简单弹塑性问题

简单弹塑性问题第1页，课件共50页，创作于2023年2月§5.1弹塑性边值问题的提法一、弹塑性全量理论边值问题i)在V内的平衡方程:ii)在V内几何关系（应变-位移关系）:iii)在V内全量本构关系:边界Su上给定位移，要求应力，应变，位移，它们满足设在物体V内给定体力，在应力边界ST上给定面力Ti，在位移以下方程和边条件：第2页，课件共50页，创作于2023年2月v)在上位移边界条件：二、弹塑性增量理论的边值问题i)在V内的平衡方程其中是外法线的单位向量；由此可见，弹塑性边值问题的全量理论提法同弹性边值问题的提法基本相同，不同仅在于引入了非线性的应力-应变关系（6-3）式。iv)在上的应力边界条件:ii)在V内的几何关系（应变位移的增量关系）：第3页，课件共50页，创作于2023年2月iii)在V内的增量本构关系：弹性区：塑性区：(a)对于理想塑性材料，屈服函数为，则第4页，课件共50页，创作于2023年2月弹性区：塑性区：（b）对于等向强化材料，后继屈服函数为，则第5页，课件共50页，创作于2023年2月iv）在ST

上的应力边界条件：v）在Su上的位移边界条件：vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面的法向为ni，则在上有：(a)法向位移连续条件(b)应力连续条件上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。第6页，课件共50页，创作于2023年2月§5.2

薄壁筒的拉扭联合变形考察薄壁圆筒承受拉力P和扭矩T联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐标，取z轴与筒轴重合。设壁厚为h，筒的内外平均半径为R，则筒内应力为：其余应力分量均为0。因此，不但应力状态是均匀的，而且每一种外载（拉、扭）只与一个应力分量有关，调整P和T之间的比值，即可得到应力分量间的不同比例。假设材料是不可压缩的（v=1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下无量纲量：在弹性阶段，无量纲化的Hooke定律给出第7页，课件共50页，创作于2023年2月进入塑性以后，Mises屈服条件：可化为：下面按增量理论和全量理论求解这个问题，比较两种结果的异同。对理想弹塑性材料，增量本构方程是Prandtl-Reuses关系，于是：无量纲化后得到：消去得：一、按增量理论求解第8页，课件共50页，创作于2023年2月由（6-18）式知故从（6-21）式中消去和，就有：同样地，如果已知某时刻的初始状态（应力状态和应变状态）及从该时刻起的变形路径则积分（6-22）或（6-23）式就可得到关系或关系。第9页，课件共50页，创作于2023年2月保持常数的阶段ab上，设在a点有由于在ab上例如对于实验中经常采用的阶梯变形路径（图6-1），考虑方程（6-22）变为：图6-1积分并利用a点的已知条件，得出：类似地，对于阶段bc

,第10页，课件共50页，创作于2023年2月二、按全量理论求解由于假设了材料不可压，由（5-63）式化后得应力-应变关系为将(6-26)式按(6-16)式无量纲在本问题中用分量写出来就是：，故第11页，课件共50页，创作于2023年2月在图6-2中，有三条不同的加载路径从原点O到达点C在弹性范围内，，屈服条件（6-18）在应变空间中写出就是。可见图中的阴影区域是弹性范围。路径①沿OBC。在B点有在BC段上有解出在C点类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得三、算例和比较（1）用增量理论求解OCABD①②③第12页，课件共50页，创作于2023年2月刚到达屈服，同时满足由此得出在D点时的应力为：不难证明沿

DC段皆有，即应力值不变，在C点也就仍为（2）用全量理论求解代入（6-27）式得出亦即C点的应变i）由于加载路径不同，虽然最终变形一样，但最终应力却不同；ii）只有在比例加载的条件下，增量理论和全量理论的结果才一致。由以上的结果可知：路径③是比例加载路径ODC，其上。在到达D点时，第13页，课件共50页，创作于2023年2月该问题可简化为平面应变问题，采用柱坐标(r,θ,z),则：在轴对称条件下：应力边界条件为:而筒两端的端面条件：§5.3受内压的厚壁圆筒这里P是端面的轴向拉力。一、研究对象和基本方程考虑一个内径为

a，外径为b的长圆柱厚壁筒在均匀内压

p作用下的弹塑性变形。上式中u为径向位移。几何关系平衡方程第14页，课件共50页，创作于2023年2月在弹性范围内，本构关系上Hooke定律:二、弹性解（6-119）至（6-123）式构成厚壁筒的弹性问题，其解为：第15页，课件共50页，创作于2023年2月其中现在讨论在什么条件下是中间主应力。由于可知若要是中间主应力，以下条件应成立：或即如果圆筒两端是自由的，则；如果圆筒两端是封闭的，则可见这两种情况都符合（6-126）条件，能保证是中间主应力。采用Tresca屈服条件。当r=a

时屈服：即屈服将首先发生在内壁，此时(6-126)(6-125)第16页，课件共50页，创作于2023年2月相应的内压即为厚壁筒的弹性极限压力

b）当弹性无限空间内的圆柱形孔洞受到内压作用时（例如对于有压隧洞），其内表面开始屈服时的压力值只与周围的材料的性质有关，而与孔洞的半径无关。说明：a)若在弹性范围内设计,对给定的a值,要提高筒所能承受的内压,就必须增加壁厚,但pe的值不可能超过。在设计高压圆筒（如炮管）时应采取其他措施（如下面将要介绍的经过局部塑性变形使之产生有利的残余应力，以及装配有预应力的套筒等）来加以增强。第17页，课件共50页，创作于2023年2月当时，筒的内壁首先屈服。当时，塑性区便由r=a逐渐向外扩张。设弹性区和塑性区的交界处r=c，下面分别对弹性区和塑性进行计算。（1）弹性区三、弹塑性解（理想塑性材料）得出应力分布为将内层塑性区对外层弹性区的压应力看作作用于内径为c外径为b的弹性圆筒上的内压力。利用弹性解的结果：在r=c处，材料刚达到屈服，对外层弹性筒来说，(6-127)中的应为。(6-124)中的应写成第18页，课件共50页，创作于2023年2月进而根据弹性区的本构方程求出（2）塑性区平衡方程为同时，仍假定为中间主应力，采用Tresca屈服条件：将（6-132）代入（6-131）式得积分一次，并利用边界条件定常数，则第19页，课件共50页，创作于2023年2月可见塑性区内的应力只与厚壁筒内表面的边界条件有关，而与弹性区的应力场无关。从而确定c

与p

的关系:（3）弹塑性边界的确定)应满足的连续条件，即根据弹塑性区交界处(第20页，课件共50页，创作于2023年2月将（6-134）式代回（6-133）式得出当c=b时，塑性区扩展到整个圆筒，对应的外载

p为厚壁筒的塑性极限压力:塑性极限压力却是无限的，即时在塑性极限状态下，周向应力的最大值发生在筒外壁，它恰等于可见，弹性极限压力是有限的，即时（4）塑性极限状态第21页，课件共50页，创作于2023年2月(5)塑性区内的位移和应力厚壁筒塑性区应力所在的屈服面是即这说明，在全部筒壁内即必是弹性的，且为常数。在塑性区内求和是静定问题，但是要求和，就必须用到本构关系。于是，相关连的流动法则给出范围内于是在下面用与Tresca屈服条件相关连的流动法则来解和第22页，课件共50页，创作于2023年2月现在端面条件（6-122）可以写成将（6-130）和（6-137）给出的和代入得到开口圆筒ii.封闭圆筒，iii.无穷长圆筒，即平面应变情形，此式与弹性解完全相同。这说明在完全卸去外载P

和p时，轴向残余应变必为零。于是于是于是之一。例如：，根据圆筒的端面条件，总可确定其中和（6-138）式中有三个参量：不难验证，当确是中间主应力。第23页，课件共50页，创作于2023年2月故有积分得出其中常数C1可由r=c处的位移连续条件定出为求位移时利用体积变化的弹性公式计算比较方便，即第24页，课件共50页，创作于2023年2月可见刚达到PS时，筒的变形相对筒本身的几何尺寸还是小的其中设厚壁筒内压力增加到后实行完全卸载，卸载应力可按弹性解计算，即四、卸载和残余应力例如，取则在筒内壁第25页，课件共50页，创作于2023年2月残余应力分布第26页，课件共50页，创作于2023年2月在上式中p*与c间的关系由（6-134）式确定，即上面计算残余应力的公式，只有在完全卸去载荷后，筒内处处都不在相反方向发生塑性变形时才有效。下面来计算保证完全卸载后不出现反号塑料性变形条件下的最大内压为了不发生反向屈服，要求其最大值在内壁处，等于于是，得到第27页，课件共50页，创作于2023年2月可见，对一个反复受内压作用的圆筒来说，当则完全卸载后不会在相反方向引起新的塑性变形。解出但卸载时会发生反向屈服，在反复加载（如炮筒反复承受发射炮弹时的高压）的条件下筒就会发生塑性循环（低周疲劳）破坏。因此，采用大于2.22的b/a值实际意义不大。这时可以把工作内压p提高到之上而筒仍处于约束塑性状态，另一方面，内压值

又不能大于塑料性极限压力ps。令：——安定状态第28页，课件共50页，创作于2023年2月假设材料不可压，即变形前后体积不变的条件可写成从而得出这说明，当计及几何尺寸改变时，由理想塑性材料制成的厚壁筒承受内压的塑性极限状态是不稳定的。五、几何变形对承载能力的影响当筒壁很厚时，径向位移可能很大，以致不能忽略几何尺寸的影响。设变形后的内、外半径分别为，相应的塑性极限压力为可见在内压作用下，单调增长时，是减小的。第29页，课件共50页，创作于2023年2月实验观察证实，在塑性状态下仍可采取材料力学和弹性力学中关于扭转的假定，即柱体在弹塑性自由扭转状态下，截面只在自身平面内转动，但可以发生轴向自由翘曲。§5.4柱体的弹塑性自由扭转考虑任意截面形状的长柱体，在扭转力矩T作用下的自由扭转问题。以表示柱体单位长度的扭转角，则小变形时的位移分量为从小应变下的Cauchy公式得出应变为：一、研究范围和基本方程其中是截面的翘曲函数假定截面是单连通的，取柱体的轴线为

z

轴。第30页，课件共50页，创作于2023年2月此式与材料的本构关系无关，不论是弹性还是塑性时都成立。在进入塑性之后，恒有按照增量本构关系，从刚进入塑性开始，可以推知进而在变形的一切阶段均有在弹性时按Hooke定律求得：第31页，课件共50页，创作于2023年2月即在塑性阶段不为零的应力分量仍只有其中为合剪应力。可见，在扭转时柱体各点的应力状态始终是纯剪切，这是一个简单加载过程。且主应力为：第32页，课件共50页，创作于2023年2月二、弹性扭转和薄膜比拟或由（6-86）式得到的应力分量表示的协调方程同时，只有一个平衡方程从（6-85）式中消去翘曲函数，得协调方程因此，可以引进弹性应力函数，使有则平衡方程自动满足，而协调方程（6-90）化为第33页，课件共50页，创作于2023年2月在弹性力学中，研究了和Poisson方程（6-93）并导致以下结论)合剪应力大小：iii）柱体截面的周界也是

=const曲线族之一，对单连通截面可令周界上iv）扭矩T与的关系可按St.Venant条件求得：ii）合剪应力的方向沿=const曲线的切向，也就是与的梯度方向相垂直。其中A为柱体的一个截面。v）Prandtl薄膜比拟：将薄膜张于与柱体截面边界形状相同的边框上，加均匀压力，则与薄膜的高度成正比，的大小与薄膜的斜率成正比，扭矩T与薄膜曲面下的体积成正比。第34页，课件共50页，创作于2023年2月达到，就算达到了弹性极限状态，相应的截面上有一点的扭矩为弹性极限扭矩。以半径为

a

的圆柱体为例，带入方程（6-93）得于是在截面边缘上最大令处导出在塑性阶段，平衡方程（6-91）不变，并仍可由引入应力函数来满足，此时三、全塑性扭转和沙堆比拟当材料进入塑性时，因此，按弹性考虑，只要第35页，课件共50页，创作于2023年2月这样，只从平衡方程、屈服条件和应力边条件就能够求出理想塑性体内的应力分布。这种情况叫做塑性力学中的静定问题。则或即对于理想塑性材料，是常数，（6-99）式说明在截面上保持斜率不变。由此，Nadai提出下述沙堆比拟：将一个水平的底面做成截面的形状，在其上堆放干沙，由于沙堆的静止摩擦角为常数，则沙将形成一个斜率为常数的表面。因此，这表面可用来代表塑性应力函数，只相差一个可由屈服应力和沙堆摩擦角决定的比例因子。就是截面的塑性极限扭矩。这时，我们不用（也不再有）应力协调方程，而代之以屈服条件

第36页，课件共50页，创作于2023年2月仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时，，按（6-100）式求出高度就应为表面必然是一个圆锥，既然斜率是与（6-96）式相比可知对圆柱体沙堆比拟的思想，不仅可直接应用于实验，也可用来指导计算三角形、矩形、任意正多角形等规则截面的柱体的塑性极限扭矩，因为这只需计算某些等斜“屋顶”下的体积。第37页，课件共50页，创作于2023年2月剪应力方向平行于边界，大小为。同时我们也看到，一般来说，在截面内部，沙堆会出现尖顶和棱线，在这些点和线的两侧剪应力不连续。从沙堆比拟中看出，沙堆的梯度垂直于边界，等线平行于边界，每点的合它们是弹性区域收缩时的极限。当弹性区域收缩时，从不同方向扩展过来的两个塑性区域相遇，因此会造成剪应力间断。如果截面边界上有凸角（如三角形截面和矩形截面的顶点），从弹性力学知道，在凸角处剪应力等于零，因而尽管T增大，这里始终处于弹性阶段。所以，作为弹性区域收缩极限的剪应力间断线必定通过这样的凸角。反之，如果截面边界上有凹角，从弹性力学知道，这里剪应力无限大，因而一开始就进入塑性阶段，棱线就一定不经过这里。第38页，课件共50页，创作于2023年2月四、弹塑性扭转和薄膜-玻璃盖比拟当时，柱体的截面上会存在一部分弹性区、一部分塑性区，的模为常数）。因此，提出的数学问题如下：（这是由于应力分量在上应该连续）。的性质（满足Poisson方程）和的性质（梯度其上应力函数分别具有，在弹性区内满足方程（6-93），在塑性区内满足（6-99），寻求应力函数，在弹塑性区域交界线在截面边界上都要连续Nadai指出，弹塑性交界线可以联合应用薄膜比拟和沙堆比拟来求解。在一块水平平板上，挖一个具有截面形状的孔，复盖以薄膜。在薄膜的上面，放上一个按沙堆比拟形状作成的等倾玻璃盖。a)如若压力较小时，薄膜的变形不受“屋盖”的影响，这是弹性扭转的情况。b)随着压力的增加，薄膜逐渐贴到屋盖上，贴附的区域就是塑性区域。此时，在贴附区域以外的自由薄膜仍满足Poisson方程，所以仍是弹性区。由此可以确定弹塑性交界线的形状。第39页，课件共50页，创作于2023年2月在圆截面情形，由于对称性，可设的一个圆。在弹性区：有右图显示了矩形截面柱体在弹塑性扭转是线的变化，其中黄线以外是塑性区域。从实验中可以看出，对一般截面的柱体，线的变化是非常复杂的。在分析计算时通常只能采用数值计算方法一步一步地将近似求出。c)最后薄膜将全部贴附在玻璃盖上，弹性区域退化为棱线。第40页，课件共50页，创作于2023年2月在塑性区：由处的剪应力连续，要求由此定出弹塑性交界线的半径为则对有第41页，课件共50页，创作于2023年2月弹塑性边界随扭矩变化的规律：或即弹塑性扭转后的卸载也相当于在反方向作用一个等值的弹性扭矩。仍以圆柱体扭转为例，加载时的扭转角可由（6-107）式求出为而卸载时的回弹角是因此，单位长度的残余扭转角为也可写出回弹比与所加扭矩的关系为五、卸载、回弹和残余应力第42页，课件共50页，创作于2023年2月其中卸载后的残余应力分布可计算出为:其分布下图所示。T加载卸载残余应力第43页，课件共50页，创作于2023年2月§5.5旋转圆盘——等厚度的薄圆盘考虑转盘从弹性状态开始由于转速增加而开始屈服的过程。转盘的单位，其中为转盘材料的质量密度，为角速度，体积力（离心力）为r为微元的径向坐标；则平衡方程为我们在这里只讨论理想弹塑料性材料的旋转圆的解。一、研究对象二、弹性解由于圆盘很薄，在整个厚度上可取，因此可作为平面应力问题。或设其半径为b，厚度为h，并以均匀角速度绕中心轴旋转。第44页，课件共50页，创作于2023年2月引入应力函数则应力分量满足从柱坐标下的几何关系中消去得变形协调方程在弹性范围内，以Hooke定律和代入得到其解为第45页，课件共50页，创作于2023年2月代回（6-160）式得出应力为其中积分常数应由具体问题的边界条件确定。对于实心圆盘，因处应力为有限值，故