2022-2023学年四川省广元市公兴中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年四川省广元市公兴中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（

）A．

B．1

C．

D．参考答案：A因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，在面内的射影为中点，平面，上任意一点到的距离相等．，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心．，，，，即为到平面的距离，故选A．考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．2.在△ABC中，角A、B均为锐角，则cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用诱导公式cos（﹣α）=sinα及余弦函数的单调性和充要条件的定义可得答案．【解答】解：因为cosA＜sinB，所以cosA＞cos（﹣B），又因为角A，B均为锐角，所以﹣B为锐角，又因为余弦函数在（0，π）上单调递减，所以A＜﹣B，所以A+B＜△ABC中，A+B+C=π，所以C＞，所以△ABC为钝角三角形，若△ABC为钝角三角形，角A、B均为锐角所以C＞，所以A+B＜所以A＜﹣B，所以cosA＞cos（﹣B），即cosA＞sinB故cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的充要条件．故选：C【点评】本题考查诱导公式及正弦函数的单调性及三角形的基本知识，以及充要条件的定义，属中档题．3.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（

）A．

B．

C．1

D．参考答案：B4.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,那么以为概率的事件是()A.都不是一等品

B.恰有一件一等品

C.至少有一件一等品

D.至多一件一等品参考答案：D5.三视图如右图的几何体的全面积是A．

B．C．

D．参考答案：A6.若曲线上存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.在正方体中，面对角线与体对角线所成角等于（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.函数在同一直角坐标系下的图象大致是（）A

B

C

D参考答案：C9.已知sin＝，则cos的值等于(

)A．－

B．－

C.

D.

参考答案：B略10.若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

∵圆心到直线的距离，∴．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设命题:，命题:对任何R，都有，命题且为假，P或Q为真，则实数的取值范围是

。参考答案：略12. 参考答案：略13.（5分）（2015?青岛一模）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．参考答案：②④【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：压轴题；新定义．【分析】：根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，?属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．解：①τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】：此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．14.已知非零向量，满足||=||=|+|，则与2－夹角的余弦值为．参考答案：

【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理，数形结合求得与夹角的余弦值．【解答】解：非零向量满足，不妨设=1，设与夹角为θ，如图所示：设=，=，=+，则OA=0B=0C=1，设=2=2，则=2﹣，∠ODA即为θ，△OAC和△OBC都是边长等于3的等边三角形．利用余弦定理可得BD==，cosθ==，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，属于中档题．15.已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，,则________．参考答案：3由题意得分别为中点,所以点睛：(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求|,抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.16.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，，，，，平面平面ABCD，则球O的表面积为____参考答案：16π【分析】设的中点为，证明是球的球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】设中点为，设中点为，作出图像如下图所示，由于，,平面平面,所以,平面，故.由于，，，所以，.所以，故点到的距离相等，所以为球心，且球的半径为，故表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球球心的位置的求法，考查球的表面积公式，属于中档题.17.若命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）设函数，（其中为实常数且），曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)若函数无极值点且存在零点，求的值；(Ⅱ)若函数有两个极值点，证明的极小值小于.参考答案：解：（Ⅰ），由题得，即．此时，；由无极值点且存在零点，得解得，于是，．……………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函数有两个极值点，只要方程有两个不等正根，那么实数应满足，解得，设两正根为，且，可知当时有极小值．其中这里由于对称轴为，所以，且，得记，，有对恒成立，又，故对恒有，即．所以有而对于恒成立，即在上单调递增，故．……………15分19.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数在上的单调递减区间；（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值．参考答案：解：（Ⅰ）……………3分由得：所以，在上的单调递减区间为………6分（Ⅱ），则，，，………8分向量与向量共线，，由正弦定理得，…………………10分由余弦定理得，，即

………………………12分

略20.有一种新型的洗衣液，特点是去污速度快.已知每投放,且个单位的洗衣液，它在水中释放的浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为:，其中；若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，只有当水中洗衣液的浓度不低于时，才能起到有效去污的作用.(Ⅰ)如果只投放1个单位的洗衣液，则能够维持有效去污作用的时间有多长?(Ⅱ)第一次投放1个单位的洗衣液后,当水中洗衣液的浓度减少到时,马上再投放1个单位的洗衣液，设第二次投放后水中洗衣液的浓度为,求的函数解析式及其最大值；

（Ⅲ）若第一次投放2个单位的洗衣液，4小时后再投放个单位的洗衣液，要使接下来的2小时中能够持续有效去污,试求的最小值．

参考答案：（1）解：因为，令，得；令，得；所以的递增区间为，的递减区间为．…………3分因为，所以函数的图像在处的切线方程；…………5分（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………6分ks5u令，则，……7分令，则，所以函数在上单调递增．………8分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即，…10分所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．…………12分所以．故整数的最大值是3．………13分

略21.△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的最大值；（2）若，当△ABC的面积最大时，△ABC的周长；参考答案：（1）由得：，，即，，；由，令，原式，当且仅当时，上式的最大值为．（2），即，当且仅当等号成立；，周长．22.（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取BE中点F，连结CF，MF，证明四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF，即可证明直线MN∥平面EBC；（2）证明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC?平面EBC，即可证明直线EA⊥平面EBC．【解答】证明：（1）取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF=AB，又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC=AB，所以MF平行且等于NC，