七年级数学下册课件(冀教版)幂的乘方与积的乘方

8.2幂的乘方与积的乘方第1课时情景导入an＝a·a·…·an个a幂的意义am·an＝am+n

(m，n都是正整数)同底数幂的乘法知识回顾情景导入练习am·am=_________.a3·a3·a3=_________.思考：怎样计算(a4)3

(a3)5探索新知1知识点幂的乘方法则1.依据同底数幂乘法的性质，210×210×210=______.根据乘方的意义，210×210×210可以表示为______.由此，能得到什么结论？2.(102)3表示3个102相乘，(102)3=10()(a3)4表示4个a3相乘，(a3)4=a()3.观察上面各式中幂指数之间的关系，猜想：若m，n是正整数，则(am)n=______.探索新知

事实上，根据乘方的意义及同底数幂乘法的性质，对于正整数m，n，有(am)n=am·am·

…·am=am+m+…+m

=amn.n个amn个m探索新知

(am)n=amn(m，n都是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.归纳探索新知(1)幂的乘方法则在推导过程中运用了乘方的意义和同

底数幂的乘法法则．(2)运用此法则时要明白，底数a可以是一个单项式，

也可以是一个多项式．(3)幂的乘方法则可以逆用，即amn＝(am)n＝(an)m.(4)幂的乘方与同底数幂的乘法都是底数不变，但容易

出现指数相乘与相加混淆的错误．探索新知例1把下列各式表示成幂的形式：(1)

(103)4；(2)(c2)3；(3)

(a4)m

.(103)4=103×4=1012；(2)(c2)3

=

c2×3

=

c6

；(3)

(a4)m

=

a4×m

=

a4m.解：探索新知总

结

利用幂的乘方法则进行计算时，要紧扣法则的要求，出现负号时特别要注意符号的确定和底数的确定．典题精讲1下列各式的计算是否正确？如果不正确.请改正过来.(1)

(a2)3

=a5；(2)

a2·a3

=a6

；(3)a3+a3

=a6；(4)(am)n＝(an)m(m，n都是正整数).(1)不正确，应为(a2)3＝a2×3＝a6.(2)不正确，应为a2·a3＝a2＋3＝a5.(3)不正确，应为a3＋a3＝2a3.(4)正确．解：

典题精讲计算：(1)(72)3；(2)(b4)3.填空：(1)(33)3=3()；(2)(23)4=2()；(3)94=3()；(4)[(－3)3]5=－3().(1)(72)3＝72×3＝76.(2)(b4)3＝b4×3＝b12.解：

23912815典题精讲4设m，n是正整数，计算：(1)(58)n；(2)(7m)5；(3)(98)n；(4)(2m)n.(1)(58)n＝58n；(2)(7m)5＝75m；(3)(98)n＝98n；(4)(2m)n＝2mn.解：

典题精讲计算(－a3)2的结果是(

)A．a6

B．－a6

C．－a5D．a5下列计算正确的是(

)A．a3＋a3＝a6

B．3a－a＝3C．(a3)2＝a5D．a·a2＝a35AD6典题精讲下列运算正确的是(

)A．(x3)2＝x5

B．(－x)5＝－x5C．x3·x2＝x6

D．3x2＋2x3＝5x5下列运算正确的是(

)A．4m－m＝3B．m3·m4＝m7C．(－m3)2＝m9

D．－(m＋2n)＝－m＋2n7BB8探索新知例2计算：(1)x·(x2)3；(2)a·a2·a3－(a2)3.(1)x·(x2)3＝

x·x2×3＝

x·x6＝x7.(2)a·a2·a3

－(a2)3＝

a6－

a6

＝0.解：探索新知总

结

在幂的运算中，如果遇到混合运算，则应按有理数的混合运算顺序进行运算；如果底数互为相反数，就要把底数统一成相同的，然后再进行计算；计算中不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．典题精讲(1)(a3)2·a2＝a3×2·a2＝a6·a2＝a8.(2)(xm)4·x3＝x4m·x3＝x4m＋3.(3)(m2)n·mn＋1＝m2n·mn＋1＝m3n＋1.(4)Xm·(x2m)3＝xm·x6m＝x7m.解：

1计算：(1)(a3)2·a2；(2)(xm)4·x3；

(3)(m2)n·mn＋1；(4)xm·(x2m)3.典题精讲设m，n是正整数，计算：(1)(m2)n·mn

；(2)(yn)2·(y3)m.2(1)(m2)n·mn＝m2n·mn＝m2n＋n＝m3n.(2)(yn)2·(y3)m＝y2n·y3m＝y2n＋3m.解：

典题精讲(1)(a2)4·a2＋2(a3)2·(a2)2＝a8·a2＋2·a6·a4＝a10＋2a10

＝3a10.(2)3(x2)2·x3－x·(x2)3＝3x4·x3－x·x6＝3x7－x7＝2x7.解：

3计算：(1)(a2)4·a2＋2(a3)2·(a2)2；(2)3(x2)2·x3－x·(x2)3.典题精讲化简a4·a2＋(a3)2的结果是(

)A．a8＋a6

B．a6＋a9C．2a6D．a12下列运算正确的是(

)A．a2＋a2＝a4

B．a5－a3＝a2C．a2·a2＝2a2

D．(a5)2＝a104C5D典题精讲计算：(1)[(z－y)2]3；(2)(ym)2·(－y3)；(3)(－x3)4·(－x4)3.6(1)原式＝(z－y)2×3＝(z－y)6.(2)原式＝y2m·(－y3)＝－y2m＋3.(3)原式＝x12·(－x12)＝－x24.解：

探索新知2知识点幂的乘方法则的应用amn=(am)n=(an)m（m、n均为正整数）.即将幂指数的乘法运算转化为幂的乘方运算.注意：逆用幂的乘方法则的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式，如x8=(x4)2=(x2)4.至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．探索新知例3若xm·x2m＝3，求x9m的值．利用amn＝(am)n＝(an)m，可对式子进行灵活变形，从而使问题得到解决．导引：因为xm·x2m＝3，所以x3m＝3，因此x9m＝(x3m)3＝33＝27.解：探索新知总

结

本题运用整体思想将x3m看作一个整体，结合幂的乘方法则的逆向运用使所求式子转化为这个整体的幂.从而运用整体代入求出要求的值使问题获解.典题精讲(1)将[(a+b)2]4表示成以a+b为底的幂.(2)将[(2x+y)3]2表示成以2x+y为底的幂.1(1)已知(x2)m=x8，求m.(2)已知am=4，an=8，求a2m+3n.2(1)[(a＋b)2]4＝(a＋b)2×4＝(a＋b)8.(2)[(2x＋y)3]2＝(2x＋y)3×2＝(2x＋y)6.解：(1)(x2)m＝x2m＝x8，则2m＝8，m＝4.(2)a2m＋3n＝a2m·a3n＝(am)2·(an)3＝42×83＝16×512＝8192.解：典题精讲已知a＝－34，b＝(－3)4，c＝(23)4，d＝(22)6，则下列a，b，c，d四者关系的判断，正确的是(

)A．a＝b，c＝d

B．a＝b，c≠dC．a≠b，c＝d

D．a≠b，c≠d3C典题精讲已知10x＝m，10y＝n，则102x＋3y等于(

)A．2m＋3nB．m2＋n3C．6mnD．m2n39m·27n可以写为(

)A．9m＋3n

B．27m＋nC．32m＋3n

D．33m＋2n45DC典题精讲若3×9m×27m＝321，则m的值为(

)A．3

B．4

C．5

D．6若5x＝125y，3y＝9z，则x:y:z等于(

)A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:6D．6:2:16B7D典题精讲若x，y均为正整数，且2x＋1·4y＝128，则x＋y的值为(

)A．3B．5C．4或5D．3或4或5已知x＋4y＝5，求4x×162y的值．8C因为x＋4y＝5，所以4x×162y＝4x×(42)2y＝4x×42×2y＝4x＋4y＝45＝1024.解：9典题精讲已知275＝9×3x，求x的值．10因为275＝9×3x，所以(33)5＝32×3x.所以315＝32＋x.所以2＋x＝15.所以x＝13.解：易错提醒下列四个算式中正确的有(

)①(a4)4＝a4＋4＝a8；②[(b2)2]2＝b2×2×2＝b8；③[(－x)3]2＝(－x)6＝x6；④(－y2)3＝y6.A．0个B．1个C．2个D．3个C易错点：对幂的乘方运算法则理解不透导致出错小试牛刀1马小虎同学做如下计算题：①x5＋x5＝x10；②x5－x4＝x；③x5·x5＝x10；④(x3)2·x5＝x30；⑤(x5)2＝x25.其中结果正确的是(

)A．①②③

B．②④

C．③

D．④⑤C

计算：(1)(－a2)3·a3＋(－a)2·a7－5(a3)3；(2)x5·x7＋x6·(－x3)2＋2(x3)4；(3)[(a－2b)2]m·[(2b－a)3]n(m，n是正整数)．小试牛刀2(1)原式＝－a2×3·a3＋a2·a7－5×a3×3＝－a6＋3＋a2＋7－5a9＝－a9＋a9－5a9＝－5a9.(2)原式＝x5＋7＋x6·x3×2＋2x3×4＝x12＋x6＋6＋2x12＝x12＋x12＋2x12＝4x12.(3)原式＝(a－2b)2m·(2b－a)3n＝(2b－a)2m·(2b－a)3n＝(2b－a)2m＋3n.解：

已知2x＝a，4y＝b，8z＝ab，试猜想x，y，z之间的数量关系，并说明理由．小试牛刀3x＋2y＝3z.理由如下：因为2x·4y＝ab，8z＝ab，所以2x·4y＝8z，即2x＋2y＝23z，所以x＋2y＝3z.解：小试牛刀4已知2×8x×16＝223，求x的值．因为2×8x×16＝223，所以23x＋5＝223.所以3x＋5＝23.所以x＝6.解：已知3m＋2×92m－1×27m＝98，求m的值．因为3m＋2×92m－1×27m＝98，所以38m＝316，所以8m＝16，所以m＝2.解：5小试牛刀6

阅读下列解题过程，试比较2100与375的大小．解：因为2100＝(24)25＝1625，375＝(33)25＝2725，因为16＜27，所以2100＜375.请根据上述方法解答问题：比较255，344，433的大小.技巧1底数比较法255＝(25)11＝3211，344＝(34)11＝8111，433＝(43)11＝6411，因为32＜64＜81，所以255＜433＜344.解：小试牛刀7已知a＝833，b＝1625，c＝3219，试比较a，b，c的大小．技巧2指数比较法a＝833＝(23)33＝299，b＝1625＝(24)25＝2100，c＝3219＝(25)19＝295，因为95＜99＜100，所以c＜a＜b.解：小试牛刀

阅读下列材料：若a3＝2，b5＝3，比较a，b的大小．解：因为a15＝(a3)5＝25＝32，b15＝(b5)3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，所以a＞b.依照上述方法解答下列问题：已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．技巧3乘方比较法8小试牛刀x63＝(x7)9＝29＝512，y63＝(y9)7＝37＝2187，因为2187＞512，所以x63＜y63.所以x＜y.解：课堂小结幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘意义正向应用：

(am)n=amn(m，n都是正整数).逆向应用：

amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数).解决实际问题8.2幂的乘方与积的乘方第2课时情景导入幂的意义：

a·a·…·a＝ann个a知识回顾同底数幂的乘法运算法则：am·an＝am+n

(m，n都是正整数)幂的乘方运算法则：(am)n=amn

(m，n都是正整数)情景导入思考计算46×0.256小明认为46×0.256=(4×0.25)6，马上得出结果为1.你认为他这样计算有道理吗？一般的，如果n是正整数，(ab)n=anbn成立吗？探索新知1知识点积的乘方法则1.观察下面的运算过程，指出每步运算的依据.(3×7)2=(3×7)·(3×7)()=(3×3)·(7×7)()=32×72.()探索新知2.按照上面的方法，完成下面的填空.(ab)2=______________________；(ab)3=______________________.3.试着归纳：如果n是正整数，(ab)n=_______.探索新知一般地，若n是正整数，则有

(ab)n=ab·ab·

…·ab=(a·a·

…·a)(b·b·

…·b)=anbn.n个abn个an个b探索新知

(ab)n=

anbn(n是正整数)

积的乘方，等于各因式乘方的积.归纳探索新知例1把下列各式表示成幂的形式：(1)

(2x)2；(2)(3ab)3；(3)

(－2b2)3；(4)(－xy3)2；(5)(2a2)3+(－3a2)3+(a2)2·a3.探索新知(1)

(2x)2＝22·x2＝4x2.

(2)(3ab)3＝33a3b3＝27a3b3.(3)

(－2b2)3

＝(－2)3(b2)3

＝－8b6.

(4)(－xy3)2＝(－1)2·(x)2·(y3)2＝x2y6.(5)(2a2)3+(－3a2)3+(a2)2·a2＝23·(a2)3

+(－3)2·(a2)3+(a2)2·a2＝8a6+9a6+a6＝18a6.解：

探索新知总

结

运用积的乘方时，每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式；系数应连同它的符号一起乘方，系数是－1时不可忽略．典题精讲1下列各式的计算是否正确？如果不正确.请改正过来.(1)

(2a)2=2a2；(2)

(ab2)3

=a3b2；(3)(－3a2)3

=－9a4；(4)(2ab2)2＝4a2b2.(1)不正确，应为(2a)2＝22a2＝4a2.(2)不正确，应为(ab2)3＝a3b6.(3)不正确，应为(－3a2)3＝(－3)3·a6＝－27a6.(4)不正确，应为(2ab2)2＝22a2b4＝4a2b4.解：

典题精讲计算：(1)(3a)4；(2)(－2x2)3；(3)(－x2y3)3；

(4)(－3x2)3·(3x)2.(1)(3a)4＝34a4＝81a4.(2)(－2x2)3＝(－2)3·(x2)3＝－8x6.(3)(－x2y3)3＝－(x2)3·(y3)3＝－x6y9.(4)(－3x2)3·(3x)2＝－33·(x2)3·32·x2＝－27x6·9x2

＝－243x8.解：

2典题精讲3计算：(1)(x2y)5；(2)(－3x)3；(3)－(y4)2；(4)－(mn)3.(1)(x2y)5＝(x2)5·y5＝x10y5.(2)(－3x)3＝(－3)3x3＝－27x3.(3)－(y4)2＝－y4×2＝－y8.(4)－(mn)3＝－m3n.解：

典题精讲4计算：(1)(－mn2)3；(2)(x3)2·(x2)3；(3)(2ab3)2·(ab)2；(4)－3x2·(－x)2.(1)(－mn2)3＝－m3n6.(2)(x3)2·(x2)3＝x6·x6＝x12.(3)(2ab3)2·(ab)2＝4a2b6·a2b2＝4a4b8.

(4)－3x2·(－x)2＝－3x2·x2＝－3x4.解：

典题精讲化简(2x)2的结果是(

)A．x4

B．2x2

C．4x2

D．4x下列计算正确的是(

)A．a2＋a3＝a5

B．a2·a3＝a6C．(a2)3＝a6D．(ab)2＝ab25CC6典题精讲下列运算正确的是(

)A．3m－2m＝1B．(m3)2＝m6C．(－2m)3＝－2m3D．m2＋m2＝m4计算a·a5－(2a3)2的结果为(

)A．a6－2a5

B．－a6C．a6－4a5

D．－3a67BD8探索新知2知识点积的乘方公式也可以逆用：anbn=(ab)n(n为正整数)，即：几个因式的乘方(指数相同)的积，等于它们的积的乘方.注意：①当两个幂的底数互为倒数，即底数的积为1

时，逆用积的乘方法则可起到简化运算的作用.②当遇到指数比较大，但指数相差不大时，可以考

虑逆用积的乘方法则解题.③必须是同指数的幂才能逆用法则，逆用时一定要

注意：底数相乘，指数不变.积的乘方法则的应用探索新知例2球体表面积的计算公式是S=4πr2.地球可以近似地看成一个球体，它的半径r约为6.37×106m.地球的表面积大约是多少平方米？(π取3.14)S=4πr2

=4×3.14×(6.37×106)2

=4×3.14×6.372×1012

≈5.10×1014(m2).答：地球的表面积大约是5.10×1014m2.解：探索新知总

结在实际问题中，当数值较大时，一般利用科学记数法表示.典题精讲已知3x+1×5x+1=152x－3，求x的值.1左边＝3x＋1×5x＋1＝(3×5)x＋1＝15x＋1，右边＝152x－3，所以x＋1＝2x－3，解得x＝4.

解：典题精讲如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝________.若n为正整数，且x2n＝3，则(3x3n)2的值为________.若(－2a1＋xb2)3＝－8a9b6，则x的值是(

)A．0B．1C．2D．32ab2433C4探索新知例3用简便方法计算：(1)×0.254××(－4)4；(2)0.1252015×(－82016)．本例如果按照常规方法进行运算，(1)题比较麻烦，(2)题无法算出结果，因此需采用非常规方法进行计算．(1)观察该式的特点可知本题需利用乘法的结合律和逆用积的乘方公式求解；(2)82016＝82015×8，故该式逆用同底数幂的乘法和积的乘方公式求解．导引：探索新知(1)＝×[0.254×(－4)4]＝×(0.25×4)4＝1×1＝1.(2)0.1252015×(－82016)＝－0.1252015×82016

＝－(0.125×8)2015×8＝－12015×8＝－8.解：探索新知总

结

底数互为倒数的两个幂相乘时，先通过逆用同底数幂的乘法法则化为指数相同的幂，然后逆用积的乘方法则转化为底数先相乘、再乘方，从而大大简化运算．典题精讲比一比谁算得快，并进行交流.(1)25×55；(2)(－4)4×0.254；(3)82011×0.1252011；(4)(－4)6×0.255.1(1)25×55＝(2×5)5＝105.(2)(－4)4×0.254＝(－4×0.25)4＝(－1)4＝1.(3)82011×0.1252011＝(8×0.125)2011＝12011＝1.(4)(－4)6×0.255＝46×0.255＝4×45×0.255＝4×(4×0.25)5＝4.解：典题精讲计算：(1)59×0.28；(2)；(3)22×42×56.2(1)59×0.28＝5×58×0.28＝5×(5×0.2)8＝5×18＝5.(2)＝(－1)9＝－1.(3)22×42×56＝22×(22)2×56＝22×24×56＝26×56＝(2×5)6＝106.解：典题精讲式子22019·的结果是(

)A.

B．－2

C．2D．－3C探索新知3知识点幂的三种运算是指：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方.在计算中，既可以是上面任意两种运算的混合，也可以是三种运算的混合.应特别注意掌握运算的顺序及不同运算的方法.幂的混合运算探索新知(1)三种混合运算的顺序先算乘方(先算积的乘方，再算幂的乘方)，再算乘法(同底数幂的乘法)，最后再加减(合并同类项).(2)幂的乘方与同底数幂的乘法混合运算幂的乘方与同底数的幂的乘法比较容易混淆，在其混合运算时，要特别注意区分.探索新知例4计算：(1)(x·y2)3；(2)(anb3n)2＋(a2b6)n；(3)[(a2)3＋(2a3)2]2.利用相关的幂的运算法则按先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的顺序进行计算，有同类项的要合并同类项，使结果最简．导引：(1)原式＝x3y6；(2)原式＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n；(3)原式＝(a6＋4a6)2＝(5a6)2＝25a12.解：探索新知总

结幂的混合运算顺序与有理数的运算顺序相同．典题精讲计算：

(1)(－x2)3＋(－3x2)2·x2；

(2)(ab2)3＋(ab2)2·ab2

.1(1)(－x2)3＋(－3x2)2·x2＝－x6＋(－3)2·(x2)2·x2＝－x6＋9x4·x2＝－x6＋9x6＝8x6.(2)(ab2)3＋(ab2)2·ab2＝(ab2)3＋(ab2)3＝2(ab2)3＝2a3b6.解：典题精讲计算(－2a)2－3a2的结果是(

)A．－a2

B．a2

C．－5a2

D．5a2已知2n·xn＝22n(n为整数)，求正数x的值．2B3由题意知(2x)n＝22n＝4n，所以2x＝4，即x＝2.解：典题精讲已知3x＋2·5x＋2＝153x－4，求x的值．4由题意知15x＋2＝153x－4，所以x＋2＝3x－4.所以x＝3.解：易错提醒1.下面的计算正确吗？正确的打“√”，错误的打“×”，并将错误的改正过来．(1)(ab2)2＝ab4；

(

)(2)(3cd)3＝9c3d3；

(

)(3)(－3a3)2＝－9a6；

(

)(4)(－x3y)3＝－x6y3.(

)易错点：对积的乘方的运算法则理解不透而导致出错易错提醒(1)×，原式＝a2b4.(2)×，原式＝27c3d3.(3)×，原式＝9a6.(4)×，原式＝－x9y3.解：易错提醒2.计算：(1)(2x2yz)3；(2)(－3x3y4)3.易错点：对于底数是多个因式的乘方运算，乘方时易漏项(1)(2x2yz)3＝23x2×3y3z3＝8x6y3z3.

(2)(－3x3y4)3＝－27x9y12.解：小试牛刀下列计算：①(ab)2＝ab2；②(4ab)3＝12a3b3；③(－2x3)4＝－16x12；④，其中正确的有(

)A．0个B．1个C．2个D．3个A1小试牛刀如果(anbm)3＝a9b15，那么(

)A．m＝3，n＝6B．m＝5，n＝3C．m＝12，n＝3D．m＝9，n＝3B2小试牛刀计算×(－1.5)2018×(－1)2019的结果是(

)A.

B.

C．－

D．－D3

计