第十节函数的奇偶性

第十节函数的奇偶性第1页，课件共48页，创作于2023年2月考纲点击1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题.热点提示1.在高考中，重点考查利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题．有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题.2.多以解答题的形式出现，属中、高档题目.第2页，课件共48页，创作于2023年2月1.函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间上是常数函数．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0吗？f′(x)＞0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)＝0第3页，课件共48页，创作于2023年2月2.函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值

，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧

,右侧

,则a点叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值,若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值

，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧

，右侧

，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，

和

统称为极值．3.函数的最值与导数函数f(x)在[a，b]上有最值的条件,如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条

的曲线，那么它必有最大值和最小值．都小f′(x)＜0f′(x)＞0都大f′(x)＞0f′(x)＜0极大值极小值连续不断第4页，课件共48页，创作于2023年2月1.函数y＝x3的单调增区间是(

)A.(－∞，0)

B．(0，＋∞)C.(－∞，＋∞)D．(－∞，0)和(0，＋∞)【解析】∵y＝x3，∴y′＝3x2≥0且只有当x＝0时y′＝0，∴y＝x3的递增区间为(－∞，＋∞)．【答案】

C第5页，课件共48页，创作于2023年2月2.函数y＝xsinx＋cosx在下面哪个区间内是增函数(

)【答案】

C【解析】∵y＝xsinx＋cosx，∴y′＝(xsinx)′＋(cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，第6页，课件共48页，创作于2023年2月3.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(

)A.[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C.(－3，＋∞)D．(－∞，－3)【解析】∵f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．又∵在(1，＋∞)上－3x2＜－3，∴a≥－3.【答案】

B第7页，课件共48页，创作于2023年2月4.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．【解析】∵f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]，∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根．即Δ＝4a2－4a－8＞0，∴a＞2或a＜－1.【答案】

a＞2或a＜－1第8页，课件共48页，创作于2023年2月5.函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值为________．【解析】

f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0得x＝0，x＝2(舍)，比较f(1)，f(0)，f(－1)的大小知，f(x)max＝f(0)＝2.【答案】

2第9页，课件共48页，创作于2023年2月函数的单调性与导数

已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围．(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【思路点拨】第10页，课件共48页，创作于2023年2月【自主探究】(1)由已知f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只要a≤0.又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴f(x)＝x3在R上是增函数，∴a≤0.第11页，课件共48页，创作于2023年2月(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．∴a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．又∵－1＜x＜1，,∴3x2＜3，只需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)在x∈(－1,1)上，f′(x)＜0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．第12页，课件共48页，创作于2023年2月【方法点评】1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法,(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实根．(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．第13页，课件共48页，创作于2023年2月2.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．第14页，课件共48页，创作于2023年2月1.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．【解析】

(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex,＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，第15页，课件共48页，创作于2023年2月(2)∵函数f(x)在(－1,1)上单调递增，∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立．∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立．∵ex＞0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立，第16页，课件共48页，创作于2023年2月函数的极值与导数(2008年福建高考)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．【思路点拨】

(1)由f(x)过点(－1，－6)及g(x)图象关于y轴对称可求m，n.由f′(x)＞0及f′(x)＜0可求单调递增和递减区间．(2)先求出函数y＝f(x)的极值点，再根据极值点是否在区间(a－1，a＋1)内讨论．第17页，课件共48页，创作于2023年2月【自主探究】(1)由函数f(x)图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3①由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)图象关于y轴对称，所以m＝－3，代入①得n＝0.于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．由f′(x)＞0得x＞2或x＜0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；由f′(x)＜0得0＜x＜2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．第18页，课件共48页，创作于2023年2月

(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)．令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值,f(0)＝－2，无极小值；x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值第19页，课件共48页，创作于2023年2月当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得：当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1＜a＜3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．第20页，课件共48页，创作于2023年2月【方法点评】1.求函数f(x)极值的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)求方程f′(x)＝0的根．(4)检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点(最好通过列表法)．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值．2.可导函数极值存在的条件(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0,但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．第21页，课件共48页，创作于2023年2月2.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并求相应极值．

【解析】第22页，课件共48页，创作于2023年2月

(2)x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x(0，1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值第23页，课件共48页，创作于2023年2月函数的最值与导数(2008年浙江高考)已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．【思路点拨】

(1)由f′(1)＝3可求a值．求切线方程只需求斜率k及点(1，f(1))的坐标．(2)可先判断f(x)的单调性及极值，再与f(0)，f(2)比较，即可求出最大值．【自主探究】

(1)f′(x)＝3x2－2ax，∵f′(1)＝3－2a＝3，∴a＝0.,又∵当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，∴曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为,3x－y－2＝0.第24页，课件共48页，创作于2023年2月第25页，课件共48页，创作于2023年2月【方法点评】1.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2.(1)根据最值的定义，求在闭区间[a，b]上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f′(x)＝0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)值．(2)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．第26页，课件共48页，创作于2023年2月3.已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．若f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在

上的最大值和最小值．【解析】∵f′(x)＝3x2＋2ax＋1，又f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.第27页，课件共48页，创作于2023年2月第28页，课件共48页，创作于2023年2月优化问题(2008年江苏高考)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝20km，BC＝10km.为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.记排污管道的总长度为ykm.(1)设∠BAO＝θ，试将y表示为θ的函数；(2)确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．【思路点拨】通过分析可知,本题应注意充分利用图形中所提供的三角形及其边角关系．另外在第(2)问中要注意导数的应用，利用导数研究函数性质，从而求其最值．第29页，课件共48页，创作于2023年2月【自主探究】(1)如图，延长PO交AB于点Q.由题设可知第30页，课件共48页，创作于2023年2月第31页，课件共48页，创作于2023年2月【方法点评】生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．第32页，课件共48页，创作于2023年2月【解析】设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，4.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？(

)第33页，课件共48页，创作于2023年2月从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1.当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜

时，V′(x)＜0.故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2m，高为1.5m．答：当长方体的长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3.第34页，课件共48页，创作于2023年2月1.(2009年江苏高考)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．【解析】

f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x2－10x－11)＝3(x＋1)(x－11)＜0，解得－1＜x＜11，故减区间为(－1,11)．【答案】

(－1,11)第35页，课件共48页，创作于2023年2月2.(2009年辽宁高考)设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)，且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行．(1)求a的值，并讨论f(x)的单调性；(2)证明：当θ∈[0，]时，|f(cosθ)－f(sinθ)|＜2.【解析】

(1)f′(x)＝ex(ax2＋x＋1＋2ax＋1)．由条件知，f′(1)＝0，故a＋3＋2a＝0⇒a＝－1.于是f′(x)＝ex(－x2－x＋2)＝－ex(x＋2)(x－1)．第36页，课件共48页，创作于2023年2月故当x∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f′(x)＜0；当x∈(－2,1)时，f′(x)＞0.从而f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)内单调减少，在(－2,1)内单调增加．(2)由(1)知f(x)在[0,1]上单调增加，故f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)＝e，最小值为f(0)＝1，从而对任意x1，x2∈[0,1]，有|f(x1)－f(x2)|≤e－1＜2.而当θ∈[0，]时，，cosθ，sinθ∈[0,1]．从而|f(cosθ)－f(sinθ)|＜2.第37页，课件共48页，创作于2023年2月3.(2009年天津高考)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．【解析】

(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2.由a≠知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论．第38页，课件共48页，创作于2023年2月①若a＞

，则－2a＜a－2，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值第39页，课件共48页，创作于2023年2月②若a＜\f(2,3)，则－2a＞a－2，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值第40页，课件共48页，创作于2023年2月4.(2009年浙江高考)已知函数f(x)＝x3－(k2－k＋1)x2＋5x－2，g(x)＝k2x2＋kx＋1，其中k∈R.(1)设函数p(x)＝f(x)＋g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；(2)设函数q(x)＝

是否存在k,对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得q′(x2)＝q′(x1)成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【解析】

(1)p(x)＝f(x)＋g(x),＝x3＋(k－1)x2＋(k＋5)x－1，p′(x)＝3x2＋2(k－1)x＋(k＋5)．因为p(x)在(0,3)上不单调，所以p′(x)＝0在(0,3)上有实数解，且无重根．第41页，课件共48页，创作于2023年2月h(t)在(1,3]上单调递减，在[3,7)上单调递增．所以，h(t)∈[6,10)，于是(2x＋1)＋∈[6,10)，得k∈(－5，－2]．而当k＝－2时，p′(x)＝0在(0,3)上有两个相等的实根,x＝1，故舍去．所以k∈(－5，－2)．第42页，课件共48页，创作于2023年2月(2)由题意，得,当x＜0时，q′(x)＝f′(x)＝3x2－2(k2－k＋1)x＋5；当x＞0