线性代数行列式按行或列展开

线性代数行列式按行或列展开第1页，课件共30页，创作于2023年2月行列式的性质共8条(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).目前我们学习的计算行列式常用方法：

(1)利用行列式的定义;(2)利用性质、利用运算rikrj

(或者cikcj)把行列式等价地转化为三角形行列式，从而得行列式的值．知识点复习第2页，课件共30页，创作于2023年2月数k乘行列式等于数k乘此行列式的某一行(列)

行列式D与它的转置行列式DT相等

某一行(列)的公因子可提到行列式符号的外面

互换行列式的两行(列)

行列式变号

行列式有两行(列)完全相同则此行列式等于零

行列式中有两行(列)元素成比例则行列式等于零.若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和则行列式等于两个行列式之和

把行列式的某一行(列)的倍数，加到另一行(列)对应的元素上去行列式不变行列式8个性质知识点复习第3页，课件共30页，创作于2023年2月三阶行列式的结构再思考1第4页，课件共30页，创作于2023年2月方法分析

将行列式化为三角形是计算行列式的基本方法，我们感到低阶行列式更容易计算．自然地想到能否用低阶的行列式去表示高阶行列式．第5页，课件共30页，创作于2023年2月§1.4行列式按行(列)展开一、行列式的展开定理二、用降阶法计算行列式第6页，课件共30页，创作于2023年2月§1.4行列式按行(列)展开一、行列式的展开定理1、什么是行列式的余子式及代数余子式？第7页，课件共30页，创作于2023年2月注1:

行列式的每个元素分别对应着一个余子式与一个代数余子式.注2:

行列式的某个元素的余子式与代数余子式,只与该元素的位置有关,与该元素的大小无关.注3:余子式和代数余子式都是一个行列式。再例§1.4行列式按行(列)展开第8页，课件共30页，创作于2023年2月三阶行列式的结构再思考2§1.4行列式按行(列)展开第9页，课件共30页，创作于2023年2月三阶行列式的结构再思考2§1.4行列式按行(列)展开第10页，课件共30页，创作于2023年2月引理一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都为零，则该行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积，即§1.4行列式按行(列)展开第11页，课件共30页，创作于2023年2月定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

展开定理说明：

n阶行列式可表示为n个特殊的n-1阶行列式的代数和的形式；反过来，这种代数和的形式也可理解为一个n阶行列式。或§1.4行列式按行(列)展开第12页，课件共30页，创作于2023年2月证明：设定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即或§1.4行列式按行(列)展开①式②式第13页，课件共30页，创作于2023年2月①式证毕，同理可证②式第14页，课件共30页，创作于2023年2月推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即或§1.4行列式按行(列)展开或证明见后。第15页，课件共30页，创作于2023年2月推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或§1.4行列式按行(列)展开证明将行列式中第j行的元素换成第i行的元素，则得到一个有两行相同的行列式D1，且D1=0，再将D1按j行展开得

.同理，可证D1按列展开的情形.第16页，课件共30页，创作于2023年2月关于代数余子式的重要性质:其中§1.4行列式按行(列)展开德尔塔第17页，课件共30页，创作于2023年2月注：按行（列）展开计算行列式的方法称为降阶法.例1

试按第三列展开计算行列式解：将D按第三列展开，则有

其中第18页，课件共30页，创作于2023年2月§1.4行列式按行(列)展开二、用降阶法计算行列式

直接应用行(列)展开法计算行列式，计算工作量较大，尤其是高阶行列式，因此，计算行列式时，可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素，再按此行(列)展开，变为低一阶的行列式，如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.第19页，课件共30页，创作于2023年2月例2计算行列式

§1.4行列式按行(列)展开解：

第20页，课件共30页，创作于2023年2月例3计算行列式

§1.4行列式按行(列)展开解：

第21页，课件共30页，创作于2023年2月例4求证

§1.4行列式按行(列)展开第22页，课件共30页，创作于2023年2月证：n阶第23页，课件共30页，创作于2023年2月n-1阶第24页，课件共30页，创作于2023年2月证毕。

n-1阶第25页，课件共30页，创作于2023年2月

分析例5证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

一共有多少乘积项?所有后项减前项的乘积。§1.4行列式按行(列)展开第26页，课件共30页，创作于2023年2月

证用数学归纳法例5证明范德蒙德(Vandermond