2018年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★检测卷(全国Ⅰ卷)理科数学(含解析)(2018.01)

2018年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★检测卷(全国Ⅰ卷)理科数学(含解析)(2018.01)

2018年相阳教育“黉门云”高考等值试卷-检测卷理科数学（全国I卷）答案一、选择题（每题5分）1.A2.B3.C4.D5.D6.C7.D8.B9.B10.A11.C12.B二、填空题（每题5分）13.10114.1515.2,3,416.112三、解答题17.(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac，所以a^2+c^2-b^2=-ac。由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=-1/2，因此B=120°。(2)由(1)知A+C=60°，所以cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=(13/24)+2*(13/24)*(5/12)=5/8，故A-C=30°或A-C=-30°，因此C=15°或C=45°。18.(1)证法一：设AB中点为O，连接PO，由已知PA=PB，所以PO⊥AB，而平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，故PO⊥平面ABCD。以O为原点、OP为z轴，OB为y轴，如图建立空间直角坐标系，并设PO=h，则P(0，1，h)，B(0，1，0)，C(2，1，0)，D(2，-1，0)。所以PC=(2，1，-h)，BD=(2，-2，0)。PC·BD=0，所以PC⊥BD。证法二：设AB中点为O，连接PO，由已知PA=PB，所以PO⊥AB，而平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，故PO⊥平面ABCD，从而BD⊥PO……①。在矩形ABCD中，连接CO，设CO与BD交于M，则由CD:BC=BC:MO知△BCD≌△OBC，所以∠BCO=∠CDB，所以∠BCM+∠CBM=∠CDB+∠CBM=90°，故BD⊥CO……②。由①②知BD⊥平面PCO，所以PC⊥BD。(2)由AD⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，可得AD⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，交线为PA。过B作BH⊥PA，垂足为H，则BH⊥平面PAD。BD与平面PAD所成的角即为角BDH，所以BH=BD=2/√3。从而三角形PAB为等边三角形，PO=2/√3（也可用向量法求出PO）。设点P(0，h，0)，则点A(0，－1，0)，点B(0，1，0)，点D(2，－1，0)，可求得平面PAD的一个法向量为p=(0，h，－1)。又因为BD=(2,-2,0)，由cos<p，BD>=sin45°可解得h=3。设平面BPC的一个法向量为m，则m·BP=0，m·BC=3。取m=(0，3，1)。设平面DPC的一个法向量为n，则n·DP=0，n·DC=-2。取n=(3，0，－2)。于是cos<BPC，DPC>=-1/√10，故二面角B-PC-D的余弦值为-1/√10。对数据(x_i，y_i)：r_1=(∑(x_i-x)(y_i-y))/√(∑(x_i-x)^2(∑(y_i-y)^2))对数据(w_i，y_i)：r_2=√((∑(w_i-w)^2(y_i-y)^2)/(∑(w_i-w)^2(∑(y_i-y)^2)))所以r_2=1.36r_1>r_1。令w=x，先建立y关于w的线性回归方程：d=(∑(w_i-w)(y_i-y))/∑(w_i-w)^2=108.8/1069≈0.1017，c=y-dw=100.6x+68w-0.1017x=68.5x+68w。因此y关于x的线性回归方程为y=68.5x+68x。依题意：z=0.2y－x=z=0.2(68.5x+68x)－x=13.6x+20.12。所以，当x=46.24时，z取得最大值，即年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。(1)设直线方程为$l:y=kx+m$，代入椭圆方程整理得：$(2k^2+1)x^2+4kmx+2m^2-4=0$。设点$M(x,y)$，则$x=\frac{-2km\pm\sqrt{4k^2m^2-(2k^2+1)(2m^2-4)}}{2k^2+1}$，$y=\frac{2}{\sqrt{2k^2+1}}$。因此，$k_1=\frac{y_1}{x_1}=-\frac{2km+\sqrt{4k^2m^2-(2k^2+1)(2m^2-4)}}{4m^2-2k^2+2}$，$k=-\frac{1}{k_1}$为常数。(本问也可用点差法)(2)当$l$不与$y$轴平行时，同(1)可得$(2k^2+1)x^2+4kmx+2m^2-4=0$。设$PQ=d$，则$|PQ|=\frac{2}{\sqrt{2k^2+1}}\sqrt{4k^2-m^2+2}$，$d=\frac{2m^2}{\sqrt{4k^2-m^2+2}}$。设$M(x,y)$，则$x=\frac{-2km+\sqrt{4k^2m^2-(2k^2+1)(2m^2-4)}}{2k^2+1}$，$y=\frac{2}{\sqrt{2k^2+1}}$。化简得：$m^2=2k^2+1$，代入$\Delta=8(4k^2-m^2+2)=8(2k^2+1)>0$。代入公式$S=\frac{1}{2}|PQ|d$，得$S=|m|\sqrt{1-\frac{m^2}{2k^2+1}}$。当$l$与$y$轴平行时，设$l:x=m$，可解得$|PQ|=\frac{2}{\sqrt{2k^2+1}}\sqrt{1-\frac{m^2}{4k^2+2}}$。由$S=\frac{1}{2}x^2$解得$m=\pm2$，此时$M(\pm2,0)$也满足。代入公式$S=\frac{1}{2}|OM||PQ|$，得$S=\frac{1}{2}m^2\sqrt{4k^2+1}$。(3)设$f(x)=x(a-e^x)$。当$f'(x)=x(a-e^x)'=aex-e^{2x}$，即$x=\frac{1}{2}\ln\frac{a}{e}$时等号成立，故最大值为$f(\frac{1}{2}\ln\frac{a}{e})=\frac{a}{2e}$。当$a\leq0$时，$x<0$时$f'(x)>0$，$f(x)$为增；$x>0$时$f'(x)<0$，$f(x)$为减。当$0<a<1$时，$f(x)$在$(-\infty,0)$上增，在$(0,-\lna)$上减，在$(-\lna,+\infty)$上增。当$a=1$时，$f(x)$在$R$上为增函数。当$a>1$时，$f(x)$在$(-\infty,-\lna)$上增，在$(-\lna,0)$上减，在$(0,+\infty)$上增。当$x\geq0$时，原不等式等价于$e^x-\frac{a}{2}x\leq\frac{a}{2}$，即$x^2+(x+1)e^{-x}-1\geq0$，即$f(x)\geq0$。由(1)知，当$a\geq1$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数，故$x\geq0$时有$f(x)\geqf(0)=0$；符合题意。因为$|x+1|<|x|+1$，而$