线性代数 线代复习

矩阵1.矩阵的定义一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、线性代数线代复习2.矩阵的基本运算矩阵相等:同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘：乘法满足矩阵乘法不满足：交换律、消去律线性代数线代复习

A是n阶方阵，

方阵的幂：方阵的多项式：并且（m,k为正整数）方阵的行列式：三种基本计算方法满足:线性代数线代复习解线性代数线代复习转置矩阵:一些特殊的矩阵:

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.满足：对称矩阵和反对称矩阵：线性代数线代复习伴随矩阵：若若若线性代数线代复习3.逆矩阵定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.判定定理:n阶方阵A可逆且推论：设A、B为同阶方阵，若则A、B都可逆，且线性代数线代复习满足规律：逆矩阵求法：（1）伴随矩阵法（2）推论法（3）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．4.分块矩阵线性代数线代复习5.初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．矩阵的等价：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价。记作初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.与矩阵的相似、合同相互比较定理：左乘变行，右乘变列线性代数线代复习解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆)矩阵方程解线性代数线代复习Ⅰ、秩（A）：A的不等于0的子式的最高阶数。Ⅱ、秩的基本关系式：Ⅲ、关于秩的重要结论：6、矩阵的秩线性代数线代复习Ⅳ、秩的求法：1）初等变法：2）若P可逆，则4)当时，5)有r阶子式不为0所有r+1阶子式全为0线性代数线代复习例题2

设A、B

都是n

阶方阵，则e线性代数线代复习解线性代数线代复习解：R(A)=2线性代数线代复习例5解线性代数线代复习一.向量组的线性相关性1.向量间的线性运算：加法、数乘。2.线性组合、线性表示(1)判断向量可由向量组线性表示的常用方法方法1：向量组的线性相关性是否非零无要求

关键：存在某组使上式成立，线性代数线代复习(2)在判断或证明中，常用到的两个重要结论结论1：向量可由向量组线性表示结论2：若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式唯一。方法2：证下列非齐次线性方程组有解即：利用矩阵的初等行变换行最简形矩阵线性代数线代复习3.线性相关性的判别方法(1)一般方法：设数使得成立求系数是有非零解还是只有零解的问题。(2)利用向量组的秩判断：设向量组的秩为当时，线性相关；当时，线性无关。(3)利用常用结论：1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关对应分量成比例线性代数线代复习4.最大无关组的选取或证明(1)初等变换法（最常用）将列向量组写成矩阵初等行变换行阶梯或行最简形矩阵的一个极大无关组，例6：求向量组并把其余向量用该极大无关组线性表示。n＋1个n维向量线性相关。部分相关整体相关；整体无关部分无关。短的无关，长的也无关；长的相关，短的也相关。线性代数线代复习解：是一个极大无关组并且考虑：还有那些极大无关组？初等行变换线性代数线代复习二.矩阵的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数。三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩的两个重要定理：（1）若向量组可以由向量组线性表示，则那么线性相关。(3)(三秩相等)

矩阵A的秩＝A的行秩＝A的列秩。（2）若向量组可以由向量组线性表示，并且线性代数线代复习１．向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；

由向量组生成的向量空间．２．子空间的概念．３．向量空间的基，维数和坐标；求向量空间基和维数的方法（生成子空间）；求向量在给定基底下的坐标。四.向量空间线性代数线代复习五.正交化与正交矩阵1.正交化、单位化2.正交矩阵的n个列（行）向量组为单位正交向量组也是正交矩阵是正交矩阵，则也是正交矩阵线性代数线代复习定理1

设有非齐次线性方程组(1)定理2

设有齐次线性方程组（2）设r(A)=r,则线性方程组的解法与解的结构线性代数线代复习定理1

设有齐次线性方程组（2）方程组的通解、基础解系线性代数线代复习定理2

设有非齐次线性方程组（1）线性代数线代复习例7、

解1）是；2）线性代数线代复习3）由（2）即得条件线性代数线代复习1、特征值的求法2、特征向量的求法特征值和特征向量3、对角化看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。方阵与对角矩阵相似的条件:充要条件:充分条件:①有n个不同特征值;或②A为实对称矩阵线性代数线代复习填空题１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则|A|＝（），Ａ－１的特征值为（），ＡＴ的特征值为（），Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（）．２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（）．

３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（）．－６１，-1/2,1/3１，－２，３．4,1,1600,1线性代数线代复习4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ都不可逆，则Ａ的特征值为（）．５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，则｜Ａ－５Ｅ｜＝（）。1,-1,3-72线性代数线代复习例8（1）求设相似于（1）由性质（2）（2）解线性代数