高三数学备考冲刺140分问题36圆锥曲线中的定值定点问题含解析

20/2019/20/问题36圆锥曲线中的定值、定点问题一、考情分析圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用．二、经验分享1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．三、知识拓展1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点，F是该椭圆焦点，则；2.设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；3.设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；四、题型分析(一)定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明．【例1】已知直线的方程为,点是抛物线上到直线距离最小的点,点是抛物线上异于点的点,直线与直线交于点,过点与轴平行的直线与抛物线交于点.（Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）证明直线恒过定点,并求这个定点的坐标.【分析】（Ⅰ）到直线距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线平行且与抛物线相切的切点：如根据点到直线的距离得当且仅当时取最小值,（Ⅱ）解析几何中定点问题的解决方法,为以算代证,即先求出直线AB方程,根据恒等关系求定点.先设点,求出直线AP方程,与直线方程联立,解出点纵坐标为.即得点的坐标为,再根据两点式求出直线AB方程,最后根据方程对应恒成立得定点【解析】（Ⅰ）设点的坐标为,则,所以,点到直线的距离.当且仅当时等号成立,此时点坐标为.（Ⅱ）设点的坐标为,显然.当时,点坐标为,直线的方程为；当时,直线的方程为,化简得；综上,直线的方程为.与直线的方程联立,可得点的纵坐标为.因为,轴,所以点的纵坐标为.因此,点的坐标为.当,即时,直线的斜率.所以直线的方程为,整理得.当,时,上式对任意恒成立,此时,直线恒过定点,当时,直线的方程为,仍过定点,故符合题意的直线恒过定点.考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．【小试牛刀】【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.【解析】（1）对于，当时，，即，当，，即，椭圆的方程为，（2）证明：设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，联立直线与椭圆得，得，，解得，，，直线，令，得，直线过定点(二)定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值．【例2】如图,点,分别为椭圆的左右顶点,为椭圆上非顶点的三点,直线的斜率分别为,且,,.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.【分析】（Ⅰ）设,则,而,所以（Ⅱ）根据弦长公式求底边的长,根据点到直线距离公式求底边上的高,因此设直线的方程为,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得,根据斜率条件及韦达定理得,高为,代入面积公式化简得【解析】（Ⅰ）椭圆.（Ⅱ）设直线的方程为,,,,,,,,,,,.的面积为定值1.【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【小试牛刀】【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.【解析】（1）设椭圆的方程为，则由题意知∴.即∴∴椭圆的方程为（2）设、、点的坐标分别为，，.又易知点的坐标为显然直线存在的斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得，∴，∵，∴将各点坐标代入得，∴圆锥曲线中的定值、定点问题要善于从运动中寻找不变的要素,可以先通过特例、极限位置等探求定值、定点,然后利用推理证明的方法证明之．四、迁移运用1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】直线与抛物线：交于两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则直线过定点（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，则，又，，解得.将直线：代入，得，∴，∴.即直线：，所以过定点2.【湖南省浏阳一中、醴陵一中联考】双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，设内切圆的半径为．由得，整理得．因为P为双曲线右支上一点，所以，，所以．故选D．3.【江西省南昌市2019月考】已知椭圆：的右焦点为,且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为1.则（）A．B．-3C．D．【答案】A【解析】因为椭圆：的右焦点为,且离心率为，且所以可求得椭圆的标准方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），因为A、B在椭圆上，所以，两式相减得，即同理可得所以因为直线、、的斜率之和为1所以所以选A4．【福建省2019届适应性练习（四)】设为坐标原点，动圆过定点,且被轴截得的弦长是8.（Ⅰ）求圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）设是轨迹上的动点，直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点.【解析】(Ⅰ)设动圆半径为由动圆被轴截得的弦长是8得消去得故圆心的轨迹的方程(Ⅱ)设直线，，联立方程得，消去得，．则，．设直线的倾斜角分别是∵，同理，∴．，故直线过定点．5.【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点．(I)求椭圆C的方程；(II)设椭圆C的右焦点为F，直线与椭圆C相切于点A，与直线相交于点B，求证：的大小为定值．【解析】(Ⅰ)∵椭圆C过点，∴①∵离心率为∴②又∵③由①②③得，，.∴椭圆C的方程为C：.(Ⅱ)显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m.由消y得由得.∴∴∴切点A的坐标为又点B的坐标为，右焦点F的坐标为，∴，，∴∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小为定值.6．【江西省赣州市十四县（市）2018届高三下学期期中】已知椭圆系方程：(，)，是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且.（1）求的方程；（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值．【解析】（1）由题意得椭圆的方程为：，即．∵．∴，又为椭圆上一点，∴．，即，又，,∴椭圆的方程为．（2）解：①当直线斜率存在时，设方程为,由消去y整理得，∵直线与椭圆相切，∴，整理得．设，则，且，∴点到直线的距离，同理由消去y整理得，设，则，，．②当直线斜率不存在时，易知综上可得的面积为定值．7．【四川省蓉城名校高中2018届高三4月份联考】已知椭圆：的长轴长为，，是其长轴顶点，是椭圆上异于，的动点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若动点在直线上，直线，分别交椭圆于，两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意知则，设，，，则，由，则，则，则，由此可得椭圆的标准方程为.（2）设，则直线的方程为；则直线的方程为联立得消去得：，则，即代入直线的方程得，故.联立得消去得：，则，即代入直线的方程得，故.当，即，则与轴交点为，当，即时，下证直线过点，由，故直线过定点.8．【江西省新余市2018届高三二模】已知抛物线过点，直线过点与抛物线交于，两点.点关于轴的对称点为，连接.（1）求抛物线线的标准方程；（2）问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】(1)将点代入抛物线的方程得，.所以，抛物线的标准方程为.(2)设直线的方程为，又设，，则.由得.则，，.所以.于是直线的方程为．所以.当时，，所以直线过定点.9．【湖北省荆州中学2018届高三4月月考】已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设，过点斜率为的直线交轨迹于两点，的延长线交轨迹于两点.①若的面积为3，求的值.②记直线的斜率为，证明：为定值，并求出这个定值.【解析】（1）设圆心，过点作轴，垂足为，则.∴∴，化简为：.当时，也满足上式.∴动圆圆心的轨迹的方程为.（2）设直线的方程为，，由，得，，.①，解得.②设，则，.∵共线∴，即，解得：（舍）或.∴，同理，∴∴（定值）10.如图,已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点)．(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l：eq\f(x0x,a2)－y0y＝1与直线AF相交于点M,与直线x＝eq\f(3,2)相交于点N.证明：当点P在C上移动时,eq\f(|MF|,|NF|)恒为定值,并求此定值．【解析】(1)设F(c,0),因为b＝1,所以c＝eq\r(a2＋1),直线OB方程为y＝－eq\f(1,a)x,直线BF的方程为y＝eq\f(1,a)(x－c),解得B(eq\f(c,2),－eq\f(c,2a))．又直线OA的方程为y＝eq\f(1,a)x,则A(c,eq\f(c,a)),kAB＝eq\f(\f(c,a)－?－\f(c,2a)?,c－\f(c,2))＝eq\f(3,a).又因为AB⊥OB,所以eq\f(3,a)·(－eq\f(1,a))＝－1,解得a2＝3,故双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)由(1)知a＝eq\r(3),则直线l的方程为eq\f(x0x,3)－y0y＝1(y0≠0),即y＝eq\f(x0x－3,3y0).因为直线AF的方程为x＝2,所以直线l与AF的交点为M(2,eq\f(2x0－3,3y0))；直线l与直线x＝eq\f(3,2)的交点为N(eq\f(3,2),eq\f(\f(3,2)x0－3,3y0))．则eq\f(|MF|2,|NF|2)＝eq\f(\f(?2x0－3?2,?3y0?2),\f(1,4)＋\f(?\f(3,2)x0－3?2,?3y0?2))＝eq\f(?2x0－3?2,\f(9y\o\al(2,0),4)＋\f(9,4)?x0－2?2)＝eq\f(4,3)·eq\f(?2x0－3?2,3y\o\al(2,0)＋3?x0－2?2).因为P(x0,y0)是C上一点,则eq\f(x\o\al(2,0),3)－yeq\o\al(2,0)＝1,代入上式得eq\f(|MF|2,|NF|2)＝eq\f(4,3)·eq\f(?2x0－3?2,x\o\al(2,0)－3＋3?x0－2?2)＝eq\f(4,3)·eq\f(?2x0－3?2,4x\o\al(2,0)－12x0＋9)＝eq\f(4,3),即所求定值为eq\f(|MF|,|NF|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3