数学模型实例研究

确定待研究的问题（1）一家商场要建一个新的停车场，如何规划照明设施。（2）一个农民要在一块土地上作出农作物的种植规划。（3）一制造商要确定某种产品的产量和定价。（4）卫生部门要确定一种新药对某种疾病的疗效。（5）一滑雪场要进行山坡滑道和上山缆车的规划。怎样解决下面的实际问题？需要的数据、资料作的观察、试验如何建立模型要求包括以下分析：估计一个人体内血液的总量估计一批日光灯管的使用寿命决定十字路口黄灯亮的时间长度一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制定合理的运行计划提前回家的丈夫小狗“信差”神奇的“算命”冠军争夺赛中间站的列车时刻表快速回答下列问题某甲早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山。下午5:00到达山顶并留宿。次日，早8:00沿着同一条路径下山，下午五点回到旅店。则甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点。

为什么？

37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的两支球队中的胜者以及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。

共需要进行多少场比赛？共需进行多少轮比赛？如果是n支球队进行比赛呢？甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中有90天达到甲站，约有10天到达乙站。

开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？某人家住T市，在他乡工作。每天下班后乘火车于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日，他提前下班搭早一班火车于5:30抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟。

他步行了多长时间？一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直到回到家中。

小狗奔波了多少路程？如果上学时小狗也往返奔波在他们之间，当他们到达学校的时候，小狗在哪里？Case1

在超市购物时会发现，大包装商品比小包装商品便宜这种现象。例如牙膏：50g装的每支1.50元，120克装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格与商品重量的关系，价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量成正比，有的与表面积成正比，还有与无关的因素。

（2）给出单位重量价格与的关系，画出他们的简图。解释其实际意义是什么。一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长cm36.831.843.836.832.145.135.932.1重量g76548211627374821389652454胸围cm24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。Case2甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x和y。设甲乙公司商品的售量在两公司总销售量中占的份额，是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数和，又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎么确定广告费才能使利润最大。（1）令，画出的示意图。（2）写出甲公司的利润表达式。对于一定的，使最大的应满足什么关系。试确定之。Case3某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税。此外还有以下限制：

(1)政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4；

(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。Case4证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益(%)A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5Q:(1)若该经理有1000万资金，应该如何投资？

(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万资金，该经理应如何操作？

(3)在1000万资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？Case5某储蓄所每天的营业时间是上午9:00到下午5:00。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下表。储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必须安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。时间段(时)9~1010~1111~1212~11~22~33~44~5服务员数量43465688Q:

该储蓄所该如何雇佣服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？Case6有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每人都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队。由于