初中数学-因式分解教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE1PAGE3数学八年级下册第四章第3节《公式法》第一课时平方差公式教学设计【课程标准陈述】能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.【教材理解】因式分解的平方差公式是整式乘法中平方差公式的逆运算，体现了一类特殊多项式的运算结构，它可以优化数式运算过程，增强学生的运算能力。平方差公式是数学符号思想的一次跳跃，能进一步发展学生的符号感和运用符号进行推理的能力。平方差公式所体现出的策略和方法，为其他更复杂乘法公式的学习提供了基础和模式。【学习目标】根据教材分析和课程标准相关要求,确定平方差公式的教学目标如下:1．运用逆向思维将整式乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2的逆向变形得出因式分解的平方差公式，并能描述出公式的特征；2．能判断一个多项式能否用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）因式分解，分清公式中a、b，（含多项式）并将符合条件的多项式因式分解；3．综合运用提公因式法、平方差公式进行因式分解.【评价活动方案】1．在问题引入和公式的推导以及小组交流找特征的环节，学生们通过动手操作求解樟子松的种植面积，通过归纳、建立猜想、表述猜想等思维操作步骤，经历了探索因式分解的平方差公式的过程，发展了学生的观察、归纳和语言表达能力，以评价目标1。2．引导学生运用合适的符号更加直观的表达可以运用平方差公式进行因式分解的多项式的结构特征。并通过知识探究环节的练习巩固评价目标2。3．在例题后设计基础练习、变式练习和提高练习，关注学生解答的正确率，以评价目标3。【教学设计】温故知新(本环节教师引导学生复习回顾前面学习的知识，然后让大家观察思考多项式x2-25，9x2-y2教师提问还能用提公因式法因式分解吗？答案很明显是不能的。教师进而提问：那我们该怎样对这类多项式进行因式分解呢？从而设置疑问，引出本节课学习的要点。)1.回顾：(1)什么是因式分解？(2)前面我们学习了因式分解的哪种方法？2.思考：观察多项式x2-25，9x2-y2，还能用提公因式法因式分解吗？二、探究新知（本环节教师以当前比较热的环境问题——土地荒漠化为背景，引入题目的同时，对学生进行了德育渗透。然后教师鼓励学生以小组合作的形式，开动脑筋、玩转手中的纸片，以不同的方法求出阴影部分的面积，从而推导出因式分解的平方差公式；并让学生观察、同桌交流该公式的特征，发现该公式与之前学过的整式乘法中的平方差公式之间的不同.）图2图1图2图1如图是边长为a的正方形防沙林场，工作人员要在阴影部分（除去边长为b的小正方形）种植樟子松，你能帮忙求出樟子松的种植面积吗？（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积图1：，图2：.(2)请问以上结果可以验证哪个公式？.结论：我们可以将a2-b2=(a+b)(a-b)作为公式，把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做。1.说一说，找特征：(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的）特征：①项数：②符号：③形式：（）2－（）2(2)公式右边:（是分解因式的）.2.火眼金睛，辨是非：（本阶段在学生理解了平方差公式的特征后，进一步进行巩固；让学生在实际题目中，能够迅速辨别该多项式是否符合平方差公式的特征，能否利用平方差公式进行因式分解，如果能，并找出公式中a、b.本题目采取小组轮流答题制，每组一题，回答问题者比较随机，考察他们的反应能力和对公式的熟练程度.）下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？(1)（2）（3）（4）（5）三、典例解析(本环节在学生掌握了平方差公式的特征后，进一步在实际题目中进行应用，找到公式中的a、b后，直接套用平方差公式即可.在例题处理时，（1）（2）小题是温故知新环节中设置疑问的题目，在学生掌握了平方差公式的特征和运用之后，再回头看这两题，就可以迎刃而解了.第（1）小题，教师引导同学观察多项式、符合平方差公式的特征后，找出a、b,然后套用公式；一步步，在引导中，让学生体会做题步骤。后两小题，鼓励学生当小老师，上台讲解，锻炼学生的综合素质与能力.)例1：把下列各式分解因式.（1）x2-25(2)9x2-y2牛刀小试：(本环节在学生掌握了平方差公式的特征后，进一步在实际题目中进行应用，找到公式中的a、b后，直接套用平方差公式即可.)1.多项式a2+b2，a2-b2，-a2+b2，-a2-b2中能用平方差公式分解因式的有（）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2.把下列各式因式分解：（1）（2）（此小题在处理时，为了节省时间，增加课堂的新颖性，提高学生的学习兴趣，利用了信息技术传屏技术，在学生做题、教师巡视的过程中，教师将典例学生的答案上传至大屏幕，并鼓励其他学生当小判官，进行批改.本阶段结束后，教师统计答题正确率.）拓展提升(通过上阶段的练习，学生基本掌握运用平方差公式进行因式分解，在此基础上可以适当的增加一点难度：第（1）小题进一步体现公式中的a、b是广义的，既可以指代一个数字、字母、单项式，也可以指代一个多项式，渗透“整体思想”；第（2）小题综合利用提公因式法和公式法，体现“一提二套三检查”的解题步骤.本阶段由教师引导学生，板书讲解.)例2：分解因式：六、学以致用1.把下列各式分解因式：（1）（2）(本阶段由学生板书，并由另外的学生批改并讲解难点、易错点；教师最后进行点评，强调因式分解一定要彻底，一定要分解到不能再分解为止.)2.如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形；用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．（本小题体现平方差公式在应用题中的应用；此小题在处理时，同样利用了信息技术传屏技术，在学生做题、教师巡视的过程中，教师将典例学生的答案上传至大屏幕，并由该学生进行简单讲解.）课时小结：这节课你收获了什么？（本环节教师鼓励学生畅谈自己本节课的收获，可以是自己学到了什么、知道了什么等等；教师最后简单总结本节课重难点，并对本节课学生表现进行点评，根据小组得分评出本节课的“合作之星”，鼓励学生在以后的课堂中积极表现.）八、布置作业:必选题：习题4.4第1，2，3题；选做题：习题4.4第1，2题。（作业布置采用分层作业的形式，因材施教.）数学八年级下册第四章第3节《公式法》第一课时平方差公式学情分析1.学生的思维特征：初二学生的思维水平处于形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，且已经能够主要运用抽象逻辑来进行思考，这种思维表现为正确掌握概念进行恰当判断和合乎逻辑的进行推理。学生的这一思维特征为从探索公式的“结构特征”提供了有力的支持。但是值得注意的是：本阶段学生思维的个体差异比较大，因此表现出数学学习能力的较大差异。2.学生的知识经验储备：经过前面有理数中有意识的渗透和代数式中的集中学习，尤其是通过整式乘法中平方差公式的学习，学生基本具备了可以代表任何一个具体数的观念，以及能够理解与-所包含的意义等初步的数学符号思想，但他们的符号思想还基本停留在“就是”的思维经验之中。3.学生的最近发展区：学生能够通过对整式乘法中平方差公式的逆推，“顿悟”一种“运算简化结构”的存在，并能够通过归纳、猜想、验证、逻辑推理，较条理的用语言形式表达这种结构，通过引导，甚至能够给这种结构一个形式的表达，如“□2-△2=（□+△）（□-△）”。4.不同学习基础的学生的学习难度分析：因式分解中平方差公式是整式乘法中平方差公式的逆向运算，多项式乘法掌握较好的的学生学习本部分内容障碍较小，有一部分学生在多项式乘法和幂运算方面还存在较大问题，这些学生学习乘法公式难度很大，即使能够感受到结构特征的存在，仍然很难把题目做对，应在课前进行检测筛查并及时弥补不足。5.所教学生群体背景条件：能把一门学科学好，实际上需要好多条件：先天素质、早期开发、家庭环境、学校风气、习惯养成、个人努力、学科倾向、课程设置、教师责任感与教学水平等。而造成一个后进生，有时候一个条件就够了！本着我校生源的实际情况，所以本课设计要从有趣、低起点、全员参与、相互展示等方面做起。数学八年级下册第四章第3节《公式法》第一课时平方差公式效果分析测试题个数：5，第1、2题各2分，第3题各2分，满分10分；难度水平：中档；测试时间：预计5分钟，实测不足4分钟；测试人数：36一、整体分析1.得分情况频数统计表：得分109876543210频数13310080101002.得分情况频数统计图：3.五项目数据分析表：总分平均分及格率高分率满分率低分率2918.0894.4%72,2%36.1%5.6%从现场统计来看，有5、6位学生在2分钟左右就完成了，一半左右3分钟完成，4分钟时没有做完的也交了卷（应该是一部分没有能力完成的学生）。从统计图表可以看出：分数呈现较明显的偏正态分布，向高分端倾斜，36.1%的满分率和94.4%的及格率说明本课教学比较圆满的达成了教学目标。二、答卷情况细化分析：同学19分典型情况分析：9分的同学仅仅是出现了少许失误，如同学1，很明显已经掌握了运用平方差公式进行因式分解，只是没有化简彻底，以后养成检查的习惯即可。同学18分典型情况分析：显然同学2对涉及到积的乘方的题目，不会套用平方差公式，平方差公式中的a、b找不准，需要就单独指点一下；同学3显然已经掌握了平方差公式的特征，但是粗心大意漏掉了口诀中的“三检查”，也就是因式分解不够彻底，用完一次平方差公式后，就掉以轻心了，需要批评指导；同学4犯的错误比较严重，完全忘记了因式分解的实质，见到完全平方公式就想展开，但是还掌握不扎实，需要严厉批评。同学2同学2同学3同学46分典型情况分析：可以看出同学5除了犯了与同学3相同的错误之外，还出现了比较常见的变号问题，需要批评注意；同学6与同学4、5犯了同样的错误；同学7显然已经掌握了平方差公式因式分解，但是两个题目都忘记加括号，很可惜。同学同学7同学5同学62、4分典型举例：同学8同样已经掌握了平方差公式的特征，但是粗心大意漏掉了口诀中的“三检查”，也就是因式分解不够彻底，用完一次平方差公式后，就掉以轻心了；而且再去括号过程中还出现了变号变错的问题，需要严厉批评指导；在2分卷中，还能够看到有相当部分的智力活动，他们是在班级生态中长期被边缘化的学生，只是接受能力较差，但应该态度还算端正。在大班教学组织形式下，总有学生因各种原因而没有听老师或者听不懂老师的课，改变这一状况的唯一手段是建立有共同目的的开放课堂，和班级学习共同体，简单的说就是教室中有很多老师，而不是虚假的小组合作。从这一点上来看，本节教学没有达成目的，还是忽视了学习后进生的学习习惯、学习基础、智力非智力因素、学科切合度等方面的因素。这是教学要改进的地方之一。同学同学8同学9同学9三、总体效果评价：优点：本节课教师能够应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。给学生足够的时间和空间经历观察、讨论、计算、推理、验证等活动过程。学生们通过对特例的归纳、建立猜想、表述猜想等思维操作步骤，经历了探索平方差公式的过程，发展了学生的观察、归纳和语言表达能力，使学生的学习成为一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。从统计图表可以看出本课教学比较圆满的达成了教学目标。缺点：1.教学还不能面向全体学生，班级课堂生态管理不到位，不能够及时的关注后进生，课前缺乏关注后进生的预案，致使后进生被边缘化；2.教师讲授与学生自主学习的关系处理的还不到位，总体还是教师讲的多，学生做的少，练习力度不足，反馈纠正机会不足，致使中下游水平的学生出现了较多的失误；3.课堂开放程度不足，学生有激情却没有太多机会展示自己，没有建立有效的班级学习共同体，让人人都有发展的机会。数学八年级下册第四章第3节《公式法》第一课时平方差公式教材分析教材地位及作用：因式分解的平方差公式是整式乘法中平方差公式的逆运算。乘法公式是初中数学中有重要基础作用的知识点之一，其中平方差公式是多项式乘法之后的第一节课，从知识产生的角度来看，平方差公式就是一类多项式乘法，不过它却是具有特殊形式和固定结构的多项式乘法，一旦掌握了这种结构，就可以利用它有效的简化多项式的乘法运算。乘法公式不只一个，而平方差公式是其中最简单的一个。从最简单情形的开始，是研究事物的一般规律，重要的是：要利用简单的情形建立此类问题的研究和运用模式。所以，本课除了要掌握平方差公式的直接目标之外，还承担着建立模式的重任，即让学生经历过程，历练经验，获得研究相关问题的思想方法。知识点特征分析：从教材上看，因式分解的平方差公式有三种语言形式，文字语言、符号语言和图形语言，其中图形语言是指公式的几何背景，它主要起辅助理解的作用，不便于直接使用。平方差公式的符号语言使用了两个小写字母和，立即呈现出了平方差公式的结构特征，比文字语言描述的结构特征更加明显和直观，成为乘法公式最主要的表达形式。但是用小写字母表达的符号语言使“字母具有广泛的代表意义”或“字母换元”的思想马上横在了学生面前，学生不得不马上面对“能代表”之类的思维转换。从知识产生的历程来看，平方差公式的本质属性是反映了一类多项式乘法的“结构特征”，而“字母换元”思想并不是乘法公式的本质属性。重点、难点、关键：本课的教学重点是应用平方差公式分解因式；本课的教学难点是灵活应用公式法和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求。具体来讲，有三个方面会对学生运用平方差公式产生影响：（1）乘法公式所体现的“结构特征”对学生的影响，别是中下水平的学生，抽象能力较弱的学生掌握起来存在较大困难。（2）乘积形式中“符号的多变”引起的公式辨别难度，这一点甚至对于相当部分中等学生也有很大的影响。（3）把小写字母形式a2-b2=（a+b）（a-b）当作公式带来的理解困难，小写字母形式实际上是把“结构特征”和“字母换元”两大难点糅合在一起，当小写字母的乘法公式变成教学的对象时，教师与学生不得不马上面对“字母的广泛含义和换元思想”的思维高度，这给初一的学生带来了巨大的理解困难，学生的思维水平较低与知识难度之间的巨大差异是乘法公式难以掌握的根本原因，因此，设法降低难点以适应学生的思维水平是乘法公式教学成败的关键．4．教学资源的取舍与整合：乘法公式用什么符号表达是无关紧要的，小写字母无非是历史习惯而已。在数学家那里，它是精炼和明晰的；在学生那里，它却是艰难的。我采用的降低难点的主要方法是改变“平方差公式小写字母形式”出现的时机。在因式分解的平方差公式的探索发现阶段，公式的推导、概念及表示阶段，与公式基本结构完全相同题型的对应辨别阶段，都不让小写字母形式出现，代之以学生创造的更好理解的各种形式，如：“□2-△2=（□+△）（□-△）”的形式。这些形式能够把“结构特征”和“字母换元”两大难点进行有效的分离，大大降低这个知识点的思维高度，使学生滕出精力解决当前的主要矛盾，强调对公式“结构特征”的理解和训练。至于“字母换元”的思想，在初中数学中还有许多更为恰当的时机可以进行训练。也可以在课时的最后提出小写字母的形式，照应教材的设计和历史习惯。数学八年级下册第四章第3节《公式法》第一课时平方差公式课堂检测题：学生概况分析：所用班级在年级中处于上游水平，班级管理较规范。但是由于整体生源质量一般，要求不宜过高。试题设计：设计5道试题，难度中等。测试时间：5分钟之内，3分钟完成者最佳。成绩标准：8分及以上为优秀；6分及以上为及格；4分及以下为低分。达标率标准：如果有75%的学生达到及格水平，20%的学生达到满分水平，就可以看做成功。题号123（1）3（2）3（3）难度易中易难中题号与难度估测表：1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是()A．4x2+y2 B．－x4+9C．-25m2-n2 D．P2-2p+12．将多项式x-x3因式分解正确的是()A．x(x2-1) B．x(1-x2)C．x(x+1)(x-1)D．x(1+x)(1-x)3．因式分解：（1）4m2-9(2)x4-y4(3)1-(b-a)2数学八年级下册第四章第3节《公式法》第一课时平方差公式教学反思在新课引入的过程中，我首先让学生回顾了前面刚刚学过的因式分解的方法，即提公因式法。接着就让学生观察多项式x2-25，9x2-y2有什么共同特征？并追问还能用提公因式法因式分解吗？通过学生的回答，这类多项式不能继续用提公因式法，接着引出本节课内容：利用平方差公式对这类多项式进行因式分解。对新问题的引入，我是采取了由浅入深的方法，使学生对新知识不产生任何的畏惧感。我巧妙的利用几何面积法，让学生以小组合作的形式，动手动脑，用手中的纸片求出阴影部分的面积，导出因式分解的平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，并在此过程中渗透德育“环保”。通过学生仔细观察，同桌交流，得出此公式的特征，并以学生抢答的形式进一步让学生知道什么样的多项式可以运用平方差公式进行因式分解。掌握了特征，接下来通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解。为让课堂活跃、不死板，在教学过程中，我运用了信息技术投屏、直播的方式，课堂形式较为新颖，学生们很感兴趣，并在兴趣的引导下全身心的投入到课堂中来。反复看录像表明：本节课的教学还不能面向全体学生，班级课堂生态管理不到位，不能够及时的关注后进生，课前缺乏关注后进生的预案，致使后进生被边缘化；教师讲授与学生自主学习的关系处理的还不到位，总体还是教师讲的多，学生做的少，练习力度不足，反馈纠正机会不足，致使中下游水平的学生出现了较多的失误；课堂开放程度不足，学生有激情却没有太多机会展示自己，没有建立有效的班级学习共同体，让人人都有发展的机会。这些都是今后努力的方向。数学八年级下册第四章第3节《公式法》第一课时平方差公式课标分析本节内容的课程标准陈述：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解分解（指数是正整数）.课程标准认为：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。”靠有趣情境激发的学习欲望是不会持久的，当你真讲知识时，那种兴趣就不存在了。因为在很多情况下，数学确有其枯燥难学的一面。持久的兴趣只能来源于探索的魅力和学科成就感。学生可以不喜欢数学这门学科！但不能让学生不喜欢数学老师和数学课堂！首先，让学生感到：数学老师宽容亲切、幽默好玩！你要有丰富的、信手拈来的数学史知识，融会贯通的数学知识的来龙去脉，你怀着对数学的无比崇敬之情讲述你的数学故事，直到你的学生静下来感受你的激情！此时你不必管纪律，你在学生眼中，已经是宽容亲切、幽默好玩！其次，让学生感到：数学有趣！有趣不是指趣味数学，而是指数学自身的美丽！如自然数的名称美；阿拉伯记数法的简洁美；0.9的循环等于1的奇异美！等等。最后，让学生感到：数学不难！如，初中代数学的真正基础只有四个东西：1有理数加法；2幂的意义；3乘法分配率；等式的基本性质；如，有理数加法法则不用背，本来就在你心中！昨天赔一万，今天挣两万，那你挣一万；昨天赔一万，今天赔两万，那你赔三万；有理数的加减法就是从你心中开出的花朵。鉴于以上理解，有必要在上课后和学生做3、4分钟的有效沟通，用老师对数学的理解来打动学生，同时复习有理数加减法、合并同类项等对本课有支持作用的技能。课程标准认为：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听见、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”因式分解的平方差公式体现了一类特殊多项式因式分解的运算结构，它可以优化数式运算过程，增强学生的运算能力。平方差公式是数学符号思想的一次跳跃，能进一步发展学生的符号感和运用符号进行推理的能力