青岛版七年级数学3.1有理数加减法

有理数加减法南关小学杨慎坤3.1.1有理数的加法

1.一个物体做东西方向的运动.我们规定向西为负，向东为正，向东运动5m记作5m，向西运动5m记作-5m。①如果物体先向东运动5m,再向东运动3m，结果怎样？(+5)+(+3)=+8正数相加还是正数。(-5)+(-3)②如果物体先向西运动5m,再向西运动3m，结果怎样？=-8①如果物体先向东运动5m,再向东运动3m，结果怎样？(+5)+(+3)=+8正数相加还是正数。负数相加还是负数。动笔练一练=-（3+9）=-12=-（13+8）=-21=+（6+11）=17(1)6+11(2)(-3)+(-9)(3)(-13)+(-8)练习1：发现规律（＋5）＋（＋3）＝（＋8）（－5）＋（－3）＝（－8）同号两数相加,符号不变,只把绝对值相加。③如果物体先向东运动5m,再向西运动3m，结果怎样？④如果物体先向西运动5m,再向东运动3m，结果怎样？(+5)+(-3)(-5)+(+3)=+2=-2发现规律（＋5）＋（－3）＝（＋2）（－5）＋（＋3）＝（－2）异号两数相加,谁的绝对值较大取谁的符号,并用大绝对值减小绝对值。练一练练习2：(1)(-3)+9(4)(-4.7)+3.9=+（9-3）=6=-(4.7-3.9)=-0.8(2)10+(-6)(3)+(-

)=+(10-6)=42132=-(-)=-322161特殊情况(+5)+(-5)⑤如果物体先向东运动5m,再向西运动5m，结果怎样？(-5)+0⑥如果物体第一秒向西运动5m,第二秒原地不动，结果怎样？相反数的和是0。一个数加0,得原数。=0=-5练一练练习3：(1)-79+79(2)12+(-12)=0=0(3)5+0(4)(-3)+0=5=-3>>有理数的加法法则1.同号两数相加,符号不变,只把绝对值相加。2.异号两数相加,谁的绝对值较大取谁的符号,并用大绝对值减小绝对值。3.相反数的和是0.一个数加0,还得原数。巩固练习1.请在下列的内填入正确的符号或数字(1)(+5)+(+7)=+(+)=+(2)(-10)+(-3)=(103)=-(3)(+6)+(-5)=(65)=(4)0+=(5)(-2.3)+(+2.3)=

5712-+13+-10练一练练习2：(1)(-3)+9(4)(-4.7)+3.9=+（9-3）=6=-(4.7-3.9)=-0.8(2)10+(-6)(3)+(-

)=+(10-6)=42132=-(-)=-322161综合练习1.(1)(-3)+(-39)(7)42.7+(-23.5)=-（3+39）=-42=+(42.7-23.5)=19.2(2)-10+6(6)+(-

)=-(10-6)=-43152=-(-)=-5231151(3)15+(-3)=+(15-3)=12(4)+15+(+3)=15+3=18(5)-1.5+(-0.3)=-(1.5+0.3)=-1.8综合练习2.(1)14+(-39)(7)-42.7+(-23.5)=-（39-14）=-25=+(42.7+23.5)=-66.2(2)5+（-6)(6)4+(-1)=-(6-5)=-14152=+(4-1

)=2

2052082017(3)15+(-15)=0(4)+15+0=15(5)0+(-0.3)=-0.3)

综合练习

（3）（2）（3）

（4）（5）（6）3.1.2加法运算律加法运算律有哪些？加法交换律加法结合律

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。计算并观察（1）（-20）+30（2）30+（-20）（3）（-2.37）+（-4.63）（4）（-4.63）+（-2.37）=10=10=-7=-7

加法交换律对所有有理数同样适用。a+b=b+a计算并观察（1）[8+(－5)]+(－4)（2）8+[(－5)+(－4)]（3）[(－7)+(－10)]+(－11)（4）(－7)+[(－10)+(－11)]=-1=-1=-28=-28(a+b)+c=a+(b+c)

加法结合律对所有有理数同样适用。做下面的练习，并思考你是如何使计算简化的？（1）计算：16+（－25）+24+（－35）解：原式=

16+24+（－25）+（－35）=（16+24）+[（－25）+（－35）]=

40+（－60）=－20（2）计算：(-2.48)+4.33+(-7.52)+(－4.33)解：原式=[(-2.48)+(-7.52)]+[(+4.33)+(-4.33)]=(-10)+0=-10（3）计算：加法运算律的作用归纳

几个数连加，根据加法运算律，无论怎样改变运算次序，结果不变。计算中常用的简便方法1.先把正数或负数分别相加。2.先把相反数相加，能凑整的先凑整。3.先把分母相同的数相加。应用举例计算：（1）(-2)+4+(-7)+(－4)（2）+125+(-214)+(-7.52)+(－125)=-2+(-7)+[－4+4]=-9+0=-9=[+125+(－125)]+[-214+(-7.52)]=-(1.5+0.3)=-1.84152（3）+1.25+(-2)+7.75+(－125)=[+1.25+7.75]+[-125+(-2.25)]=9+（-127.25）=-118.25[例4]

计算:（1）（2）（3）（4）（5）（6）－>>小结1.有理数的加法法则1.同号两数相加,符号不变,只把绝对值相加。2.异号两数相加,谁的绝对值较大取谁的符号,并用大绝对值减小绝对值。3.相反数的和是0.一个数加0,还得原数。2.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a+b=b+a

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变。

(a+b)+c=a+(b+c)常用的三个简便方法：1.先把正数或负数分别相加。2.先把相反数相加，能凑整的先凑整。3.先把分母相同的数相加。2.有理数的加法运算律巩固练习2.

10袋小麦称后记录如下表：（1）10袋小麦一共重多少千克？（2）如果每袋小麦以90千克为标准，如何计算？（3)如果每袋小麦以90千克为标准,总计超过多少千克?袋数12345678910重量919191.58991.291.388.788.891.891.1解法一：先计算10袋小麦一共多少千克：91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4总计超过多少千克：905.4-90x10=5.4解法二：90x10+1+1+1.5+（-1)+1.2+1.3+（-1.3)+（-1.2)+1.8+1.1=900+（1+1+1.5+1.2+1.3+1.8+1.1)+[（-1)+（-1.3)（-1.2)=900+8.9+（-3.5)=905.4 [例2]

一口水井，水面比水井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5米又往下滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米又往下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米又往下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米又往下滑了0.1米;第五次往上爬了0.55米，没有下滑;第六次往上爬了0.48米.问蜗牛有没有爬出井口?解:0.5(0.1)0.42(0.15)0.7(0.15)0.75(0.1)0.5500.482.93答:蜗牛没有爬出井口.

[例3]

若x3与

y

2互为相反数，求xy的值 解：

x3

y

2

0，

x3,y2

xy(3)(2)5提高练习[例5]

两个加数的和一定大于其中一个加数吗?答：不一定，如-1+（-2）=-3提高练习[例6]

若a

15,

b

8,且ab,

求ab解：a15,b=8,ab

则a15,b8,

当a15,b8时，ab23

当a15,b8时，ab7提高练习[例7]已知

求:（1）(a)b(c)

解：（2）提高练习[例8]

列出含有三个加数,满足下列条件的算式:(1)所有的加数都是负数,和为13;1(2)(10)(2)一个加数为0,和为13;(9)(4)0(3)至少有一个加数是正整数,和为13;(1)(4)(10)提高练习 [例9]

如图,将数字2，1，0，1，2，3，4，5，6，7这是个数字分别填写在五角星中每两个线的交点处(每个交点只填写一个数),将每一行上的四个数相加,共得到五个数,设a1,a2,a3,a4,a5.

则（1）a1a2a3a4a550（2）交换其中任何两数的位置后,a1a2a3a4a5的值是否改变?

1627213504提高练习无论怎样交换各数的位置,每个数都用了两次，所以值不变。a1a2a3a4a5=2(1201234567)=50答:不变.

3.1.3有理数的减法

0123-1-2-3-44

周六的最高温比最低温高多少摄氏度?

周六-3~40C7(+4)-(-3)=4+3=

74350–20=

50+（-20）=

；50–10=

50+（-10）=

；50–0=

50+0=

；303040405050﹏减去一个数，等于加这个数的相反数发现规律有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数dLhq820402645也可以表示成:a–b=a+(-b)

[例1]

计算:

（1）852758

（2）278527(85)(8527)58

（3）(13)(21)13(21)21138

（4）(13)(21)13(21)

34

（5）(21)(13)21(13)(2113)8

（6）(21)(13)21(13)34[例2]

计算：（1） 3.2(4.8)3.2(4.8)8（2）（3） 05.60(5.6)5.6

（4）解:（1）9-（-5）=9+（+5）=14

（2）（-3）-1=（-3）+（-1）

=-4

（3）7.2–(-4.8)=7.2+4.8=12

练习：9-（-5）（-3）-1

7.2–(-4.8)计算(1)6-9(2)(+4)-(-7)(3)(-5)-(-8)(4)0-(-5)(5)(-2.5)-5.9(6)1.9–(-0.6)练一练[例2]

全班学生分成6个组进行游戏,每组的基分为100分答对一题加50分,错一题扣50分.游戏结束时,各组的分数如下: (1)第一名超过第二名多少分?350200150 (2)第一名超过第六名多少分? 350(200)350200550第一组第二组第三组第四组第五组第六组20050350200100150全国北方主要城市天气预报城市天气最高温最低温温差西安多云1578兰州小雨954哈尔滨小雪3-3银川小雪0-1沈阳小雪5-2呼和浩特雨夹雪-1-3乌鲁木齐晴12-1………….………..……….………..2010年10月11日617213世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约是8848米,吐鲁番盆地的海拔高度大约是-155米。两处高度相差多少米？8848-(-155)=思考题8848+155=9003a–b=a+(-b)减去一个数,等于加这个数的相反数小结课堂练习：1.计算：（1）

3-5；（2）

3-（-5）；

（3）（-3）-5；（4）（-3）-（-5）；

（5）

-6-（-6）；（6）

-7-0；

（7）

0-（-7）；（8）（-6）-6；

（9）

9-（-11）-（-20）；

（10）（-5）-（-5）-（+5）；A、B、C三点的海拔分别是-17.4米,-119米,-72米。三点中最高是哪一个？最低点为哪一个？最高点比最低点高多少？解：最高点为：-17.4米最低点为：-119米最高点比最低点高：-17.4-(-119)=-17.4+(119)=101.6(米)答:最高点为：-17.4米,最低点为：-119米最高点比最低点高101.6(米)。3.选择题：（1）较小的数减去较大的数，所得的数一定是（）

A0B正数C负数D0或负数（2）下列说法正确的是（）

A减去一个负数，差一定大于被减数；

B减去一个正数，差不一定小于被减数；

C0减去任何数，差都是负数；

D两个数之差一定小于被减数；CA

（3）下列说法正确的是（）

A减去一个数，等于加上这个数；

B有理数的减法中，被减数不一定比减数大；

C0减去一个数，仍得这个数；

D两个相反数相减得0；（4）差是-5，被减数是-2，则减数为（）

A-7B-3C3D-7BCA[例3]

某日长春等5个城市的最高气温与最低气温记录如下:问:哪个城市的温差最大?哈尔滨哪个城市的温差最小?大连城市哈尔滨长春沈阳北京大连最高气温233126最低气温1210822[例4]

下表列出国外几个城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数)（1）如果现在的北京时间是中午

12:00, 那么东京时间是多少? 12113（2）如果小芳给远在纽约的舅舅打电话,她在北京时间下午14:00打电话,你认为合适吗?答案：14(13)1不合适城市时差纽约13巴黎7东京1 [例5]

计算11796

解原式11(7)(9)6

276

21[例6]

已知a4,b5,c7,求代数式abc的值．解:原式

abc(4)(5)(7)8[例7]若a0,b0,试求ab1

ba1的值解:

ab1

ba1

ab1[(ba1)]

ab1ba1

0[例8]（1）两个负数的和为a,他们的差为b,则a与b的大小关 系是（）

A.abB.abC.abD.ab（2）已知b0，a0,则a，ab，a+b的大小关系是() A.aabab B.abaab

C.ababa D.abaab[例9]点A，B在数轴上分别是表示有理数a，b,A，B两点间的距离表示为AB

ab

回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点间的距离是25

3（2）数轴上表示2和5的两点间的距离是

2(5)3（3）数轴上表示1和3的两点间的距离是1(3)

4（4）数轴上表示x和1的两点间的距离是

x1,如果

AB

2，那么x1或3[例10]设(x)表示不超过数x的整数中最大的整数，例如(2.53)2， (1.3)2，根据此规定，试做下列运算：（1）(5.3)(3)538（2）(4.3)()505（3）()(1)0(2)2（4）(0)(2.7)0(3)3有理数的

加减混合运算加法复习练习1：(1)(-3)+9(4)(-4.7)+3.9=+（9-3）=6=-(4.7-3.9)=-0.8(2)10+(-6)(3)+(-

)=+(10-6)=42132=-(-)=-322161

2(1)(-3)+(-39)(7)42.7+(-23.5)=-（3+39）=-42=+(42.7-23.5)=19.2(2)-10+6(6)+(-

)=-(10-6)=-43152=-(-)=-5231151(3)15+(-3)=+(15-3)=12(4)+15+(+3)=15+3=18(5)-1.5+(-0.3)=-(1.5+0.3)=-1.83(1)14+(-39)(7)-42.7+(-23.5)=-（39-14）=-25=-(42.7+23.5)=-66.2(2)5+（-6)(6)4+(-1)=-(6-5)=-14152=+(4-1

)=2

2052082017(3)15+(-15)=0(4)+15+0=15(5)0+(-0.3)=-0.3)减法复习1练习2：(1)-3-9(4)(-4.7)-3.9=-3+（-9）=-12=-4.7+(-3.9)=-8.6(2)10-(-6)(3)-(-

)=10+6=162132=+=322165

2(1)(-3)-(-39)(7)42.7-(-23.5)=-3+39=-36=42.7+23.5=66.2(2)-10-6(6)-(-

)=-10+(-6)=-163152=-(

+

)=-31521511(3)15-(-3)=15+3=18(4)+15-(+3)=15+(-3)=12(5)-1.5-(-0.3)=-1.5+0.3=-1.2综合复习(1)14-(-39)(7)-42.7+(-23.5)=39+14=52=-(42.7+23.5)=-66.2(2)5+（-6)(6)4

-(-1)=-(6-5)=-14152=4

+1=5

2052082013(3)15-(-15)=0(4)+15-0=15(5)0+(-0.3)=-0.3)连加减的复习（1）(-2)+4+(-7)+(－4)（2）+125+(-214)+(-7.52)+(－125)+（-13）=-2+(-7)+[－4+4]=-9+0=-9=[+125+(－125)]+[-214+(-7.52)+（-13）]41（3）+12.3+(-2)+9.5+(－125)+=（+12.3+9.5）+[(－125)+(-2)+]=0+(-234.52)=-234.528341=21.8+（-126）=21.8+（-126.875=-105.0758783计算11796

11(7)(9)62762111-(17)(15)-(-6)

1117(9)611+(9)+（17+6）-20+23=3223+(23)-(1.2)-(-25)+15.4=223+(23)+(+1.2)+(+25)+15.4=200+1.2+25+15.4=241.61．有理数加减法统一成加法的意义(1)有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式， 如(12)(8)(6)(5)(12)(8)(6)(5)(2)在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省l略不写，写成省略加号的和的形式： 如(12)(8)(6)(5)12865(3)和式的读法，一是按这个式子表示的意义，读作＂12，8，6，5的和〃；二是按运算的意义，读作＂负12，减8，减6，加5〃．2．有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号（2）运用加法法则，加法运算律进行简便运算[例1]

计算：(6)(15)-(41)(9)6+(12)

解原式6(+15)(+41)(9)6+(12)=6+(12)+15+41+9+6=-18+71=53

122．-6-12+15+41+6+9-10-13-14+9+6=-27+15[例2]

计算解：原式-[例3]把 算式省略加号代数和,并计算出结果.解算式[例4]

填空（1）比小2的数是_________,比大3的数是___________.（2）6xy的最大值___,此时x与y是什么关系____（3）如果

a

4,b8，a与b异号,

则ab____

[例4]

填空（1）比小2的数是___________,比大3的数是

__________.（2）6xy的最大值是6

,此时x与y是什么关系

xy

.（3）如果a4,b8，a与b异号,

则ab

12,12.[例5]

求值:若a与3的相反数的和为1,b的绝对值等于2,c6,求代数式abc的值解: a31,a4,b2,b2 abc42612 abc4268[例6]

你能找到三个整数a，b，c,使得关系式(abc)(abc)(abc)(abc)3388成立吗?

如果能找到,请你举出一例;如果找不到,请你说明理由.解: 不妨设abc

为偶数.

则abc(abc)2b

为偶数

abc(abc)2c

为偶数

abc(abc)2a

为偶数

∴(abc)(abc)(abc)(abc)能被16整除,而3388不能被16整除.有理数的加减法的

复习一.有理数的加法法则,减法法则分别是怎样的?有理数的加法法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)互为相反数的两个数相加得零;(4)一个数与零相加,仍得这个数;有理数的减法法则:

减去一个数,等于加上这个数的相反数.2．加减法统一成加法(1)有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式如(12)(8)(6)(5)(12)(8)(6)(5)(2)各个加数的括号和它前面的加号省l略不写，写成省略加号的和的形式：

如(12)(8)(6)(5)12865读法，一是按这个式子表示的意义，读作＂12，8，6，5的和〃；二是按运算的意义，读作＂负12，减8，减6，加5〃．（1）连加减时，将正负数分别相加。（2）分母相同【或有倍数关系】的分数结合相加。（3）既有分数又有小数，把小数统一成分数或把分数统一成小数。（4）互为相反数的两数可先相加。（5）带分数整数部分，小数部分可拆开相加。3.有理数运算技巧总结：

2．有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号（2）运用加法法则，加法运算律进行简便运算巩固与训练：例1：计算（1）-25+3.4-13+2.6-3

解：-25+3.4-13+2.6-3=（-25-13-3）+（3.4+2.6）

=-41+6=-35解题小技巧：运用运算律将正负数分别相加。例2：0-1/2-2/3-（-3/4）+（-5/6）解：0-1/2-2/3-（-3/4）+（-5/6）

=0-1/2-2/3+3/4-5/6=（-1/2+3/4）+（-2/3-5/6）

=（-2/4+3/4）+（-4/6-5/6）

=1/4+（-3/2）

=1/4-6/4=-5/4解题小技巧：分母相同或有倍数关系的分数结合相加例3（-0.5）-（-1/4）+（+2.75）-（+5.5）解：（-0.5）-（-1/4）+（+2.75）-（+5.5）

=（-0.5）+（+0.25）+（+2.75）+（-5.5）

=-0.5+0.25+2.75-5.5=（-0.5-5.5）+（0.25+2.75）

=-6+3=-3解题小技巧：在式子中若既有分数又有小数，把小数统一成分数或把分数统一成小数课堂练习（1）12-24-15+26-24+18-21

（2）（+0.5）-1/3+（-1/4）-（+1