数位影像处理课件

第七章傅利葉轉換7.1導論傅利葉轉換(FourierTransform/FT)是影像處理中重要的基礎.傅利葉轉換是執行線性空間濾波的另一種有效方式.傅利葉轉換可用於擷取或處理特定影像頻率.傅利葉轉換執行低通與高通濾波時能得到更精確的效果.第七章傅利葉轉換7.2背景我們可以把一週期性函數訊號,看做是由不同振幅和頻率的正弦與餘弦波的組合.有些函數可以分解成有限個函數的總和.第七章傅利葉轉換7.2背景有些函數可以分解成無限個函數的總和.第七章傅利葉轉換7.2背景若f(x)是一個週期為2T的函數f(x)

的傅利葉級數展開(Fourierseriesexpansion)第七章傅利葉轉換7.2背景以複數形式表示第七章傅利葉轉換7.2背景若f(x)是一個非週期函數，T∞第七章傅利葉轉換7.2背景以複數形式表示來表示方程式第七章傅利葉轉換7.3一維離散傅利葉轉換(DFT)數位影像與數位訊號皆屬於離散函數數據數量皆為有限值此章僅探討離散傅利葉轉換第七章傅利葉轉換7.3一維離散傅利葉轉換(DFT)一維DFT的定義：長度為N的數列DFT數列定義矩陣乘積：N×N

的矩陣第七章傅利葉轉換7.4一維DFT的特性線性：假設f與g是相同長度的向量,p與q

為純量,令h=pf+qg

,若FG與H分別為fg與h的DFT,則H=pF+qG平移：將向量的x

的元素乘上(-1)n>>x=[23456781];>>x1=(-1).^[0:7].*xx1=[2-34-56-78-1]>>x=fft(x')>>x1=fft(x1')第七章傅利葉轉換7.4一維DFT的特性共軛對稱：若x為實數,長度為N,其DFTX便會滿足下列條件旋積：假設x與y同樣是長度為N的相量,則旋積(環形旋積)為第七章傅利葉轉換7.4一維DFT的特性旋積：Matlabconvfunction>>a=[1234];>>b=[5678];>>conv(a,b)ans=5163460615232>>cconv(a,b)ans=66686660第七章傅利葉轉換7.4一維DFT的特性旋積定理>>fft(cconv(a,b)')=fft(a’).*fft(b’);ans=1.0e+002*2.60000-0.0800i0.04000+0.0800i第七章傅利葉轉換7.4一維DFT的特性旋積定理>>fft(a').*fft(b');>>ifft(ans)'ans=66686660快速傅利葉轉換(FastFourierTransform)FFT其中的一種方式是以遞迴方式進行運算,將原始向量分為兩半,各自進行FFT運算.長度為2n的向量,直接計算需要(2n)2=22n次乘法,但使用FFT僅需n2n次,節省了2n/n倍的計算.第七章傅利葉轉換二維DFT假設原始矩陣值為f(x,y),x與y為索引,則輸出矩陣為F(u,v)一維函數可以寫成正弦與餘弦函數的組合影像為二維函數f(x,y),可以將其看成波紋函數的組合第七章傅利葉轉換二維DFT第七章傅利葉轉換二維DFT假設有一影像大小為M×N,x索引範圍是從0~M-1,y索引範圍是從0~N-1第七章傅利葉轉換二維DFT相似性：正轉跟反轉相似,指數項的負號.DFT當成空間濾波器使用：分離性第七章傅利葉轉換二維DFT分離性第七章傅利葉轉換二維DFT線性雜訊影像d旋積定理第七章傅利葉轉換二維DFTDC係數DFT的F(0,0)值稱為DC係數平移共軛對稱第七章傅利葉轉換第七章傅利葉轉換平移第七章傅利葉轉換7.6Matlab

中的傅利葉轉換fft:計算向量的DFTifft:計算向量的反DFTfft2:計算矩陣的DFTifft2:計算矩陣的反DFTfftshift:平移轉換>>a=ones(8);>>fft2(a)DC係數為所有矩陣值的總和第七章傅利葉轉換7.6Matlab

中的傅利葉轉換-50+500DCAC第七章傅利葉轉換7.6Matlab

中的傅利葉轉換第七章傅利葉轉換7.7影像之傅利葉轉換>>a=[zeros(256,128)ones(256,128)];>>imshow(im2uint8(a/max(a(:))));>>af=fftshift(fft2(a));>>af1=log(1+abs(af));>>imshow(af1/af1(129,129));>>imshow(mat2gray(log(1+abs(af))))第七章傅利葉轉換7.7影像之傅利葉轉換>>a(78:178,78:178)=1;>>imshow(a);>>af=fftshift(fft2(a));>>figure,fftshow(af,'abs')>>figure,fftshow(af,'log')abslog第七章傅利葉轉換7.7影像之傅利葉轉換>>[x,y]=meshgrid(1:256,1:256);>>b=(x+y<329)&(x+y>182)&(x-y>-67)&(x-y<73);>>imshow(b);>>bf=fftshift(fft2(b));>>figure,fftshow(bf)第七章傅利葉轉換7.7影像之傅利葉轉換meshgrid:GenerateFandGmatricesforthree-dimensionalplots>>[F,G]=meshgrid(1:3,1:3)第七章傅利葉轉換7.7影像之傅利葉轉換>>[x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127);>>z=sqrt(x.^2+y.^2);>>c=(z<15);>>cf=fftshift(fft2(c));>>fftshow(cf,'log')>>imshow(c);第七章傅利葉轉換7.8頻率域的濾波理想濾波低通濾波:讓頻域下的影像矩陣資料乘上理想低通矩陣(IdealLowpassMatrix),此二元矩陣m定義如下D1nm第七章傅利葉轉換7.8頻率域的濾波>>cm=imread('cameraman.tif');>>cf=fftshift(fft2(double(cm)));>>figure,fftshow(cf,'log')>>figure;imshow(cm);>>[x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127);>>z=sqrt(x.^2+y.^2);>>c=(z<15);>>imshow(c)D=14第七章傅利葉轉換7.8頻率域的濾波>>cf1=cf.*c;>>figure,fftshow(cf1,'log')>>cfli=ifft2(cf1);>>figure,fftshow(cfli,'abs')第七章傅利葉轉換7.8頻率域的濾波>>[x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127);>>z=sqrt(x.^2+y.^2);>>c=(z<D);D=4D=29D=9第七章傅利葉轉換7.8頻率域的濾波高通濾波:低通濾波可讓DFT中心值保持不變,並消除其他值,而高通濾波則相反.>>[x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127);>>z=sqrt(x.^2+y.^2);>>c=(z>

D);D第七章傅利葉轉換7.8頻率域的濾波高通濾波D=29D=15D=4第七章傅利葉轉換7.8頻率域的濾波理想低通濾波的缺點,是會產生不必要的波紋瑕疵.IdealLow-passFilterIdealHigh-passFilter第七章傅利葉轉換7.8頻率域的濾波Butterworth濾波：n為濾波函數的階數>>[x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127);>>b1=1./(1+((x.^2+y.^2)/15).^2);>>imshow(b1);ButterworthLow-passFilterButterworthHigh-passFilter第七章傅利葉轉換7.8頻率域的濾波Butterworth濾波n=1n=3第七章