辽宁省大连市第一零二中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析

辽宁省大连市第一零二中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个结论：①设为向量，若，则恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个参考答案：A【考点】复合命题的真假．【分析】由向量的运算性质判断出夹角是90°即可判断①正确；由命题的逆否命题，先将条件、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③．【解答】解：对于①设为向量，若cos＜，＞，从而cos＜，＞=1，即和的夹角是90°，则恒成立，则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”而不是逆命题，则②错；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；故选：A．【点评】本题考查了向量问题，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．2.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象A.关于点对称 B.关于直线对称C.关于点对称 D.关于直线对称参考答案：B3.的三个内角所对的边分别为，给出下列三个叙述：①②③以上三个叙述中能作为“是等边三角形”的充分必要条件的个数为（

）A.0个

B.1个

C.2个

D.3个参考答案：C略4.已知，满足约束条件且，当取得最大值时，直线被圆截得的弦长为（

）A．10 B． C． D．参考答案：B试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即，所以．因为圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长，所以当时，取得最大值，故选B．考点：1、简单的线性规划问题；2、直线与圆的位置关系．5.已知函数f（x）=xlnx﹣aex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B．（0，e） C． D．（﹣∞，e）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，问题转化为y=a和g（x）=在（0，+∞）2个交点，根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出a的范围即可．【解答】解：f′（x）=lnx﹣aex+1，若函数f（x）=xlnx﹣aex有两个极值点，则y=a和g（x）=在（0，+∞）有2个交点，g′（x）=，（x＞0），令h（x）=﹣lnx﹣1，则h′（x）=﹣﹣＜0，h（x）在（0，+∞）递减，而h（1）=0，故x∈（0，1）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）max=g（1）=，而x→0时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0，若y=a和g（x）在（0，+∞）有2个交点，只需0＜a＜，故选：A．6.已知函数①，②，则下列结论正确的是（

）（A）两个函数的图象均关于点成中心对称（B）两个函数的图象均关于直线成轴对称（C）两个函数在区间上都是单调递增函数（D）两个函数的最小正周期相同

参考答案：C略7.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2013=2S2014+6，3a2014=2S2015+6，则数列{an}的公比q等于（） A． B． ﹣或1 C． 或1 D． 2参考答案：考点： 等比数列的前n项和．专题： 等差数列与等比数列．分析： 已知两式相减结合等比数列的通项公式和求和公式可得q的方程，解方程可得．解答： 解：由题意可知a2013=2S2014+6，①，3a2014=2S2015+6，②②﹣①可得3a2014﹣a2013=2S2015﹣2S2014=2a2015，∴3a2013q﹣a2013=2a2013q2，∴2q2﹣3q+1=0，解得q=1或q=故选：C点评： 本题考查等比数列的求和公式，涉及通项公式和一元二次方程，属基础题．8.若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.9．节日家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C10.函数是A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x，y满足约束条件，则的最大值是_____．参考答案：11【分析】画出可行域，平移直线得最大值即可【详解】画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：当直线平移过A时，z最大，联立得A（1,5）故z的最大值为1+2×5=11故答案为11【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，准确计算是关键，是基础题12.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．参考答案：【考点】8G：等比数列的性质；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：13.如果函数的导函数的图像如下，给出下列判断：（1）函数在区间（-4，-1）内单调递增；

y（2）函数在区间（-1，3）内单调递减；（3）函数在区间（4，5）内单调递增；

-4

-1

2

3

4

5

x（4）当时，函数有极小值。其中正确的判断是

（把正确判断的序号都写上）.

参考答案：14.已知向量（3，1），（1，3），（，7），若∥，则

。参考答案：5由已知，（1，3），

因为∥，所以，解得。15.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为

．参考答案：

16.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。若，请你根据这一发现，求解下列问题：（1）函数的对称中心为

;（2）计算：

．参考答案：【知识点】函数的值；函数的零点；导数的运算．B1B9B11（1）

（2）2012

解析：（1）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴f′（x）=x2﹣x+3，f''（x）=2x﹣1，令f''（x）=2x﹣1=0，得x=，∵f（）=+3×=1，∴f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为，（2）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为，∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012．故答案为：，2012．【思路点拨】（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数的对称中心．（2）由的对称中心为，知f（x）+f（1﹣x）=2，由此能够求出．17.已知，若，则参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.（I）求证：；（II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由；（III）当二面角的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值.参考答案：19.已知函数.（1）求的解集M；（2）证明：当a，b∈M时，．参考答案：解：（1）当时，由得

解得；当时，；当时，由得

解得.所以的解集.（2）由（1）知，当时，，从而，可得，

所以.20.（12分）已知函数f（x）=x2ln|x|．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性．专题： 导数的综合应用．分析： （1）先看当x＞0时，根据导函数f'（x）大于0或小于0时的f（x）的单调区间，再根据函数的奇偶性判断求得其它的单调区间．（2）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点，先看当k＞0时，用导函数求出当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值，再根据对称性求出k＜0时直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值，进而求出f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}当x＞0时，f′（x）=x（2lnx+1）若0＜x＜，则f'（x）＜0，f（x）递减；若x＞，则f'（x）＞0，f（x）递增．递增区间是（﹣，0）和（，+∞）；递减区间是（﹣∞，﹣）和（0，）．（2）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点．函数f（x）的图象如图．先求当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值．当k＞0时，f'（x）=x?（2lnx+1）设切点为P（a，f（a）），则切线方程为y﹣f（a）=f'（a）（x﹣a），将x=0，y=﹣1代入，得﹣1﹣f（a）=f'（a）（﹣a）即a2lna+a2﹣1=0（*）显然，a=1满足（*）而当0＜a＜1时，a2lna+a2﹣1＜0，当a＞1时，a2lna+a2﹣1＞0∴（*）有唯一解a=1此时k=f'（1）=1再由对称性，k=﹣1时，y=kx﹣1也与f（x）的图象相切，∴若方程f（x）=kx﹣1有实数解，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．点评： 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．在解决函数的单调性问题时，常利用导函数的性质．21.某厂生产当地一种特产，并以适当的批发价卖给销售商甲，甲再以自己确定的零售价出售，已知该特产的销售（万件）与甲所确定的零售价成一次函数关系’当零售价为80元/件时，销售为7万件；当零售价为50元/件时，销售为10万件，后来，厂家充分听取了甲的意见，决定对批发价改革，将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分，其中固定批发价为30元/件，弹性批发价与该特产的销售量成反比，当销售为10万件，弹性批发价为1元/件，假设不计其它成本，据此回答下列问题（1）当甲将每件产品的零售价确定为100元/件时，他获得的总利润为多少万元？（2）当甲将每件产品的零售价确定为多少时，每件产品的利润最大？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）设该特产的销售量y（万件），零售价为x（元/件），且y=kx+b，由题意求得k，b，设弹性批发价t与该特产的销售量y成反比，求得t，b的关系式，设总利润为z（万元），求得z的关系式，再令x=100，即可得到所求总利润；（2）由（1）可得每件的利润为m=x﹣30﹣（x＜150），运用基本不等式即可得到所求最大值及对应的x值．【解答】解：（1）设该特产的销售量y（万件），零售价为x（元/件），且y=kx+b，由题意可得7=80k+b，10=50k+b，解得k=﹣，b=15，可得y=15﹣x，设弹性批发价t与该特产的销售量y成反比，当销售为10万件，弹性批发价为1元/件，即有t=，设总利润为z（万元），则z=（15﹣x）（x﹣30﹣）=（15﹣0.1x）（x﹣30﹣），令x=100时，则z=（15﹣10）×（100﹣30﹣）=340，即有他获得的总利润为340万元；（2）由（1）可得每件的利润为m=x﹣30﹣（x＜150）=x﹣﹣30=x﹣150++