线性代数第二章矩阵及其运算(续)课件

第2.5节

矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换初等矩阵标题添加点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容总体概述点击此处输入相关文本内容标题添加点击此处输入相关文本内容本节主要概念：初等变换行阶梯形矩阵标准形等价1.矩阵的初等变换一.引例二.定义初等变换三.定义等价变换四.行阶梯形矩阵一.引例接上页接上页返回在上述消元过程中用到

三种变换：

（1）交换方程次序；

（2）以不等于0的常数

乘以某一个方程；

（3）一个方程加上另

一个方程的k倍.在上述消元过程中用到

三种变换均可逆，所以

变换前后的方程是同解

的，从而可以求得方程组的全部解.

这三种变换是方程组的同解变换.

思考：上述过程中各个未知量参与计算吗？定义2.5.1初等变换一.初等行变换1.对调两行；2.以非零数k乘某行的所有元素；3.把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去.定义2.5.1初等变换一.初等行变换1.对调两行；2.以非零数k乘某行的所有元素；3.把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去.说明：1.将上述定义中的“行”改为“列”即为初等列变换的定义.2.矩阵的初等行变换和初等列变换

统称初等变换.3.初等变换均可逆，其逆变换均为初等矩阵。即例题定义2.5.2等价矩阵矩阵等价关系满足以下性质：1.反身性，A→A；2.对称性，若A→B则B→A；3.传递性，若A→B，B→C则A→C.如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A、B等价.满足以上三个性质的关系称为等价.两个线性方程组同解则称它们等价.回到引例：接上页接上页接上页定义2.5.3行阶梯形矩阵经列初等变换一般地继续行初等变换称为行阶梯形矩阵特点：横线下方全是0；每阶只有一行，阶数即非零行行数；竖线后面第一个元素为非零元.也称为行最简形矩阵特点：各阶第一个非零元都是1，所在列其余元素均为0.称为标准形矩阵特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0.一般标准形矩阵矩阵A经过初等变换总可以化为这种标准形；该标准形由m、n、r完全确定.定义2.5.4由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵（初等方阵）.三种初等变换对应着三种初等矩阵。（1）互换E的i、j两行（或i、j两列),得2.初等矩阵返回（2）E的第i行（或第i列）乘以不等于零的数k，得（3）把E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上），得初等矩阵具有以下性质：（1）初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵。（2）初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是可逆矩阵。且矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系。定理2.5.3

设A是m行n列矩阵，则（1）对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种m阶初等矩阵左乘A。（2）对A施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘A。二.有关性质、定理在前面有结论：如果矩阵的秩为r，则对A施以若干次的初等变换，可以把A化为等价标准形利用定理4，这个结论可以叙述为设矩阵的秩为r，则存在m阶初等矩阵和n阶初等矩阵使得更一般的情况是：且知，n阶可逆矩阵它的等价标准形一定为En定理n阶矩阵A可逆的充分必要条件是，它可以表示成一些初等矩阵的乘积。证明必要性.若A可逆，则存在初等矩阵和使得充分性.若A可以表示成一些初等矩阵的乘积，则由初等矩阵都可逆，所以A也可逆。定理2.5.4m×n矩阵A→B的充分必要条件是，存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆阵Q使PAQ=B.推论对于任意m×n矩阵A都存在存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆阵Q使PAQ=N.其中N是矩阵A的标准形.证明若A→B，则存在初等矩阵和使得利用行初等变换求矩阵A的逆矩阵方法：（1）构造n×2n矩阵（A|E）；（2）对于（A|E）连续施以行变换把A化为E，（同时对E施以完全相同的初等行变换）这时E就化为A的逆阵.即三.求逆方法2四.例题例1求的逆矩阵。解返回四.例题四.例题注：返回初等变换可用于：1.化矩阵为其等价矩阵；2.求逆阵；3.求矩阵的秩（待讲）；4.解一般线性方程组（待讲）.初等变换与初等矩阵关系1.初等变换相当于乘以初等矩阵；左乘行变，右乘列变.2.利用初等变换返回第2.6节矩阵的秩一.定义矩阵的k阶子式二.定义矩阵的秩三.求秩方法四.例题本节主要概念：矩阵的k阶子式矩阵的秩满秩阵与降秩阵一.定义2.6.1矩阵的k阶子式1.矩阵的k阶子阵在矩阵A中任取k行k列，位于这些行与列相交处的元素按照原来相应位置构成的k阶阵，叫做A的k阶子阵.2.矩阵的k阶子式矩阵A的k阶子阵的行列式叫做矩阵的k阶子式.思考m×n矩阵A的k阶子式共有多少个？二.定义2.6.2矩阵的秩3.矩阵的秩矩阵A中不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵A的秩，记作R（A）=r返回三.求秩方法1.定理2.6.1任一矩阵A经过有限次行（列）初等变换后其秩不变：包括（1）互换两行（列），其秩不变；（2）非零数k乘以i行（j列），其秩不变；（3）非零数k乘以i行（j列）加到j行（i列），其秩不变.证明从略参看教材.即若A→B，则R（A）=R（B）证明思路：1.证明矩阵A经过一次行初等变换变为B时，R（A）=R（B）；2.证明矩阵A经过有限次行初等变换变为B时，R（A）=R（B）；3.对列亦然；4.推出结论.2.求秩方法包括（1）由秩的定义进行考察；（2）将A化为多零矩阵再由定义判定；（3）将A化为行阶梯形矩阵，非零的行数即为r.满秩阵四.求秩练习题答案：1.R(A)=2;2.R(B)=3;3.同2.返回第2.7节矩阵运算的Mathematica实现一.矩阵的基本运算二.求矩阵的逆矩阵三.矩阵的初等变换主要命令：Transpose[a]MatrixPower[a]Inverse[a]RowReduce[a]一.矩阵的基本运算1.a±b求矩阵的和；2.k.a求数与矩阵的乘积；3.a.b求矩阵乘积；Det[a]求方阵的行列式；Tr[a]求矩阵的迹；Transpose[a]求转置矩阵；MatrixPower[a]求矩阵的幂.返回第一步：打开Math4.0窗口，键入第二步：键入:3a.b－2a//MatrixForm按“shift+enter”得（1）结果；第三步：键入:Transpose[a].b

//MatrixForm按“shift+enter”得（2）结果.结果如图示.图示一运算结果（1）运算结果（2）第一步：打开Math4.0窗口，键入例2.返回第二步：键入:Det[a]按“shift+enter”得（1）结果；第四步：键入:MatrixPower[a]

按“shift+enter”得（3）结果.或直接键入矩阵如图示.第三步：键入:Tr[a]按“shift+enter”得（2）结果；图示二结果（1）|A|=11592矩阵A的迹=3矩阵A的三次幂二.方阵的求逆阵运算Inverse[a]

求n阶矩阵的逆矩阵第一步：打开Math4.0窗口，键入第二步：键入:Inverse[c]

//MatrixForm按“shift+enter”得结果如图示.返回Q|A您的问题是？——善于提问,勤于思考问答环节