天津铃达中学高三数学理模拟试卷含解析

天津铃达中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（00＜θ＜900）的平面所截，截面是一个椭圆．当θ为30°时，这个椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 参考答案：考点： 平面与圆柱面的截线．分析： 利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率．解答： 解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，∵a2=b2+c2，∴c=，∴椭圆的离心率为：e==．故选：A．点评： 本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量与双曲线的几何量（a，b，c）关系的正确应用，考查计算能力．2.直角△ABC中，AD为斜边BC边的高，若||=1，||=3，则=（）A．B． C．－D．－参考答案：A【分析】根据题意建立平面直角坐标系，写出A、B、C的坐标，利用BC的直线方程求出点D的坐标，再写出、，计算的值．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，A（0，0），B（3，0），C（0，1）；则BC的直线方程为+y=1，设点D（m，n）；则，解得m=，n=，∴D（，）；∴=（3，0），=（，﹣），∴=3×+0×（﹣）=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积与运算问题，是基础题．3.已知函数是奇函数，是偶函数，且=(

)A．-2

B．0

C．2

D．3参考答案：A4.在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝（1，2），b＝（m，3m－2），且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb（λ，μ为实数），则m的取值范围是A．（－∞，2）

B．（2，＋∞）C．（－∞，＋∞）

D．（－∞，2）∪（2，＋∞）

参考答案：D略6.已知等比数列的公比为正数，且，，则（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：D7.已知，，c=，则a，b，c的大小关系为（

）

A.c<b<a

B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a参考答案：A8.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去，则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到A处的所有不同走法(

)A22种

B24种

C25种

D36种参考答案：C略9.已知函数f（x）=ax2﹣（3﹣a）x+1，g（x）=x，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数a的取值范围是(

)A．[0，3） B．[3，9） C．[1，9） D．[0，9）参考答案：D【考点】二次函数的图象；一次函数的性质与图象．【专题】计算题；压轴题．【分析】对函数f（x）判断△=（3﹣a）2﹣4a＜0时，一定成立，可排除A与B，再对特殊值a=0时，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，可得答案．【解答】解：对于函数f（x），当△=（3﹣a）2﹣4a＜0时，即1＜a＜9，显然成立，排除A与B当a=0，f（x）=﹣3x+1，g（x）=x时，显然成立，排除C；故选D．【点评】本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．10.已知，若是的充分不必要条件，则正实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：命题成立，，得或；命题成立，得或，由于是的充分不必要条件，，等号不能同时成立，解得，由于，因此考点：充分、必要条件的应用二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式对一切恒成立，则m的取值范围是________________。参考答案：12.若这10个数据的样本平均数为,方差为0.33,则，这11个数据的方差为________．参考答案：0.3略13.设与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为

_

参考答案：略14.若点在椭圆外，过点作该椭圆的两条切线的切点分别为，则切点弦所在直线的方程为．那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为

参考答案：切点弦所在直线的方程为15.如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是．参考答案：18【考点】基本不等式；对数的运算性质．

【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用对数的运算性质和基本不等式即可得出．【解答】解：∵log3m+log3n=4，∴，得mn=34．∵m＞0，n＞0，∴==18，当且仅当m=n=9时取等号．故答案为18．【点评】熟练掌握对数的运算性质和基本不等式是解题的关键．16.实数x、y满足，则z=x2+y2+2x﹣2y的最小值为．参考答案：0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，则z=x2+y2+2x﹣2y=z=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，设m=（x+1）2+（y﹣1）2，则m的几何意义为区域内的点倒是定点D（﹣1，1）的距离的平方，由图象知D到直线y=x的距离最小，此时d=，则m=d2=2，故z的最小值为z=2﹣2=0，故答案为：0．点评：本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离的求解，利用数形结合是解决本题的关键．17.已知，，若同时满足条件：1对任意实数都有或；2总存在使成立。则的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设为偶数，，，求的最小值和最大值；（3）设，若对任意，有，求的取值范围；参考答案：（1）由，，得

对恒成立，从而在单调递增，又，，即在区间内存在唯一的零点.

………分（2）因为

由线性规划（或，）………分（3）当时，（Ⅰ）当或时，即或，此时只需满足，从而（Ⅱ）当时，即，此时只需满足，即解得：，

从而（Ⅲ）当时，即，此时只需满足，即解得：

从而综上所述：

………分19.已知数列的首项其中，令集合.（I）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：；（III）当时，求集合中元素个数的最大值.参考答案：解：（I）27,9,3；8,9,3；6,2,3.

（II）若被3除余1，则由已知可得,；若被3除余2,则由已知可得,,；若被3除余0，则由已知可得,；所以，所以所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.因为，所以.所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）若,则；若,则,若,则,由递推关系易得.

（III）集合中元素个数的最大值为21.由已知递推关系可推得数列满足：当时，总有成立，其中.下面考虑当时，数列中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为，由（I）可得或9，由（II）的证明过程可知数列的项满足：，且当是3的倍数时，若使最小，需使，所以，满足最小的数列中，或7，且，所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，所以或，即或，因为，所以，当时，的最大值是6，所以，所以集合重元素个数的最大值为21.略20.已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，f（x）≤f（1）=0，合题意．故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），∴＜2（﹣1）．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．21.已知三个互不相等的正数a，b，c成等比数列，公比为q．在a，b之间和b，c之间共插入n个数，使这n+3个数构成等差数列．（1）若a=1，在b，c之间插入一个数，求q的值；（2）设a＜b＜c，n=4，问在a，b之间和b，c之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，试比较s与t的大小．参考答案：考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）若a=1，设由4个数构成的等差数列的公差为d，则，消去d，求得q的值．（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d＞0，共插入4个数．若在a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数，求得q的值；若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入1个数，求得q的值；若a，b之间和b，c之间各插入2个数，求得q的值，综合可得结论．（3）设所构成的等差数列的公差为d，由题意可得，因为q≠1，所以，分q＞1和0＜q＜1两种情况，分别得出结论．解答：解：（1）若a=1，因为a，b，c是互不相等的正数，所以q＞0且q≠1．由已知，a，b，c是首项为1，公比为q的等比数列，则b=q，c=q2，当插入的一个数位于b，c之间，设由4个数构成的等差数列的公差为d，则，消去d得2q2﹣3q+2=0，因为q≠1，所以q=2．（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d＞0，共插入4个数．若在a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数，则，于是，2b﹣2a=c﹣b，q2﹣3q+2=0，解得q=2．若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入1个数，则，于是，2c﹣2b=b﹣a，解得（不合题意，舍去）．若a，b之间和b，c之间各插入2个数，则，b﹣a=c﹣b，解得q=1（不合题意，舍去），综上，a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数．（3）设所构成的等差数列的公差为d，由题意可得，b=a+（s+1）d，，又c=b+（t+1）d，，所以，，即，因为q≠1，所以．所以，当q＞1，即a＜b＜c时，s＜t；当0＜q＜1，即a＞b＞c时，s＞t．点评：本题主要考查等差数列的定义、性质以及通项公式，等比数列的定义、性质以及通项公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．22.（本小题满分14分）

已知数列的前项和为，通项满足（是常数，且）。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设函数，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。参考答案：解：（Ⅰ）由题意，得

所以…1分

当时，，所以

……………2分

故数列是以为首项，公比为的等比数列

所以

…