高中数学-指数函数的图象和性质应用教学课件设计

第二课时指数函数的图象和性质的应用课标要求素养要求1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性.3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，发展学生的逻辑推理素养.2.借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，发展学生的数学运算及数学抽象素养.教材知识探究电视剧《西游记》中的孙悟空，是我们老幼观众都喜爱的除妖英雄，他的如意金箍棒更是神奇无比，说大就大，说小就小.假设他手中的金箍棒长1.8米，他喊一声变，就将金箍棒变为原来的2倍，那么孙悟空喊多少声“变”能将金箍棒变得比珠穆朗玛峰还高？问题(1)你能写出金箍棒长度y与孙悟空喊的次数x之间的函数关系吗？(2)若喊一声“变”，就将金箍棒变为原来的3倍呢？与第一种情况相比，哪种情况金箍棒增长的更快？提示(1)y＝1.8×2x(x∈N*).(2)y＝1.8×3x(x∈N*).通过画出y＝1.8×2x与y＝1.8×3x的图象可观察得出y＝1.8×3x增长的更快.1.底数与指数函数图象的关系记忆口诀：y轴右侧，底大图高下上由大变小2.解指数型不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的

求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的

求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.单调性单调性3.与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有

的定义域.(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有

的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有

的单调性.相同相同相反教材拓展补遗[微判断]1.y＝21－x是R上的增函数.(

)2.若0.1a>0.1b，则a>b.(

)

提示

因为0<0.1<1，∴y＝0.1x为减函数，∴由0.1a>0.1b得a<b.3.由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数.(

)

提示

函数y＝ax＋a－x是偶函数.×××答案

[1，＋∞)

[1，＋∞)2.若2x＋1<1，则x的取值范围是________.

解析

∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.

答案

(－∞，－1)答案<[微思考]1.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性取决于哪个量？

提示

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a>1时，y＝ax在定义域上是增函数，当0<a<1时，y＝ax在定义域上是减函数.2.如何判断形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性？

提示

(1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.题型一指数函数图象的辨识【例1】如图所示是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(

)

A.a<b<1<c<d

B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<c

解析在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c>d>1，b<a<1，所以b<a<1<d<c.

答案

B规律方法解决指数函数图象问题的注意点(1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状.(2)在y轴右侧，指数函数的图象底大图高.【训练1】已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(

)解析

由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.答案

C题型二指数型函数的值域问题定义域、(3)函数的定义域为R，又y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1，即函数的值域为(1，＋∞).规律方法指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同.(2)值域：①换元，t＝f(x).②求t＝f(x)的定义域为x∈D.③求t＝f(x)的值域为t∈M.④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.解

(1)由x－4≠0，得x≠4，(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，(4)由2x－4>0，得x>2，故函数的定义域为{x|x>2}，题型三指数函数单调性的应用方向1

比较两数的大小利用指数函数的单调性求解【例3－1】

(1)下列大小关系正确的是(

) A.0.43<30.4<π0

B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0

D.π0<30.4<0.43 (2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(

)

A.a<b<c

B.a<c<b C.b<a<c

D.b<c<a

解析

(1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B. (2)∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.

答案

(1)B

(2)C(a>0，且a≠1)，求x的取值范围.答案

{x|x≥0}a－5x>ax＋7方向3指数型函数的单调性【例3－3】求的单调区间，并求其值域.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴原函数的值域为(0，3].规律方法1.比较幂值大小的三种类型及处理方法2.解指数不等式的类型及应注意的问题(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为0<a<1和a>1两种情况分类讨论.(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解.3.函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0<a<1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反.恒成立，求实数k的取值范围.解

(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，故f(x)在R上为减函数.(3)∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)<f(k－2t2).由(2)知f(x)在R上单调递减，∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，规律方法解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.(1)解

由题意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).(2)解

由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，(3)证明

当x>0时，2x>1，∵x3>0，∴f(x)>0.由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立.故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.一、素养落地1.通过进一步深入理解指数函数的单调性及其应用提升逻辑推理素养，通过指数函数的性质研究指数函数的相关问题，培养数学运算及数学抽象素养.2.比较两个指数式值大小的主要方法 (1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性. (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn.3.解简单指数不等式问题的关键是利用指数函数的单调性转化为一般不等式，有时需要对底数进行讨论，有时需借助图象求解.二、素养训练1.已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为(

)

A.m>n

B.m<n

C.m＝n D.不能确定

解析

因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m<n.

答案

B答案

D解析定义域为R.∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，答案A4.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.

解析

原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.

答案

{x|x<1}5.比较下列各组值的大小： (1)1.8－0.1，1.8－0.2； (2)1.90.3，0.73.1； (3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1).

解

(1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2. (2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3<a2.5；

当0<a<1时，函数y＝ax是R上的减函数，又1.3<2.5，故a1.3>a2.5.(1)求实数a的值；(2)用f(x)在R上的定义证明函数

单调性②；联想解题看到①想到函数奇偶性的定义，可根据定义域关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝0解出a.看到②想到函数单调性的定义，利用定义通过作差判断符号