四川省绵阳市第一中学高中部高三数学文期末试卷含解析

四川省绵阳市第一中学高中部高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知l，m是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m⊥α，l与m无交点”是“l∥m，l⊥α”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C.充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B考虑充分性，若，与无交点，则或者与为异面直线，不一定有，即充分性不成立；反之，若，，则一定有，与无交点，即必要性成立，综上可得，“，与无交点”是“，”的必要而不充分条件.本题选择B选项.

2.执行如图所示的程序框图，如果输入a=6，b=2，则输出的S=（）A．30 B．120 C．360 D．720参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当x=2时跳出循环，输出结果．【解答】解：输入a=6，b=2，k=6，s=1，k=6≥a﹣b=4，s=6，k=5＞a﹣b，s=30，k=4≥a﹣b，s=120，k=3＜a﹣b，输出s=120，故选：B．【点评】本题考查程序框图，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．3.小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（

）A.72 B.56 C.48 D.40参考答案：A【分析】分别找出从家到水果店，水果店到花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可。【详解】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有（种）【点睛】本题考查了排列组合中的乘法原理。属于基础题。4.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（

）A．

B．

C．

D．2参考答案：C略5.为虚数单位，则＝（

）(A)

(B) (C)

(D)参考答案：6.按1，3，6，10，15，…的规律给出2014个数，如图是计算这2014个数的和的程序框图，那么框图中判断框①处可以填入（） A．i≥2014 B． i＞2014 C． i≤2014 D． i＜2014参考答案：B7.已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0参考答案：B【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．8.设，满足，若函数存在零点，则一定错误的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C由题意，函数f(x)存在零点，即为函数与的交点，根据指数函数、对数函数的图象，易知两函数的交点横坐标，且当时，，即，当时，，即，所以，故答案选C.

9.已知全集，集合，，则等于（A）（B）（C）（D）

参考答案：B略10.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，则S5=（）A．3 B．5 C．9 D．25参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，∴=5a3=25．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若．，则此球的表面积等于_________．参考答案：12.（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为

.参考答案：1013.在平面五边形ABCDE中，已知，，，，，，当五边形ABCDE的面积时，则BC的取值范围为

．参考答案：

14.直线与圆交于A，B两点，若△ABC为等腰直角三角形，则m=

.参考答案：1或－315.（理）已知函数在上的最大值不大于2，则实数的取值范围是 .参考答案：：当时，，易得的极大值为，符合题意.当时，讨论如下：若，则，易得的最大值为，所以，解得，∴符合题意；若，则，即函数在是递减，因为，所以符合题意；若，显然符合题意.综上，实数的取值范围是.16.圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，，，，分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形（如图1）.沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起，，，，使得E，F，G，H重合得到个四棱锥（如图2）.设正方形ABCD的边长为a，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的半径为________.

图1

图2参考答案：【详解】连接OE交AB于点1,设E、F.G.H重合于点P,作三角形PAB的AB边上的高PK,连接PO,KO,CO,如下图所示，设正方形的边长为,则,,∵该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，，解得，设该四棱维的外接球的球心为Q,半径为Rcm,可知Q在PO上,连接QC,又,则在中,解得,故答案为:.【点睛】本题考查平面图形的折叠,四棱锥的外接球的半径,解决的关键在于平面图形折叠成立体图形后,明确变化的量和没有变的量,以及线线的位置,线面的位置关系,对于几何体的外接球的问题,关键在于确定外接球的圆心的位置,球半径,属于中档题.17.在△ABC中，AB=1，BC=，CA=3，O为△ABC的外心，若，其中，则点P的轨迹所对应图形的面积是

.参考答案：本题主要是考查解三角形及平面向量运算的几何意义.由余弦定理得，,所以.因此由题意知，点的轨迹对应图形是边长为的菱形,于是这个菱形的面积是三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知数列的各项均为正整数，且，设集合。性质1若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。性质2若记，且对于任意，，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。性质3若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；（Ⅰ）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。（Ⅲ）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。参考答案：解：（Ⅰ）；

为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列；

（Ⅱ）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有，即，其中，必有，所以仅存在唯一一组（）使成立，即数列为阶完备数列；

，对，，则，因为，则，所以，即

（Ⅲ）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（Ⅱ）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为，。

下面用数学归纳法证明显然时命题成立，假设当（时命题成立，即当时，只需证由于对称性只写出了元素正的部分，其中既中正的部分的个元素统一为，其中则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示其中中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，所以当时命题成立。即{}为阶完美数列，

略19.（本小题满分12分）已知等差数列满足＝0，＝－10.（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．参考答案：（1）解设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得------2分解得------------4分故数列{an}的通项公式为an＝2－n.------------6分(2)解法一：设数列的前n项和为Sn，∵＝＝－，∴Sn＝－.记Tn＝1＋＋＋…＋，

①则Tn＝＋＋＋…＋，

②①－②得：Tn＝1＋＋＋…＋－，

∴Tn＝－.即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.-------------12分

解法二：设数列的前n项和为Sn，①②

………………8分①-②得：∴

…………12分20.（13分）（2013?宿迁一模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，n∈N*．（1）证明数列{an}是等比数列，并写出通项公式；（2）若对n∈N*恒成立，求λ的最小值；（3）若成等差数列，求正整数x，y的值．参考答案：(1)，n∈N*;(2)λ≥3;(3)x=1，y=2．（1）因为，其中Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，且an＞0，当n=1时，由，解得a1=1，…（2分）当n=2时，由，解得；…（4分）由，知，两式相减得，即，…（5分）亦即2Sn+1﹣Sn=2，从而2Sn﹣Sn﹣1=2，（n≥2），再次相减得，又，所以所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，…（7分）其通项公式为，n∈N*．…（8分）（2）由（1）可得，，…（10分）若对n∈N*恒成立，只需=3×=3﹣对n∈N*恒成立，∵3﹣＜3对n∈N*恒成立，∴λ≥3．（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2x=1+2y﹣2，当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，等式不能成立，∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．21.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，记作M（a） （1）令，x∈[0，24]，试求t的取值范围 （2）试求函数M（a） （3）市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前该市的污染指数是否超标．参考答案：【考点】在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】（1）利用正弦函数的性质，可求t的取值范围； （2）分类讨论求最值，即可求函数M（a）的解析式； （3）由（Ⅱ）知M（a）的最大值，它小于2，即可得出结论． 【解答】解：（1）由0≤x≤24得

当即x=0时tmin=0当即x=18时 所以t的取值范围是… （2）令， 当时，即时， 当时，即时， 所以… （3）当时，易知M（a）单调递增，所以 当时，由M′（a）=0得 当时，M′（a）＞0，M（a）单调递增 当时，M′（a）＜0M（a）单调递减 所以函数，所以没有超标 答：目前该市的污染指数没有超标．… 【点评】本题考查三角函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22.已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动（Ⅰ）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？（Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理求|MN|的长度即可．（Ⅱ）设经过t（0＜t＜5）小时小船甲处于小船乙的正东方向．利用正弦定理建立条件关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）经过1小时后，甲船到达M点，乙船到达N点，|AM|=10﹣2=8，|AN|=2，∠MAN=60°，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分A岛B岛北