八年级数学部编版下册勾股定理课件

第十七章17.1.1勾股定理人教版数学八年级下册学习目标1.经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想.2.掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.3.了解利用拼图验证勾股定理的方法．导入新知同学们，如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？勾股定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.

弦股勾图1新知1勾股定理合作探究ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2(1)观察图2-1

正方形A中含有

个

小方格，即A的面积

是

个单位面积.正方形B的面积是

个单位面积.正方形C的面积是

个单位面积.99918ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2分“割”成若干个直角边为整数的三角形=18(单位面积)S正方形cABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2(2)在图2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少个小方格？

它们的面积各是多少？(3)你能发现图2-1中三个正方

形A，B，C的面积之间有

什么关系吗？SA+SB=SC

即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.ABCacbSa+Sb=Sc观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2┏a2+b2=c2acb

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股弦

勾股定理(毕达哥拉斯定理)定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.数学表达式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

对边分别是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.导引：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝解：

利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；三化简．新知小结1

设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边

长为c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.(1)(2)(3)解：巩固新知下列说法中正确的是(

)A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的

平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2C2掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.△ABC的周长是()利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．图1称为“弦图”，最早是由(2)已知c＝3，b＝2，求a；是个单位面积.(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2A．b2＝c2－a2B．a2＝c2－b21如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面C．42或32D．不能确定A．b2＝c2－a2B．a2＝c2－b2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2下列说法中正确的是()A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般是个单位面积.圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜D．7B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的3

若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，

斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(

)A．b2＝c2－a2B．a2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C【中考·东营】在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(

)A．10B．8C．6或10D．8或10C4【中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(

)A．3B．6C．3D.A5【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(

)A．5个B．4个C．3个D．2个C6如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是(

)A．3

B．4

C．5

D．6A7

观察图形，容易得到大正方形的边长为

a+b，所以大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的面积又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方．新知2勾股定理与面积的关系合作探究例2观察如图所示的图形，回答问题：(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形P的面积

为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积

为________；(2)如图②，分别以直角

三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，

则这三个半圆形的面积之间的关系式是________；(用图中字母表示)(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你

利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角

形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形

的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝

直角三角形的面积．导引：(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆

形的面积为S3，三角形的面积为S△，

则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝×3×4＝6.解：圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜为9，正方形Q的面积为在△ABC中，边AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.(图中每个小方格代表一个单位面积)三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.为________；【中考·温州】四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为()(1)已知a＝b＝6，求c；(3)你能发现图2-1中三个正方A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想.(图中每个小方格代表一个单位面积)(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形P的面积(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.观察图形，容易得到大正方形的边长为a+b，所以

与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．新知小结1如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面

积分别为3和4，则b的面积为(

)A．3B．4C．5D．7D巩固新知如图，已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC，BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2

C．S1＝S2

D．不能确定2C【中考·温州】四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为(

)A．12S

B．10SC．9S

D．8S3C1.勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角

三角形三边关系．2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些

变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．归纳新知新知归纳图1称为“弦图”，最早是由圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，个单位面积.小方格，即A的面积在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你为________；的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的【中考·温州】四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为()【中考·东营】在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等个单位面积.经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想.小方格，即A的面积C．6或10D．8或101设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边如图，已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC，BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为()B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的对边分别是a，b，c.又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，直角三角形的面积．

在△ABC中，边AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是(

)A．42B．32