第五节松弛法

第五节松弛法第1页，课件共14页，创作于2023年2月§5RelaxationMethods第2页，课件共14页，创作于2023年2月§5RelaxationMethods第3页，课件共14页，创作于2023年2月Gauss-SeidelIterativeMethod…………写成矩阵形式：BGauss-Seidel

迭代阵§5RelaxationMethods第4页，课件共14页，创作于2023年2月Gauss-Seidel…………第5页，课件共14页，创作于2023年2月§5RelaxationMethods第6页，课件共14页，创作于2023年2月§5RelaxationMethods第7页，课件共14页，创作于2023年2月定理设A

可逆，且aii0，松弛法从任意出发对某个收敛

(L)<1。§5RelaxationMethods第8页，课件共14页，创作于2023年2月§5RelaxationMethods定理

（Kahan必要条件）设A

可逆，且aii0，松弛法从任意出发收敛0<<2

。证明：，而且收敛|i|<1总成立已知收敛|det(L)|<1|det(L)|=|1|n<10<<2

第9页，课件共14页，创作于2023年2月§5RelaxationMethods定理

（Ostrowski-Reich充分条件）若A对称正定，且有0<<2，则松弛法从任意出发收敛。（证明以后给出）Q:Whatfactordeterminesthespeedofconvergence?A:

Thesmaller

(B)is,thefastertheiterationswillconverge.对于SOR法，希望找使得(L)

最小。第10页，课件共14页，创作于2023年2月§5RelaxationMethods定理若A

为对称正定三对角阵，则且SOR的最佳松弛因子

/*optimalchoiceofforSORmethod*/为，此时。例：，考虑迭代格式问：取何值可使迭代收敛？

取何值时迭代收敛最快？解：考察B=I+A

的特征根1=1+,2=1+3

收敛要求

(B)<1-2/3<<0

(B)=

max{|1+

|,|1+3

|}

当取何值时最小？-2/3-1/30=-1/2第11页，课件共14页，创作于2023年2月§5RelaxationMethodsLab08.SORMethod UsetheSORmethodtosolveagivenn×nlinearsystemwithaninitialapproximationandasetof’s.Input Thereareseveralsetsofinputs.Foreachset: The1stlinecontainsaninteger100

n

0whichisthesizeofamatrix.n=1signalstheendoffile. Thefollowingnlinescontaintheaugmentedmatrixinthefollowingformat:Thenumbersareseparatedbyspacesandnewlines.ThenextlinecontainsarealnumberTOL,whichisthetolerancefor||·||norm,andanintegerN

0whichisthemaximumnumberofiterations.Thelastlineofeachtestcasecontainsanintegerm>0,followedbymreal’s.第12页，课件共14页，创作于2023年2月§5RelaxationMethodsOutput(representsaspace)Foreach,theremustbeasetofoutputsinthefollowingformat:

The1stlinecontainsanandthecorrespondingnumberofiterationstaken.IntheCprintf:fprintf(outfile,"%4.2f%d\n",omega,iter_no);Thecorrespondingsolutionorerrormessagesaretobeprintedasthefollowing:

EachentryofthesolutionistobeprintedasintheCfprintf:fprintf(outfile,"%12.8f\n",x);

IfthematrixAhasazerocolumn,printthemessage“Matrixhasazerocolumn.Nouniquesolutionexists.\n”.

IfthemethodfailstogiveasolutionafterNiterations,printthemessage“Maximumnumberofiterationsexceeded.\n”.

Ifthereisanentryofthatisoutoftherange[2127,2127],printthemessage“Noconvergence.\n”.Theoutputsoftwotestcasesmustbeseperatedbyablankline.注意：检查每个aii时，先向下找最大元，若非0则交换到对角线上；否则向上找最大元，若非0则将该行加到第i行上。第13页，课件共14页，创作于2023年2月§5RelaxationMethodsSampleInput(representsaspace)34–101–14–140–14–30.000001100021.051.2310–109–110–270–41060.000000001100011–1

SampleOutput(represen