湖南省永州市城山乡中学高二数学理下学期期末试卷含解析

湖南省永州市城山乡中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，且关于x的方程有两个相等的实根，则（

）A．27 B．21 C．14 D．5参考答案：B根据题意，关于的方程有两个相等的实根，则有，代入等比数列的通项公式变形可得，即，则，故选B．2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于

A．10B．8C．4D．6参考答案：D略3.已知，那么下列判断中正确的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略4.以下程序运行后的输出结果为（

）A．17

B．19

C．21

D．23参考答案：C5.函数的极值点的个数是（

）A.2

B.1

C.0

D.由a确定参考答案：C6.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2后再加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()A.62.8,

3.6B.62.8,14.4

C.65.6,3.6

D.65.6,14.4参考答案：D略7.若关于x的不等式x2－ax－6a<0有解，且解区间的长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（）.

A.－25≤a≤1

B.

a≤－25或a≥1

C.－25≤a<0或1≤a<24

D.－25≤a<－24或0<a≤1参考答案：D8.下面给出的命题中：（1）已知函数，则；（2）“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件；（3）已知随机变量服从正态分布，且，则；（4）已知圆，圆，则这两个圆恰有两条公切线.其中真命题的个数为A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B9..对任意实数x，若不等式在R上恒成立，则k的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B考点：绝对值不等式；函数恒成立问题．分析：要使不等式|x+2|-|x-1|＞a恒成立，需f（x）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a，问题转化为求f（x）的最小值．解：（1）设f（x）=|x+2|-|x-1|，则有f（x）=，当x≤-2时，f（x）有最小值-3；当-2≤x≤1时，f（x）有最小值-3；当x≥1时，f（x）=3．综上f（x）有最小值-3，所以，a＜-3．故答案为：B．10.在四面体P-ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有A.0个

B.1个

C.3个

D.4个参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设曲线在点处的切线与直线垂直，则参考答案：-112.___▲

_参考答案：20，故答案是.

13.经过点，的双曲线方程是___________________.

参考答案：略14.已知集合，若，则实数a的值为

参考答案：315.正三角形ABC的边长为1，G是其重心，则 .参考答案：

16.设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若===3，则此三角形面积为．参考答案：【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知结合正弦定理可得B=C=，A=，a=3，进而可得三角形面积．【解答】解：∵===3，∴B=C=，故A=，a=3，∴b=c=，故三角形面积S==，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）.已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；（2）试讨论函数的单调性；（3）证明：对任意，都有成立。参考答案：（1）;（2）见解析;（3）见解析（1）依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：∴-------------------------------------------------------------------------2分（2）由（1）得----------------------3分∵函数的定义域为

∴①当时，在上恒成立，由得，由得，即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；----------------------------4分当时，令得或，②若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；----------------5分③若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；-----------6分④若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增，------------------------------------------------------------------7分综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分（3）证法一：由（2）知当时，函数在单调递增，，即，------------11分令，则，-------------------------------------12分即---------------------------------------------------------------------------14分【证法二：构造数列，使其前项和，则当时，，-----------------------------11分显然也满足该式，故只需证--------------------------------------------------------12分令，即证，记，则，在上单调递增，故，∴成立，即．----------------------------------------------------------------------------14分】【证法三：令，则----10分令则，记-----------------------12分∵∴函数在单调递增，又即，∴数列单调递增，又，∴----------------------14分】19.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；总体分布的估计．【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，因为P（X=5）=，∴P（A）=1﹣P（X=5）=；即他们的累计得分x≤3的概率为．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，由于E（2X1）＞E（3X2），∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．20.已知正项数列{an}满足：a1=，an+1=．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn?an=3（1﹣），求数列{bn}的前n和．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）观察数列的递推公式，利用递推公式即可求出数列通项．（Ⅱ）求出数列{bn}的通项，利用公式法和错位相减法求出数列{bn}的前n和．【解答】解：（Ⅰ）∵，即，∴=+=，∴．（Ⅱ）∵，∴bn==2n﹣，∴Sn=b1+b2+…bn=（2+4+…+2n）=，令，则，两式相减得：=1+…+=﹣=2（1）﹣，∴∴．21.已知△ABC的三个顶点A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H．若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出圆H的方程，再根据直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，设出直线方程，利用勾股定理，即可求直线l的方程【解答】解：线段AB的垂直平分线方程为x=0，线段BC的垂直平分线方程为x+y﹣3=0，所以外接圆圆心为H（0，3），半径为，故⊙H的方程为x2+（y﹣3）2=10．设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被⊙H截得的弦长为2，所以．当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x=3为所求；当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y﹣2=k（x﹣3），则，解得．综上，直线l的方程为x=3或4x﹣3y﹣6=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法及点到直线的公式的合理运用．22.（本题满分12分）设曲线

在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得⊥，求实数的取值范围．参考答案：解:依题意由，y′＝aex＋(ax－1)ex＝(ax＋a－1)ex，所以kl1＝(ax0＋a－1)ex0.由y