2014秋版数学九上4 6一元二次方程根与系数关系课件

1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？ax2

+bx+c

=0(a

„

0)D

=

b2

-4acD

>

0

两个不相等的实数根D

=

0

两个相等的实数根D

<

0

没有实数根22a-b

–

b2

-4acx

=

(b

-4ac‡0)填写下表：方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系x1x2x1

+x2x1

•

x2-

bacax

2

+

3

x

-

4

=

0-

41-

3-

4-

3-

4x

2

-

5

x

+

6

=

02356562x2

+

3x

+1

=

0-

1

-

1-

3

1

-

3

1

22222猜想：如果一元二次方程ax

2

+bx

+c

=0(a

„0)

的两个根，那么，你可以发现什么结论？分别是x1、x2已知：如果一元二次方程

ax2

+

bx

+

c

=

0(a

„

0)的两个根分别是

x

1

、x2

。a=

-

b21求证：

x

+

xa=

cx

•x212a-

b

-

b2

-

4ac2a-

b

+

b2

-

4acx1

+

x2

=+2a-

b

+

b2

-

4ac

-

b

-

b2

-

4ac==

-

2b2a=

-

ba2a-

b

-

b2

-

4ac-

b

+

b2

-

4ac2ab2

-

b2

-

4ac)x1

x2

=·4a2==

4ac4a2=

caax

+

x

=

-

b21a=

cx

•x21如果一元二次方程

ax2

+

bx

+

c

=

0(a„

0)x

1的两个根分别是 、

x2

，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。x2

-2x

-15=02x2

+3x

-5

=

03

x

2

-

7

x

=

02

x

2

=

52.

x2

-6x

+

4

=

01.3.4.5.口答下列方程的两根之和与两根之积。1.已知一元二次方程的x2

-2x

-1

=0两根分别为

x1,

x2，则：x1

+

x2

=

x1

x2

=

2.已知一元二次方程的

3x2

+

x

=

6

两根分别为

x1,

x2，则：x1

+

x2

=

已知一元二次方程的

3x2

-

9x

+

m

=

0的一个根为1

，则方程的另一根为

，m=

：已知一元二次方程的

x2

+

px

+

q

=

0

两根分别为

-2

和

1

，则：p

=

;

q=

x1

x2

=

1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？(1).x2

-3x+1=0(3).2x2

-3x

=0(2).3x2

-2x

=2(4).4x2

=1+2x2、设x1、

2x

是方程利用根与系数的关系，求下列各式的值：22x

+4x

-3

=0的根1

2(1).(x

+1)(x

+1)1

2x

x(2).

x2

+

x1返回已知 是方程的两个实数根，求解：根据根与系数的关系:的值。2\

x1

+

x2

=

2,

x1

x=

121

2

1

2

1

2\

x

2

+

x

2

=

(x

+

x

)2

-

2x

x2=

22

-

2·(-

1)

=

5例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和解：设方程的两个根是x1

x2，那么2x2

+

3x

-1

=

01

=

33

2

21

221(2)1

+

1

=

x1

+

x2221

2+

2x

x

+

x2121

21

21

21

13

=

-

2

‚-

2

3

2

=

-

2

-

2·-

2

=

4x

+

x

=

-

3

,

x

·

x

=

-

1(1)∵(x

+

x

)=

xx

x x

x返回例1.不解方程，求方程

2

x

2

+

3x

-1

=

0

的两根的平方和、倒数和。二、典型例题例题1：已知方程1

2x

,x

，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2x2

+

x13

3（2）x1

x2＋x1x2（3）21

x2＝2x＋1的两根为x1

x2得：解：设方程的两根分别为

x

1

和

x2

，则：x1

•x2

=

2k

-1而方程的两根互为倒数即：

x1

•x2

=

1所以：2k

-1

=12.方程

x2

+

3kx

+

2k

-1

=

0

的两根互为倒数，求k的值。k

=

1设

X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2=

X1X2=

_，X

2+X

2

=

；1

2(

X1-X2)2

=

；基础练习

x1

x21

+

1

=x1

x2x2

+

x1

=1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2

=

4

,X1X2

=

1

_，X12+X22

=

(

X1+X2)2

-

2X1X2=(

X1-X2)2

=

(

X1+)X2

-2

4X1X2=

123、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0

（×

）

4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是2和-1。

14基础练习3一个根是

2，m

= -3

。（还有其他解法吗？）1.已知方程5x2

+kx

-6

=0

的一个根是2，求它的另一个根及k的值.所以：即：得：k=-7解：设方程

5x2

+

kx

-

6

=

0

的两个根x1

、x2=

2分别是 ，其中

x1

。5221x

=

2

x

=

-

6x3x

2

=

-

55

51

2由于

x

+

x

=

2

+

(-

3

)

=

-

k5答：方程的另一个根是

-

3

，k=-7例题2：若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值。1.已知一元二次方程的的一个根为1

，则方程的另一根为

，m=

：2、已知方程的一个根是1，求它的另一个根和m的值。3x2

-19x

+

m

=

03x2

-

9x

+

m

=

0例2.两根为 ，

且k的值。已知方程

kx2

-(2k

-1)x

+

k

-

2

=

0

的x1、x222

21+x

=3

，求x4、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少

10，求k的值.解:D=(m+1)2-4(2m-1)=m2-6m+5①∵两根互为相反数∴两根之和m+1=0,m=-1,且D>0∴m=-1时,方程的两根互为相反数.2m

=

112m

=若两根互为相反数,则b=0;若两根互为倒数,则a=c;若一根为0,则c=0

;若一根为1,则a+b+c=0

;若一根为-1,则a-b+c=0;若a、c异号,方程一定有两个实数