湖南省邵阳市金石镇联校2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

湖南省邵阳市金石镇联校2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则．

．

．

．

参考答案：C2.下列说法正确的是（

）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大D．事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小参考答案：B3.已知双曲线的离心率为，且它的一个焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用双曲线的离心率、点到直线的距离公式即可得出．【详解】∵，∴c=,又焦点F（c，0）到渐近线的距离db．∴，又，则,∴双曲线的方程为故选：D．【点睛】本题考查了双曲线方程中基本量的关系，考查了离心率及点到直线的距离公式，属于基础题．4.已知等差数列的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点），则

（

）

A．2009

B．

C．

D．参考答案：B5.下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0参考答案：C考点： 命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题： 综合题．分析： 根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案．解答： 解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选C．点评： 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型6.某程序框图如上图所示，该程序运行后输出的S的值是A、－3B、－C、D、2参考答案：D7.已知一随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差______________.048参考答案：试题分析：因为,所以.考点：数学期望和方差的计算．8.设随机变量服从正态分布，若，则A.

B.

C.

D.

参考答案：D略9.设全集U是实数集R，M＝{x|＞4}，N＝{x|}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是

A．{x|－2≤x＜1}

B．{x|－2≤x≤2}

C．{x|1＜x≤2}

D．{x|x＜2}参考答案：A10.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是A．(－∞，2)

B．(0,3)

C．(1,4)

D．(2，＋∞)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由直线，，曲线及轴所围成的图形的面积是＿＿＿．参考答案：12.已知函数的图像与直线有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为，那么=_____________.参考答案：略13.若集合，，则

.参考答案：略14.已知随机变量若，那么

参考答案：0.48略15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最小值是

．参考答案：，，,

,

,

当且仅当时成立.

16.设函数，，则函数的递增区间是

．参考答案：，试题分析：由题意，则，所以的解为或，因此其增区间为和（也可写成和）．考点：导数与函数的单调性．【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性．求函数的单调区间，一般是求出导数，然后解不等式得增区间，解不等式得减区间．本题关键是写出函数的解析式，由题意它是分段函数，因此求导时要分段求导，同样解不等式时，也要分段解不等式，最后单调区间可以包含区间的端点即单调区间可写成闭区间形式（只要函数在此区间上是连续的，象本题结论）．17.（5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为．参考答案：40【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞5，计算输出S的值．解：由程序框图知：第一次运行i=1，T=3×1﹣1=2，S=0+2=2，i=2，不满足条件i＞5，循环，第二次运行i=2，T=3×2﹣1=5，S=5+2=7，i=3，不满足条件i＞5，循环，第三次运行i=3，T=3×3﹣1=8，S=7+8=15，i=4，不满足条件i＞5，循环，第四次运行i=4，T=3×4﹣1=11，S=15+11=26，i=5，不满足条件i＞5，循环，第五次运行i=5，T=3×5﹣1=14，S=26+14=40，i=6，满足条件i＞5，程序终止，输出S=40．故答案是：40【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某公司计划投资、两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方要成正比例，其关系如图2.（注：利润与投资量的单位：万元）(1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？参考答案：（1）设投资万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，依题意可设.

由图1，得即.

由图2，得即

故.

(2）设B产品投入万元，则A产品投入10-万元，设企业利润为万元，由（1）得

，

当，即时，.因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元。

19.（本题满分12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过两点。

（1）求椭圆E的方程；

（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线l：与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由。参考答案：(2)设、，不妨设，如图，设的内切圆的半径为，则当最大时，也最大，的内切圆的面积也最大，又，∴………………8分由得，则恒成立，，∴，∴………………10分设，则，且，∴，设，则，∵，∴，∴函数在上是单调减函数，∴，即的最大值是∴，，即的最大值是，∴的内切圆的面积的最大值是，此时，，直线的方程是.………………12分20.已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）①依题意：f′（x）=0有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．【解答】（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；

（2）证明：①依题意：f′（x）=0有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1

则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：x（0，﹣）﹣（﹣，+∞）g′（x）+0﹣g（x）↗极大值↘依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；

②由①知：f（x），f′（x）变化如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）↘

↗

↘由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）

又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．21.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m，求树的高度．参考答案：【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】要求树的高度，需求PB长度，要求PB的