【解析】北师大版数学九年级上册同步练习-第二章《一元二次方程》5 一元二次方程的根与系数的关系

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北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》5一元二次方程的根与系数的关系

一、选择题

1．（2023·天津市）若是方程的两个根，则（）

A．B．C．D．

2．方程的根是，，则的值为（）

A．22B．C．D．26

3．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（）

A．第①段B．第②段C．第③段D．第④段

4．（2023·乐山）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（）

A．4B．8C．12D．16

5．（2023·三台模拟）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为()

A．11B．-1C．11或-1D．11或-1或1

6．（2023·新会模拟）已知、是方程的两个实数根，则（）

A．B．C．D．

7．（2023八下·鄞州期中）已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根，且x1+x2=3，x1·x2=1则a，b的值分别是()

A．a=-3，b=1B．a=3，b=1

C．a=，b=-1D．a=，b=1

8．（2023·贵港）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（）

A．－2B．2C．－1D．1

二、填空题

9．（2023·随州）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2﹣x1x2的值等于．

10．（2023·宜昌）已知、是方程的两根，则代数式的值为．

11．（2023·眉山）已知方程的根为，则的值为．

12．（2023·遂宁）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为．

13．（2022·巴中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为．

14．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=．

三、解答题

15．（2023·澄城模拟）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，求的值．

16．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

17．（2023八下·安庆期中）已知方程的两根为，求的值．

18．（2022九上·宝鸡月考）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．

19．（2023·南充）已知关于x的一元二次方程

（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；

（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．

20．（2023·宜城模拟）已知关于x的一元二次方程x2－4x+m+1＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的所有整数值的和．

21．（2023八下·北仑期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．

（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；

（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

22．（2022·四川）阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝

材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．

解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝；x1x2＝．

（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．

（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，

∴，，

故答案为：A.

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。

2．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】∵方程x2-2x-24=0的根是x1，x2，

∴x1，x2=-24，x1+x2=2，

则原式

=x1x2-(x1+x2)=-24-2=-26。

故答案选：C。

【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值。

3．【答案】B

【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，

∴m+n=-2，mn=-1，

∴=，

∴原式=-=-，位于②段.

故答案为：B.

【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-，代入求出相应的值，然后进行判断.

4．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：

∵关于x的一元二次方程两根为，

∴x1+x2=8，x1x2=m，

∵，

∴，

∴m=12，

故答案为：C

【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到x1+x2=8，x1x2=m，进而结合题意即可得到，从而即可求解。

5．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】由根与系数的关系可得，，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得：k1=-1，k2=11，

故答案为：C.

【分析】利用根与系数的关系可得，，再结合，可得，再求出k的值即可。

6．【答案】A

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】∵、是方程的两个实数根，

∴，

∴，

故答案为：A.

【分析】先利用根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。

7．【答案】D

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根，x1+x2=3，x1·x2=1

∴-2a=3，b=1，

解之：.

故答案为：D

【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.

8．【答案】D

【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，

，，

，

，

，

整理得出：，

解得：，

故答案为：D.

【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可.

9．【答案】2

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x+1=0有两个实数根x1，x2，

∴x1+x2=3，x1x2=1，

∴x1+x2-x1x2=3-1=2.

故答案为：2.

【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2==3，x1x2==1，然后代入计算即可.

10．【答案】1

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：x1、x2为2x2-3x+1=0的两个根，由根于系数的关系得x1+x2=，x1x2=，

∴

故答案为：1.

【分析】利用根于系数的关系求出x1+x2、x1x2的值，再代入求解即可.

11．【答案】6

【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：6

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，再运用多项式乘多项式结合题意即可求解。

12．【答案】2

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，

∴a+b=3，ab=1，

∴，

故答案为：2

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=3，ab=1，进而即可求解。

13．【答案】-4

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵是方程的根

∴，

∴

∴k=-4

故答案为：-4.

【分析】根据方程解的概念可得α2-α+k-1=0，根据根与系数的关系可得α+β=1，根据α2-2α-β=α2-α-(α+β)=4可得k的值.

14．【答案】

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，

∵x12+x22=，

∴（x1+x2）2-2x1x2=，

∴4m2-m=，

∴m1=-，m2=，

∵Δ=16m2-8m＞0，

∴m＞或m＜0，

∴m=不合题意，

故答案为：．

【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。

15．【答案】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n，

∴，

∴．

【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-4，将待求式变形为mn(m+n)，然后代入进行计算.

16．【答案】解：设AB=，AC=

∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，

∴＝2k+3，＝k2+3k+2．

∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，

∴＝52，

∵

∴

整理得k2+3k﹣10＝0，

解得：k1＝﹣5，k2＝2．

又∵AB+AC＞0，

∴2k+3＞0，

∴k＝2．

∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理

【解析】【分析】设AB=x1，AC=x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==2k+3，x1x2==k2+3k+2，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得x12+x22=52=（x1+x2）2-2x1x2，整体代换可得关于k的方程，解方程可求得k的值，然后根据三角形的边长为正可得AB+AC＞0，于是可得k=2.

17．【答案】解：∵方程的两个根是，

∴，，

∴

．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出，，再代入计算求解即可。

18．【答案】解：∵方程的两个实数根分别为，，

∴+=-3，=k-2，

∵，

∴，

∴，

解得k=3，

当k=3时，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；

即k的值是3．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-3，x1x2=k-2，结合(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-1可得k的值，然后将k的值代入方程中并求出判别式的值，确定出方程根的情况，据此解答.

19．【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，

∴，，，

∴，

∵，即，

∴不论为何值，方程总有实数根；

（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴，，

∵，

∴，

∴，整理，得，解得，，

∴m的值为或．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；

（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可得到，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。

20．【答案】（1）解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）≥0，

解得m≤3

（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝m+1.

∵，即.

∴m+1-4+1≥-1，解得m≥1，

∵m≤3，

∴1≤m≤3．

∴m的整数值为1，2和3，它们的和=1+2+3=6

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）由题意可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得m的范围；

（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1x2＝m+1，由(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1≥-1可求出m的范围，结合（1）的结论可得m的范围，据此可得m的整数值，然后求和即可.

21．【答案】（1）解：为等腰三角形，理由如下：

把代入方程得，则，所以为等腰三角形；

（2）解：为等腰三角形，理由如下：

根据题意得，即，所以为直角三角形；

（3）解：为等边三角形，

，

方程化为，即，解得，．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；等边三角形的性质

【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程，可得到关于a，b，c的关系式，可推出a=b，据此可得到△ABC的形状.

（2）利用方程有两个相等的实数根可知b2-4ac=0，可得到关于a，b，c的关系式，据此可得到△ABC的形状.

（3）利用等边三角形的性质可证得a=b=c≠0，据此可将方程转化为x2+x=0，再利用因式分解法求出方程的解.

22．【答案】（1）；

（2）解：∵m+n=，mn＝-，

∴.

（3）解：由题意得：s、t是一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根，

∴s+t=，st=-，

.

【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：(1)x1＋x2＝；x1x2＝，

故答案为：；.

【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；

(2)根据根与系数的关系先求出m+n和mn的值，然后将原式变形，再代值计算，即可解答；

(3)根据根与系数的关系先求出s+t和st的值，然后将原式进行变形，再代值计算即可.

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北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》5一元二次方程的根与系数的关系

一、选择题

1．（2023·天津市）若是方程的两个根，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，

∴，，

故答案为：A.

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。

2．方程的根是，，则的值为（）

A．22B．C．D．26

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】∵方程x2-2x-24=0的根是x1，x2，

∴x1，x2=-24，x1+x2=2，

则原式

=x1x2-(x1+x2)=-24-2=-26。

故答案选：C。

【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值。

3．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（）

A．第①段B．第②段C．第③段D．第④段

【答案】B

【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，

∴m+n=-2，mn=-1，

∴=，

∴原式=-=-，位于②段.

故答案为：B.

【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-，代入求出相应的值，然后进行判断.

4．（2023·乐山）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（）

A．4B．8C．12D．16

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：

∵关于x的一元二次方程两根为，

∴x1+x2=8，x1x2=m，

∵，

∴，

∴m=12，

故答案为：C

【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到x1+x2=8，x1x2=m，进而结合题意即可得到，从而即可求解。

5．（2023·三台模拟）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为()

A．11B．-1C．11或-1D．11或-1或1

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】由根与系数的关系可得，，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得：k1=-1，k2=11，

故答案为：C.

【分析】利用根与系数的关系可得，，再结合，可得，再求出k的值即可。

6．（2023·新会模拟）已知、是方程的两个实数根，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】∵、是方程的两个实数根，

∴，

∴，

故答案为：A.

【分析】先利用根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。

7．（2023八下·鄞州期中）已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根，且x1+x2=3，x1·x2=1则a，b的值分别是()

A．a=-3，b=1B．a=3，b=1

C．a=，b=-1D．a=，b=1

【答案】D

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根，x1+x2=3，x1·x2=1

∴-2a=3，b=1，

解之：.

故答案为：D

【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.

8．（2023·贵港）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（）

A．－2B．2C．－1D．1

【答案】D

【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，

，，

，

，

，

整理得出：，

解得：，

故答案为：D.

【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可.

二、填空题

9．（2023·随州）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2﹣x1x2的值等于．

【答案】2

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x+1=0有两个实数根x1，x2，

∴x1+x2=3，x1x2=1，

∴x1+x2-x1x2=3-1=2.

故答案为：2.

【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2==3，x1x2==1，然后代入计算即可.

10．（2023·宜昌）已知、是方程的两根，则代数式的值为．

【答案】1

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：x1、x2为2x2-3x+1=0的两个根，由根于系数的关系得x1+x2=，x1x2=，

∴

故答案为：1.

【分析】利用根于系数的关系求出x1+x2、x1x2的值，再代入求解即可.

11．（2023·眉山）已知方程的根为，则的值为．

【答案】6

【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：6

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，再运用多项式乘多项式结合题意即可求解。

12．（2023·遂宁）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为．

【答案】2

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，

∴a+b=3，ab=1，

∴，

故答案为：2

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=3，ab=1，进而即可求解。

13．（2022·巴中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为．

【答案】-4

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵是方程的根

∴，

∴

∴k=-4

故答案为：-4.

【分析】根据方程解的概念可得α2-α+k-1=0，根据根与系数的关系可得α+β=1，根据α2-2α-β=α2-α-(α+β)=4可得k的值.

14．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=．

【答案】

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，

∵x12+x22=，

∴（x1+x2）2-2x1x2=，

∴4m2-m=，

∴m1=-，m2=，

∵Δ=16m2-8m＞0，

∴m＞或m＜0，

∴m=不合题意，

故答案为：．

【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。

三、解答题

15．（2023·澄城模拟）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，求的值．

【答案】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n，

∴，

∴．

【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-4，将待求式变形为mn(m+n)，然后代入进行计算.

16．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

【答案】解：设AB=，AC=

∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，

∴＝2k+3，＝k2+3k+2．

∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，

∴＝52，

∵

∴

整理得k2+3k﹣10＝0，

解得：k1＝﹣5，k2＝2．

又∵AB+AC＞0，

∴2k+3＞0，

∴k＝2．

∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理

【解析】【分析】设AB=x1，AC=x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==2k+3，x1x2==k2+3k+2，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得x12+x22=52=（x1+x2）2-2x1x2，整体代换可得关于k的方程，解方程可求得k的值，然后根据三角形的边长为正可得AB+AC＞0，于是可得k=2.

17．（2023八下·安庆期中）已知方程的两根为，求的值．

【答案】解：∵方程的两个根是，

∴，，

∴

．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出，，再代入计算求解即可。

18．（2022九上·宝鸡月考）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．

【答案】解：∵方程的两个实数根分别为，，

∴+=-3，=k-2，

∵，

∴，

∴，

解得k=3，

当k=3时，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；

即k的值是3．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-3，x1x2=k-2，结合(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-1可得k的值，然后将k的值代入方程中并求出判别式的值，确定出方程根的情况，据此解答.

19．（2023·南充）已知关于x的一元二次方程

（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；

（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．

【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，

∴，，，

∴，

∵，即，

∴不论为何值，方程总有实数根；

（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴，，

∵，

∴，

∴，整理，得，解得，，

∴m的值为或．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；

（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可得到，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。

20．（2023·宜城模拟）已知关于x的一元二次方程x2－4x+m+1＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的所有整数值的和．

【答案】（1）解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）≥0，

解得m≤3

（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝m+1.

∵，即.

∴m+1-4+1≥-1，解得m≥1，

∵m≤3，

∴1≤m≤3．

∴m的整数值为1，2和3，它们的和=1+2+3=6

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）由题意可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得m的范围；

（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1x2＝m+1，由(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1≥-1可求出m的范围，结合