2022年上海北职业高级中学高二数学文联考试卷含解析

2022年上海北职业高级中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线y2=x的焦点作倾斜角为30°的直线与抛物线交于P、Q两点，则|PQ|=（） A． B．2 C．3 D．1参考答案：B【考点】抛物线的简单性质． 【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得抛物线的焦点，设出P，Q的坐标，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p，求出直线PQ的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理，计算即可得到所求值． 【解答】解：y2=x的焦点为（，0）， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=x1+x2+， 由直线PQ：y=（x﹣）代入抛物线的方程可得， x2﹣x+=0，即有x1+x2=， 则|AB|=+=2． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的弦长的求法，注意运用联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，同时注意抛物线的定义的运用：求弦长，属于中档题． 2.若不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|－<x<}，则a+b的值为(

)A.－10

B.－14

C.10

D.14参考答案：B略3.若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】三角形的形状判断．

【专题】计算题．【分析】根据三角形为钝角三角形，得到三角形的最大角的余弦值也为负值，分别设出3和x所对的角为α和β，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为α和β都为钝角，得到其值小于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围．【解答】解：由题意，，∴x的取值范围是，故选D．【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题．学生在做题时应注意钝角三角形这个条件．4.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF内任取一点P，则点P到正六边形六个顶点的距离都大于1的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出正六边形的面积，再求出到正六边形一个顶点的距离小于等于的图形面积，利用面积比即可求出结果.【详解】因为正六边形的边长为2，所以其面积为；又到正六边形顶点的距离小于等于1的图像面积为，所以点到正六边形六个顶点的距离都大于的概率为.故选A.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.5.若，则的值为（

）A-

B

1

C

D

参考答案：B6.已知双曲线在左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是（）A．16 B．18 C．21 D．26参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得，利用双曲线的定义可求得|AF2|﹣|AF1|=2a=8，|BF2|﹣|BF1|=2a=8，从而可求得△ABF2的周长．【解答】解：依题意，|AF2|﹣|AF1|=2a=8，|BF2|﹣|BF1|=2a=8，∴（|AF2|﹣|AF1|）+（|BF2|﹣|BF1|）=16，又|AB|=5，∴（|AF2|+|BF2|）=16+（|AF1|+|BF1|）=16+|AB|=16+5=21．∴|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26．即△ABF2的周长是26．故选：D．7.设，则直线与圆的位置关系为（

）A.相切

B.相离

C.相交

D.相切或相离参考答案：D略8.如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(

)

A．480

B．600

C．720

D．840

参考答案：C略9.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数参考答案：D【考点】FC：反证法．【分析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．即可得出．【解答】解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：D．10.若a＞1，则a＋的最小值是

A．0

B．2

C.

D．3参考答案：D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有

．参考答案：14412.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，离心率为.过点的直线交椭圆于、两点，且的周长为16，那么椭圆的方程为________.参考答案：略13.函数的定义域为________.参考答案：略14.设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是_________．参考答案：

1略15.如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等于

参考答案：略16.设函数观察：，，，，……根据以上事实，由归纳推理可得：当=

；参考答案：17.设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．参考答案：[﹣3，3]【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Zmax=3，Zmin=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C的极坐标方程为（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；（2）若是曲线C上的一个动点，求的最大值.参考答案：（1）(2)5【分析】（1）利用极坐标化直角坐标的公式求解即可；（2）设,利用三角函数图像和性质解答得解.【详解】（1）由题得，所以.所以曲线的直角坐标方程为.（2）设,所以，其中在第一象限，且.所以x+2y最大值为5.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化，考查三角函数的恒等变换和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数在上是增函数．⑴求实数的取值范围；⑵当为中最小值时，定义数列满足：，且，用数学归纳法证明，并判断与的大小．参考答案：解：⑴即在恒成立，

；

⑵用数学归纳法证明：．（ⅰ）时，由题设；（ⅱ）假设时，则当时，由⑴知：在上是增函数，又，所以，综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意，．

因为，所以，即．略20.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．参考答案：【考点】F9：分析法和综合法；F1：归纳推理．【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣，化简可得结果．【解答】解：选择（2），计算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故这个常数为．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．【点评】本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．21.椭圆+的离心率为且经过点其中F1，F2为椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）从椭圆的第一象限部分上一点P向圆引切线PA，PB，切点分别为A，B，三角形的面积等于，求直线AB的方程.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆的离心率，求得，把点代入椭圆方程得，联立方程组，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）由（1）和题设条件，求得点的坐标以为圆心，为半径作圆的方程，从而得到为圆与圆的公共弦，即可求解公共弦的方程．【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，故，①把点代入椭圆方程可得是，②由①②联立可得，，故椭圆方程为.（2）由（1），椭圆的方程，可得设其中，因为∵点在椭圆的第一象限且三角形的面积等于，即，解得又由，即，解得，∴点的坐标为.则点到原点的距离为由圆的切线长公式可得以为圆心，为半径作圆的圆的方程为，又由线段为圆与圆的公共弦，两圆方程相减可得直线的方程为.【点睛】本题主要考查了求解椭圆的标准方程，以及两圆的位置关系的应用，其中解答熟记椭圆的几何性质，以及合理应用两圆的位置关系是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．22.如图，在四棱锥