lz

设平面ACB1的法向量为机=(x,x，zj,

设平面BCQBi的法向量为〃=（々,%,Z2）,

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准第3页共9页

n-BC=Q-%2+—0

则〈即〈

n-BB、—06y2+z2=0

令w=G,得〃=（G』,一G）................................................ii分

设平面ACBi与平面BCCtB,夹角为8,则cos。=鲁驾=I,

Irn||n|7

所以平面AC4与平面8CC4夹角的余弦值为J..................................12分

（法2）设8G与8c相交于点M.同（法1）可求得45=AC=31G=CG=2,.....7分

因此，A.MLB.C,所以NAMG是平面4C4与平面BCG4的夹角（或其补角）,

9分

因为号，=2百,

在△AMG中，由余弦定理可得，

AM+CM-AC；5（第19题图）

COSNAMG二11分

24MxeM7

所以平面AC4与平面BCC圈夹角的余弦值为1..................................12分

20.（12分）

212n+,

解：（1）由anan+l=9x2"-,得an+tan+2=9x2,.................................1分

以上两式相比，得吐=4.....................................................2分

由4x4/2=18,q=3,彳导ci2=6,...............................................3分

所以，数列｛%-｝是首项为3,公比4为的等比数列，%T=3X4"T=3X2（2MZ,.......4分

数列｛%,｝是首项为6,公比为4的等比数列，%,=6X4"T=3X22"T,.................5分

综上，数列｛4｝的通项公式为4“=3X2"T,〃eN*..................................6分

（2）假设数列｛a,J中存在三项数列金，ak,ap（其中“<&<p）成等差数列，

则《“+<=24,............................................................7分

由（I）得3x2”“+3X2'T=6X2"T,B|I2m~'+2P''=2k.............................8分

两边同时除以2m~'>得1+2p~m=2k~m+'>（*）

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准第4页共9页

"/m<k<p,且m，A,pwN*,k-m+\,p-meN*,

：.（*）式左边为奇数，右边为偶数

.♦•（*）等式不成立，假设不成立.

所以，数列｛4｝中得任意三项均不能构成等差数列....................................12分

21.（12分）

解：（1）（法1）因为点M（2,G），8（1,0）,

直线BM的斜率kBM=手FG，

所以，垂线/的方程为*=-后），+2...................................................1分

设点S(X1,y),T(X2，y2),

x=—>/3y+2

联立(,，得2y2―40y+3=O,...........................................2分

W-y-=1

卜+丫2=2退

则△=(-46)2-4x2x3=24,3，........................................3分

昵=5

即|ST1="1+户"乂+%）2-句为=2瓜..............................................4分

原点。到直线/的距离为"=1,

所以，△QST的面积为Lx|ST|xd=1x2#xl="...................................5分

22

（法2）因为点M的坐标为M（2,G）,点B的坐标为8（1,0）直线的斜率，

1^=在0=0,所以垂线/的方程为x=-Gy+2..................................1分

2—1

设点S（5，M）,八物为），

x=->/3y+2

联立2°，得2f+4x-7=()，............................................2分

x-/=1

%+%?=-2

则4=42+4x2x7=72，7，...............................................3分

X,元=--

即|为-x2|=Q（X]+々）2_4药工2=3a，...............................................4分

垂线/与y轴的交点为（0,羊），

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准第5页共9页

所以，△OST的面积为gx|X]|x二f=；x30=#...........................5分

（2）①②作为条件，③作为结论

令点0（0,%）,M（而,%）（与>1）,

由题意得8（1,0）,4-1,0）,

ARM三点共线，

XOD=DE，

2y

二点E的坐标为E(0，Tn).........................................................8分

%)+1

直线BM的斜率即M=—%，

玉)T

.BMLEQ,

,k-U

为

设点Q(%,0),

2%

直线EQ的斜率⑥J-%%+1...............................................10分

微%-4

2/_24

：.\OQ\=2.........................................................................12分

①③作为条件，②作为结论

令点。（（）,％）,〃（与,%）（与>D，

由已知点8的坐标为8（1,0）,4（-1,0）,

ARM三点共线，

又OD=DE，

2y

.・•点E的坐标为E（0，Tn）.........................................................8分

X。十I

又|OQ|=2,点。在x轴正半轴上，，。⑵。），

2yo

二.+1,%.............................................................10分

‘‘EQ--2-与+1

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准第6页共9页

又心

为

^BM^EQ%

，T)Uo+DX(丁-1

.'.BMLEQ................................................................................................................................................12分

②③作为条件，①作为结论

令点。(0,%)，8(1,0),令(如%)(4>1)，不妨设%>0,

A,r>,〃三点共线,

..............................................................8分

点。在x轴正半轴上且\OQ\=2,点Q(2,0),

BM1EQ,

10分

2(%T)：nL..2-4(玉,一1)245-1)245-1)

%yoM-iM+i

•••班=2切，即OO=OE......................................................................................................................12分

22.(12分)

解：(1)设/(x)=e'"T-x,f'(x)=wem-'-l,.............................................................................1分

当"70时，,fU)=/we,,tt-1-l<0,

；./(x)在R上单调递减；...........................................................2分

当机>0时，设尸(x)=-1,F'(x)=w2e,,lv-1>0,

.../'(x)在R上单调递增，

.•.当xe(-82心')，f'W<0,f(x)在区间(_8,匕皿)上单调递减；

mm

当/(X)在xe(上四里，+8),f'(x)>0,/(X)在区间(上皿,+8)上单调递增...........3分

mm

/八/•、/\nu-iInx+1T1zw2xewa-1—1

(2)(i)g(x)=e-----------(m>0),g\x)=/ne,nx1-------=-----------------,

tnxmx

设h(x)=m2xentx~]-1,则〃'(x)=trr(mx+l)ewu-1,

・・・〃'(x)>0,・・.h(x)在区间(0,+oo)上单调递增，

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准第7页共9页

t/«、―,、“《m.i/'z、—IntnIn1八口n丫i,八

由(1)可r知当，然=1时，则/(X)/(---------)=——=丁=0,即e*T；X,.............................4分

mm1

_3_3q_3_3

2

h(m~3+1)=巾2.(加3+]).e"M，”+D-1_1根2.(/5+i).机(〃-5+。_]，

_3_3_3

,•h(m+\)>m2-m-mm5-1=0

又・・・6(0)=-1,由零点存在性定理可知，

存在火(0,1+1)，使得力a)=o,即如0叫-1=5,(*)

g（x）在区间（0,司）上单调递减，在区间（西,内）上单调递增............................5分

当利附由⑴可知ga）=e"，*」T产，且呐1，

设例工）=胧1,^（x）=（x+l）ev-1>0,则。（x）在（。,物）上单调递增,

,•*。⑴=1,*,.IWCy1,又由机1.**Xj—1,

m

l-zn^Clnx,+1)\-nixx0,即g(x)g($)0,与条件矛盾，.......................6分

当0vm<1时，g(l)=e"i——,

m

设G(x)=e*T-LG,(x)=ex-1+4->0,

XX

：.G(X)在区间(0,+oo)上单调递增，

AG(x)<G(l)=0,即g⑴<0,

,/ev-1x,・•.x一1Inx,即y[x-1InyJx,/.2\[x-2Inx,

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