陕西省汉中市汉源第一中学2022年高二数学理下学期摸底试题含解析

陕西省汉中市汉源第一中学2022年高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.观察下列算式：，，,,,,,,……用你所发现的规律可得的末位数字是()A.2 B.4 C.6 D.8参考答案：D【分析】通过观察可知，末尾数字周期为，据此确定的末位数字即可.【详解】通过观察可知，末尾数字周期为，，故的末位数字与末尾数字相同，都是．故选D．【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．2.椭圆的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.已知直线l1经过两点，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝(

)．A．2 B．－2 C．4 D．1参考答案：A略4.正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为(

)A． B． C． D．参考答案：D5.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3 D．2+2参考答案：B【考点】平面图形的直观图．【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选B．6.已知，则的最小值是（

）A．2

B． C．4

D．5参考答案：C解析:因为当且仅当，且，即时，取“=”号。7.已知sinα＝，则cos4α的值是()A.

B.

C.

D.参考答案：B8.如图,共顶点的椭圆①,②（由内到外）与双曲线③,④的离心率分别为,其大小关系为

Ａ． Ｂ． C：Ｄ．

参考答案：C略9.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：B【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，=，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，==，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[，]．故选B．10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=（）A．10 B．20 C．40 D．80参考答案：B考点： 基本不等式在最值问题中的应用．

专题： 不等式．分析： 根据已知条件便可得，一年的总费用和总存储费用之和为，当x=20时取“=“，这便求出了使一年的总费用和总存储费用之和最小时的x值了．解答： 解：由已知条件知，一年的总费用与总存储费用之和为；当，即x=20时取“=“；即要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=20．故选B．点评： 考查对基本不等式：a+b，a＞0，b＞0，的运用，注意等号成立的条件二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是

参考答案：略12.若不等式2x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则a=．参考答案：2【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式2x2+ax+b＜0的解集得出对应方程2x2+ax+b=0的两个实数根，由根与系数的关系求出a的值．【解答】解：由题意不等式2x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣3＜x＜2}，所以﹣3和2是方程2x2+ax+b=0的两个根，所以﹣3+2=﹣，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次不等式对应方程的关系与应用问题，解题的关键是根据不等式的解集得出对应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值，是基础题．13.已知复数，，若为纯虚数，则a=_____.参考答案：【分析】化简，令其实部为0，可得结果.【详解】因为，且为纯虚数，所以，即.【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数为纯虚数的等价条件.14.命题P：，则命题P的否定是______________________.参考答案：15.曲线在点处的切线方程为_____________.参考答案：略16.已知点P是椭圆与圆的一个交点，且2其中F1、F2分别为椭圆C1的左右焦点，则椭圆C1的离心率为

.参考答案：17.已知复数（i为虚数单位），则_________.参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，BC=，M是AD的中点，N是B1C1中点．（1）求证：NA1∥CM；（2）求证：平面A1MCN⊥平面A1BD1；（3）求直线A1B和平面A1MCN所成角．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出=（，﹣1，0），=（，﹣1，0），可得=，即可证明NA1∥CM；（2）?=0+1﹣1=0，?=0，即可证明D1B⊥平面A1MCN，从而平面A1MCN⊥平面A1BD1．（3）由（2）得B到平面A1MCN的距离为d==1，A1B=，即可求直线A1B和平面A1MCN所成角．【解答】证明：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则B（，1，0），A（，0，1），D1（0，0，1），C（0，1，0），M（，0，0），N（，1，1），∴=（，﹣1，0），=（，﹣1，0），∴=，∴NA1∥CM；（2）∵=（，1，﹣1），=（0，1，1），=（，﹣1，0），∴?=0+1﹣1=0，?=0，∴D1B⊥MN，D1B⊥CM，又MN∩CM=M，∴D1B⊥平面A1MCN，又D1B?平面A1BD1，∴平面A1MCN⊥平面A1BD1．（3）由（2）得B到平面A1MCN的距离为d==1，A1B=，∴直线A1B和平面A1MCN所成角的正弦值为=，∴直线A1B和平面A1MCN所成角为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间向量的运用，正确求出向量的坐标是关键．19.如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求直线A1D与平面AB1D所成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AB1，BA1，交于点O，连结OD推导出OD∥A1C，由此能证明A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，过A作DC的平行线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1D与平面AB1D所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB1，BA1，交于点O，连结OD，∵D是BC中点，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，∴O是A1B的中点，∴OD∥A1C，∵OD?平面AB1D，∴A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D；解：（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，过A作DC的平行线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，2），D（），A（0，0，0），B1（，﹣1，2），C（，1，0），=（，0，﹣2），=（），=（），设平面AB1D的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），设直线A1D与平面AB1D所成角为θ，则sinθ===．∴直线A1D与平面AB1D所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20.已知函数＝，，,为常数。（1）若函数f(x)在x＝1处有极大值-14，求实数,的值；（2）若a＝0，方程f(x)＝2恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围；（3）若b=0，函数f(x)在(-∞,-1)上有最大值，求实数a的取值范围.参考答案：（2）由f(x)＝2，得f(x)－2＝0，令g(x)＝f(x)－2＝x3－bx－2，则方程g(x)＝0恰有3个不相等的实数解。∵g’(x)＝3x2－b，

（ⅰ）若b≤0，则g’(x)≥0恒成立，且函数g(x)不为常函数，∴g(x)在区间[－4,4]上为增函数，不合题意，舍去。

可得

略21.我国《算经十书》之一《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？答曰：二十三.”你能用程序解决这个问题吗？参考答案：设物共m个，被3，5，7除所得的商分别为x、y、z，则这个问题相当于求不定方程

的正整数解.m应同时满足下列三个条件：（1）mMOD3=2；（2）mMOD5=3；(3）mMOD7=2.因此，可以让m从2开始检验，若3个条件中有任何一个不成立，则m递增1，一直到m同时满足三个条件为止.程序：m=2f=0WHILE

f=0IF

mMOD3=2

AND

mMOD5=3AND

mMOD7=2

THENPRINT

“物体的个数为：”；mf=1ELSEm=m+1END

IFWENDEND【答案】22.已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行． （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2． 参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值； （II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可； （III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论． 【解答】解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）， ∴=，x∈（0，+∞）， 由已知，，∴k=1． （II）由（I）知，=，x∈（0，+∞）， 设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2）， 当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0， 可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数， 又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1 ∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0， 当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0． 综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）． （III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立． 当0＜x＜1时，ex＞1，且g（x）＞0，∴． 设F（x