运筹学优化试验

运筹学优化试验第1页，课件共26页，创作于2023年2月一、用Excel求非线性规划模型的命令格式和实例第2页，课件共26页，创作于2023年2月例1求例2求第3页，课件共26页，创作于2023年2月二、用Mathematica求非线性规划模型的命令格式和实例1、用驻点法求函数f(x)在[a,b]区间上的最大和最小值1）先求驻点表zd=Solve[f[x]==0,x]2）再求函数在表zd中点处的{变量值、函数值}表与{端点值、端点函数值}并集表zdgh=Union[{x,f[x]}/.zdg，{{a，f(a)}，{b，f(b)}}]3）求表zdgh中的函数值的最大、最小值

fmax=Max[Transpose[zdgh][[2]]]fmin=Min[Transpose[zdgh][[2]]]4）求出函数取最大、最小值的点

x1=Position[zdgh,fmin]x2=Position[zdgh,fmax]xmin=zdgh[[x1[[1,1]]]]xmax=zdgh[[x2[[1,1]]]第4页，课件共26页，创作于2023年2月注：学习编程后我们可把这种方法编成一个通用程序。

Transpose[zdgh]表示把表zdgh转置

zdgh[[2]]表示获取表zdgh的第2行

Transpose[zdgh][[2]]表示获取表zdgh的第2列

Position[zdgh,fmin]表示表zdgh中与元素fmin相匹配的位置2、用改进法求函数f(x)在[a,b]区间上的最大和最小值1）绘制函数f(x)在[a，b]上的图形，观察函数f(x)在[a,b]区间上可能取最大和最小值的点为x2和x1附近。2）xmin=FindRoot[f’[x]==0,{x,x1}]xmax=FindRoot[f’[x]==0,{x,x2}]3)fmin=f[x]/.xminfmax=f[x]/.xmax注：该方法简单直观，但不适宜编通用程序。第5页，课件共26页，创作于2023年2月3、用求极值命令求函数f(x)在[a,b]区间上的最大和最小值（P186）1）绘制函数f(x)在[a，b]上的图形，观察函数f(x)在[a,b]区间上可能取最大和最小值的点为x2和x1。2）xmin=FindMinmum[f[x],{x,x1}]xmax=FindMinmun[-f[x],{x,x2}]4、多元函数求极值命令xmin=FindMinmum[f[x,y,z],{x,x0}{y,y0},{z,z0}]表示求多元函数f(x,y,z)在点{xo,y0,z0}附近的极小值

xmax=FindMinmum[-f[x,y,z],{x,x0}{y,y0},{z,z0}]表示求多元函数f(x,y,z)在点{xo,y0,z0}附近的极大值5、有约束的非线性规划求解命令NMinimize[{f(X),约束1，约束2,

…,约束m}，{决策变量}]

如：NMinimize[{E^(Sin[50x])+Sin[60E^y]+Sin[70Sin[x]]+Sin[Sin[80y]]-Sin[10(x+y)]+1/4(x^2+y^2),x^2+y^2£1},{x,y}]第6页，课件共26页，创作于2023年2月三、用MATLAB解优化问题其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2）的等式右边.

函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.常用格式如下：（1）x=fminbnd(fun,x1,x2)（2）x=fminbnd(fun,x1,x2，options)（3）[x，fval]=fminbnd（…）（4）[x，fval，exitflag]=fminbnd（…）（5）[x，fval，exitflag，output]=fminbnd（…）第7页，课件共26页，创作于2023年2月MATLAB(wliti1)主程序为wliti1.m:

f='2*exp(-x).*sin(x)';fplot(f,[0,8]);%作图语句

[xmin,ymin]=fminbnd(f,0,8)f1='-2*exp(-x).*sin

(x)';[xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8)用Excel规划求解工具求解用LINGO软件求解第8页，课件共26页，创作于2023年2月命令格式为:（1）x=fminunc（fun,X0）；或x=fminsearch（fun,X0）（2）x=fminunc（fun,X0，options）；或x=fminsearch（fun,X0，options）（3）[x，fval]=fminunc（...）；或[x，fval]=fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag]=fminsearch（5）[x，fval，exitflag，output]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag，output]=fminsearch（...）

2.多元函数无约束优化问题标准型为：min第9页，课件共26页，创作于2023年2月[3]fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由选项中参数LineSearchType控制：

LineSearchType=‘quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多项式插值；

LineSearchType='cubicpoly'，三次多项式插使用fminunc和fminsearch可能会得到局部最优解.说明:fminsearch是用单纯形法寻优.fminunc算法见以下几点说明：[1]fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法.由选项中的参数LargeScale控制：LargeScale=‘on'(默认值),使用大型算法LargeScale=‘off'(默认值),使用中型算法[2]fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由

选项中的参数HessUpdate控制：

HessUpdate='bfgs'（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；HessUpdate='dfp'，拟牛顿法的DFP公式；HessUpdate='steepdesc'，最速下降法第10页，课件共26页，创作于2023年2月例3minMATLAB(wliti3)

1.编写M文件

fun1.m:function

f=fun1(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

2.输入M文件wliti3.m如下:

x0=[-1,1];x=fminunc('fun1',x0);y=fun1(x)

3.运行结果:

x=0.5000-1.0000y=1.3029e-10=0用LINGO软件求解用Excel规划求解工具求解第11页，课件共26页，创作于2023年2月MATLAB(wliti31)MATLAB(wliti32)第12页，课件共26页，创作于2023年2月3.用fminsearch函数求解MATLAB(wliti41)输入命令:

f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.22])运行结果:

x=1.00001.0000fval=1.9151e-010exitflag=1output=iterations:108funcCount:202algorthm:'Nelder-Meadsimplexdirectsearch

'第13页，课件共26页，创作于2023年2月4.用fminunc

函数MATLAB(wliti44)(1)建立M文件fun2.m

function

f=fun2(x)

f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2(2)主程序wliti44.m第14页，课件共26页，创作于2023年2月

Rosenbrock函数不同算法的计算结果可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.第15页，课件共26页，创作于2023年2月四）、有约束优化问题的数学软件求解1.首先建立M文件fun.m,用来定义目标函数F（X）:functionf=fun(X);f=F(X);

其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，MATLAB求解上述问题，基本步骤分三步：第16页，课件共26页，创作于2023年2月3．建立主程序.求解非线性规划的函数是fmincon,命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=fmincon(…)

(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(…)(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(…)输出极值点M文件迭代的初值参数说明变量上下限第17页，课件共26页，创作于2023年2月注意：[1]fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法．默认时:若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法．当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法．[2]fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法．在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hesse矩阵．[3]fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关．第18页，课件共26页，创作于2023年2月例1

min

f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22s.t.

x1+x2≤2-x1+2x2≤2

x1≥0,x2≥0MATLAB（youh1）1．写成标准形式：

2．输入命令：

H=[1-1;-12];c=[-2;-6];A=[11;-12];b=[2;2];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3．运算结果为：

x=0．66671．3333z=-8．2222s.t.第19页，课件共26页，创作于2023年2月1．写成标准形式：

s.t.

2x1+3x26

s.t.

x1+4x25

x1,x20例2第20页，课件共26页，创作于2023年2月2．先建立M-文件fun3．m:

functionf=fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2MATLAB(youh2)3．再建立主程序youh2．m：

x0=[1;1];A=[23;14];b=[6;5];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4．运算结果为：

x=0．76471．0588fval=-2．0294第21页，课件共26页，创作于2023年2月1．先建立M文件fun4．m定义目标函数:

functionf=fun4(x);f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

x1+x2=0s.t.1.5+x1x2-x1-x20

-x1x2–10

0例3

2．再建立M文件mycon．m定义非线性约束：

function[g,ceq]=mycon(x)g=[x(1)+x(2);1．5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];第22页，课件共26页，创作于2023年2月3．主程序youh3．m为:x0=[-1;1];A=[];b=[];Aeq=[11];beq=[0];vlb=[];vub=[];[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')MATLAB(youh3)4．运算结果为：