专题15椭圆双曲线抛物线教学案教师版备战2020高考理科数学二轮考点突破纸间书屋

专题 椭圆、双曲线、抛物FlF不在lPldPF|x x x轴正半轴上y2＝x轴、yx 轴 |AB|＝y＝xy高频考点一例1【2019年高

F2C1B两点．若|AF2|1

，|AB

Cy1x22y1

x2y22

11x2y2 x2y211 D． 【答案】F2Bn

2n,BF1

AB，由椭圆的定义有2aBF1

4n,

2a

．在

． ．在△AF1F2

4n24n222n2n13

n ，解 22a4n

3,a3

3,b2a2c23123

x2y21 1所求椭圆 ，故选F2Bn

2n,BF1

AB，由椭圆的定义有2aBF1

4n．在

又AF2F, ，解3n26 n ，解33x2y233

．2a4n

,a

,b2a2c23121 2CDxDxCM，NDAMBN于E.求证：△BDE与△BDN4∶5. 解：设椭圆C的 3 解得c＝a＝2，b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的 4＋yAMkAM＝nDEkDE＝－n所以直线DE的 y＝－n＝直线BN的 n(x－2)．＝

n

EyE＝－4－m2＋n2 MC4－m2＝4n2

4又 所以△BDE与△BDN A．m>n且 B．m>n且 C．m<n且 D．m<n【答案】【解析】由题意知m21n21，即m2

m2

n2

n42n2又(e1e2)

) ) n2

n4

1e1e

AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方 D.18＋9∵A，B

2＝1 （x1＋x2）（x1－x2）

∵AB的中点为

0－（－1）

E【答案】

高频考点二

例2．【2019年高 卷】已知椭圆a2b21（a＞b＞0）的离心率为2， 【答案】【解析】椭圆的离心率ec1c2a2b2，化简得3a24b2 【变式探究】已知OF是椭圆Cx2y2

1(ab

AB分别为C 左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段 交于点M，与y轴交于点E.若直BM经过OE的中点，则C的离心率为 1（A）

【答案】【解析】由题意设直线l

y

xcx0得|FM|k(ack2k(ak2k(aa|OE

|FM |BF

acc1C的离心率e1，故选 2CPAx(1)CM的坐标(m，n表示(2)OBAxPBxN.问：yQ，使得∠OQM＝∠ONQQ的坐标；若不存在，说明理由． 2【解析】(1)由题意得a＝2， C

2＋y y－1＝m＝所以 m，即Mm，0.＝ (2)BAx＝ m.＝Q(0yQ)OM＝ON”Q(0y)

|OQ|yQy2 m

使得 因为

，2＋n2

所以 yQ＝2yQ＝－yQ，使得∠OQM＝∠ONQQ的坐标为(0，2)或(0，－2)．高频考点三 例 曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方( A.4－12＝1B.12－4 D.9－3【答案】

bx－ay＝0 可得

a2＋b2＝ 因为d1＋d2＝6，所以 ＋

a2＝4

a2＝4a2＝3

39＝1 【变式探究】(2017·卷Ⅱ)若双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( 22

BB.2D.b，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12 ＝＝

【答案】

x24

（b>0 3y2

Bx

42 2

Dx

y22 22【答案】 x2y2

x

b2【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限 ，∴yb b

y 2∴xyb2

bb

12

b24

E9－16＝1F1，F2PE上，且 ＝9【答案】高频考点四2 2

1(a0b0的右焦点，O以OFx2y2a2P，QPQOFC23 235 5【答案】PQxAPQxc

,PA为以OF22∴|OA|c，2

Px

a上

， 2

22e 2

m2

3m2

围是 （A）

（D）【答案】x轴上，所以m2n3m2n4m212 2

1表示双曲线，所以1n0，解得n1n的取值范围是

，故选1 3

3n n3则E的离心率为( 355

2 2

＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos【答案】

＝2高频考点五2例5．【2019 2

13 【答案】

【解析】因为抛物线y22px(p0)的焦点 ,0)是椭2

13 3pp

p)2p82【变式探究】(2017·卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( 525233 33【解析】由题知MF：y＝3(x－1)，与抛物线y2＝4x联立得3x2－10x＋3＝0，解得

M(3，2|3（3－1）＋2（－MN⊥lN(－1，23)．|3（3－1）＋2（－MNF

＝2＝2O为坐标原点，PFy22px(p

上任意一点，M2PF2

=2

,则直线OM的斜率的最大值为 323

【答案】P2pt22pt,Mx,y（不妨设t0FPFP2pt ,22pxp2pt2p x2pt2p

12 312

2t112,当且仅当t1时取等号

2y

2pt3

y

2pt3

2t2

t1

2

OM 222【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( 222A.

C.3

由|AF|＝3∴A点坐标为(2，22)AB22

2－1＝2∴直线AB的方y＝222x－y－2则点O到该直线的距离为 2＝3y＝2y

9 192 3＝2×2×3＝2【答案】高频考点六6C：y2＝2x，过点(2，0)lCA，BMABOMMP(4，－2)lM 得Δ＝4m2＋16于→所以 OA⊥OBOMM的坐标为(m2＋2，m)Mr＝MP(4，－2)，因此→→＝0，故 当m＝1时，直线l的方x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为10，圆M的方程 当m＝－2时，直线l的

M

4，圆M的

55242

,|DE|=

,C 【答案】

y22px,ABDExCF点,AC22,A为

,A4,即OC4,DF2OF2DO2r22 2AC2OC2AO2r2,即(5)2p)222)24)2,p4,即C4, 【变式探究】已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方 D.4－3 y＝±ax，又渐近线过点(2，3)，所以a＝3，即2b＝①抛物线y2＝47x的准线方x＝－7，由已知，得a2＋b2＝7，即 联立①②解得a＝4，b＝3，所求双曲线的 4－3＝1，选【答案】

的两个焦点，MC上一点且在第一象限. 【答案】3,15【解析】由已知可得a236b220c2a2b216c4

2c8，∴

4M的坐标为

,y

0,

1FF

4y

1

14

,4

，解得y0 8218212x0 1x03（x03舍去，M的坐标为3,15．2 222【2019 Ⅲ卷】双曲线C：xy=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为 PO=

，则△PFO的面积为 34

32

22【答案】22【解析】由a2b

2,c2

a2a2

PO

6,xP266PCybxybx6

2 6 3

12 OF12

16 332

【2019年浙江卷】渐近线方x±y=0的双曲线的离心率2

2【答案】2

xy0，所以ab，则c

a2a2线的离心率eca

.

该双曲线的渐近线方程是 y【解析】由已知得

1，解得b 或b 222因为b0，所以b 222因为a1

y

2x2 2

1的一个焦点，则 3 【答案】

【解析】因为抛物线y22px(p0)的焦点 ,0)是椭2

13 3pp

p)2p82

→则 C．7【答案】

x＋2

y＝0.x＝1，x＝4.y＝2，y＝4.y2＝4xF(1,0)

→

→以FM·FN＝3×0＋2×4＝8.故选

卷Ⅰ)C3－y＝1，O为坐标原点，FCFC3条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( 3 【答案】＝ y＝±1x.设两条渐近线的夹角为2α则有tanα 3，＝ Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝3.Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝3·tan60°＝3.B. 卷Ⅱ)双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线 A．y＝± B．y＝±2y＝±2【答案】c

y＝±2 ±2【解析】因为a＝3，所以a2＝3，所以a＝2，所以渐近线 y＝±2x.故选 F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为 5 532 32【答案】

可得Pc，c.由F1(－c,0)及|PF1|＝6|OP|， c＋c2＋c2＝ c2＋c23a2＝c2e＝3. 与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则 A.3－9 C.4－12＝1D.12－4【答案】

＝0

＝2a2＋b2＝4a2a＝

39＝1. 6．(2018·浙江卷)双曲线3－y＝1的焦点坐标是 A．(－2，0)，( C．(0，－2)，(0， 【答案】 5 卷)若双曲线a2－4＝1(a＞0)的离心率为2，则 【答案】

5c2

52c2＝a2＋4得

＝4a 2 22 【答案】

D.a2＝b2＋c2＝4＋4＝8a＝22

2

＝a＝2 ＝＝△BPM的面积是△BPQ2k

【解析】(1)2c，由已知得a2＝9a＝b

＝

9＋4

9＋4

yx2＝3k.由方程组

可得 9k

可得

或

＝－2.k＝－9时，x＝－9＜0k＝－2时，x＝12，x＝51k (2)FC的右焦点，PC上一点，且→＋→＋→＝0. 11＝12

＝k得

由题设知 ＝1， 于是 3由题设得 ＜2，故＜－(2)F(1,0)P(x3，y3)，则由(1)x3＝3－(x1＋x2)＝1，又点P在C上，所以 P1＝ x21－

－所以 故 即

→－11

3

所以l的

C x1＋x2＝2，x1x2＝133

333 或－28 为

A.4－12＝1B.12－4 D.9－3【答案】

bx－ay＝0 可得

a2＋b2＝ 因为d1＋d2＝6，所以 ＋ ＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线的离心率为2，所以

所以a2＝4

a2＝4a2＝3

39＝11.【2017110FC：y2=4xFl1，l2，l1CA、Bl2CD、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 【答案】

y2{

，得k2x22k2x4xk20x

2k2k k

2k2k ，同理直线l与k

2k2

k2抛物线的交点满足x3x4 ，由抛物线定义可知ABDEx1x2x3x42pk224k kk2k14k kk2k1 8

816，当且仅当k1k21（或1）k k 等号 AB 3AB． ．CC．

b2＋2 ＝a，即b2＋2

6∴a＝3b，∵a＝b＋c，∴a2＝3，∴e＝a＝32【2017浙江，22

y 1y

3

D．9【答案】95【解析】e 95 2 2

1(a0b0F

.F2（A）2

y2

y2112 112【答案】4【解析】由题意得abc1c4ab4

x2y221 21

【2017，理9】若双曲线

313m

，则实数 【答案】13【解析】a21,b2m，所以c ，解得m213 22

2y1（a>0，b>0）AA为圆心，by作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率 223APMNACM、N两点，则MNybxAa,0a而APMN，所以PAN30Aa,0ybxAPa

AMbb

b

中，cosPAN

，代入计算得a23b2，即a

由c2a2b2得c2b所以ec 23

(a＞0,b＞0)的一条渐近线方y x525

1C

1 1

1 1

11 11 【答案】

ybxaa212,b23,c2a2b29c

，椭圆，即双曲线的焦点为30 据此可得双曲线中的方程组：ca ，解得：a

5则双曲线C

1xy21

c.【201714xOyx2y21a0,b0F x22pxp0ABAF2y2

，则该双曲线的渐近线方

BF=ypyp4pyyp 因为{

a2y22pb2ya2b20

A

2

pa

x222 y x2222

P（1,（01（1 323332

）C上ClP2CA，B两点.P2AP2B的斜率的和为–1，证明：l

x2y4y

1.（2）

又由1

1

知，CP1P2C上因此1

13

，解得

a2.b2C

yx2y4

1（2）P2AP2B

44t2

44t24t2 4t2k1k2

1，得t2，不符合题设 从而可设l：ykxm（m1）.将ykxm代 44k21x28kmx4m24由题设可知=164k2m21

1A（x1，y1，B（x2，y2

4k21

4m24k21k

y11y2 kx1m1kx2m .由题设k1k21，故2k1x1x2m1x1x20即2k

4m22

m

2

04k 4k解得km12当且仅当m1

0

ym1xmy1m1x2l过定点

2x2y21ab2

中椭圆

的离心率 2焦距为2如图，动直线lyk1x

EABCEOCk2k1k2

2，M是线段OC延长线上一点，且MC:AB2:3 的半径为MC，OS,OT MM4MMS,T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率

x2y2y

1（Ⅱ）SOT，取得最大值时直线l的斜率为k2

eca

2，2c2，22所以a 2,bE

x2y2y

1Ax1y1Bx2y2联立方程

x2y2y

3yk1x23 得4k22x243kx10，由题意知0 x

2

,xx 2k2 1

22k21k1所以1k1

x1x2 122由题意可知圆Mr122

21k2121k218k111212由题设知k1k24，所以k24k212因此直线OC的方y

x22yx2y2联立方程{2y

8k 得x ,14k

14k218k18k114k1x2x2

SOT rr

k1k1r3 12k14k214k21k1141令t12k21则t110,1t

2t2t 22 当且仅当t2，即t2时等号成立，此时k1 22 所以

SOT 1 1 因 所以SOT32222综上所述：SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1 3【 ，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，1）作直线l与抛物线C2M，NMxOP，ONA，BO为原点求证：ABM的中点

，0，准线方4y22pxP（1，1p12

x1.（Ⅱ）详见解析4C

y2x1，0，准线方4

x14l的方

ykx1（k0lC的交点为Mxy，

Nx,yykx由 y2

，得4k2x24k4x10

x

1k

xx1 k 1 4k（1，1， yx，点A的坐标为x1,y1直线ON的 yy2x，点B的坐标为x,y2y1

x2yy2y1

y1y2y2y1 kx1xkx1x2x 2 2 1 2k2xx1xx 1 2k2110

4k

2k1yy2y12x1x1x2ABM的中点【

1(ab0FA，离心率为 Ay22pxp0F到抛物线的准线l12设lP，QxAPB（BABQD.若△APD的面积为6AP的方程2 4 4【答案（Ⅰ）x 3

y24x.（Ⅱ）3x

6y30，或3x

6y30F的坐标为c,0.

c1

pa

ac1，解得a

c1 p2，于是b2a2c23.4

4x 1，抛物线的 43

4x解设直线AP的 xmy1m0与直线l的方程x1联立可得点P1,2 m 2

4 故Q .将xmy1与x 1联立，消去x，整理得

4y6my0y0 m

3m2

6m

2y3m2