第七节数学归纳法理

第七节数学归纳法理第1页，课件共48页，创作于2023年2月1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

第2页，课件共48页，创作于2023年2月第3页，课件共48页，创作于2023年2月1.数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于

命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是

.正整数最小正整数使命题成立的第4页，课件共48页，创作于2023年2月2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当n＝

时，验证命题成立；(2)假设n＝

时命题成立，推证当n＝

时

命题也成立，从而推出对所有的

命题成立.k＋1n0(n0∈N+)k(k≥n0，k∈N+)n≥n0，n∈N+第5页，课件共48页，创作于2023年2月[思考探究](1)数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推．两者缺一不可．(2)归纳推理与数学归纳法有什么区别与联系？提示：归纳推理是合情推理的一种方式，得到的结论不一定正确，不可以作为数学证明的方法，数学归纳法是科学的方法，可以用来证明与正整数n有关的问题，但在某些与正整数有关的问题中，往往先用归纳推理得到结论后，再用数学归纳法来证明．

第6页，课件共48页，创作于2023年2月1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)

条时，第一步检验n等于(

)A.1

B.2C.3D.0解析：因为n≥3，所以，第一步应检验n＝3.答案：C第7页，课件共48页，创作于2023年2月2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，

在验证n＝1时，等式左端计算所得的项是(

)A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3解析：因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以验证n＝1时，等式左端计算所得的项是1＋a＋a2.答案：C第8页，课件共48页，创作于2023年2月3.利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N+”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(

)A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.第9页，课件共48页，创作于2023年2月解析：当n＝k(k∈N+)时，左式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1).答案：B第10页，课件共48页，创作于2023年2月4.用数学归纳法证明：，

第一步应验证左式是

，右式是

.解析：令n＝1则左式为1－，右式为 .答案：第11页，课件共48页，创作于2023年2月5.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋

.解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π第12页，课件共48页，创作于2023年2月第13页，课件共48页，创作于2023年2月1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题，关键

在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，

由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加

怎样的项；难点在于寻求等式中n＝k和n＝k＋1时之间

的联系.第14页，课件共48页，创作于2023年2月2.用数学归纳法证明与正整数有关的等式时，通常采用的

步骤为：(1)找出f(k＋1)与f(k)的递推关系；(2)把归纳假设f(k)＝g(k)代入；(3)作恒等变形把f(k＋1)化为g(k＋1).第15页，课件共48页，创作于2023年2月[特别警示]

运用数学归纳法需注意以下几点：①n＝n0时，n0的取值；②两个步骤，缺一不可；③证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设.第16页，课件共48页，创作于2023年2月对于n∈N+，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2).[思路点拨]第17页，课件共48页，创作于2023年2月[课堂笔记]

证明：设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，第18页，课件共48页，创作于2023年2月f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3).∴n＝k＋1时等式也成立.∴由(1)(2)可知，当n∈N+时等式都成立.第19页，课件共48页，创作于2023年2月用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明.第20页，课件共48页，创作于2023年2月[特别警示]

如果在数学归纳法证题的过程中，没有运用归纳假设，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法.第21页，课件共48页，创作于2023年2月已知数列{an}，an≥0，a1＝0，－1＝.求证：当n∈N+时，an＜an＋1.[思路点拨]第22页，课件共48页，创作于2023年2月[课堂笔记]

(用数学归纳法证明)(1)当n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1＜a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak＜ak＋1，因为第23页，课件共48页，创作于2023年2月＝(＋ak＋2－1)－(＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)＞0，所以ak＋1＜ak＋2，即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立.根据(1)和(2)，可知an＜an＋1对任何n∈N+都成立.第24页，课件共48页，创作于2023年2月把题设条件中的“an≥0”改为“当n≥2时，an＜－1”，其余条件不变，求证：当n∈N+时，an＋1＜an.证明：(1)当n＝1时，因为a2是x2＋x－1＝0的负根，所以a1>a2.(2)假设当n＝k(k∈N+，k≥1)时，ak＋1<ak，

第25页，课件共48页，创作于2023年2月∵＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1<ak≤0，∴>0，又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1<－1，∴ak＋2－ak＋1<0，∴ak＋2<ak＋1，即当n＝k＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，当n∈N+时，an＋1<an.第26页，课件共48页，创作于2023年2月用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.第27页，课件共48页，创作于2023年2月用数学归纳法证明：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点.则这n个圆将平面分成n2－n＋2个部分.[思路点拨]第28页，课件共48页，创作于2023年2月[课堂笔记]

(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分.12－1＋2＝2，命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N+)时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2个部分.当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成了k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在的部分分成了两部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，这说明当n＝k＋1时命题也成立.由(1)(2)知，对一切n∈N+，命题都成立.第29页，课件共48页，创作于2023年2月以数列问题为载体,考查用数学归纳法证明现成问题的结论是高考对本节内容的常规考法.2009年陕西高考则以数列问题为载体,考查了“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式，是一个新的考查方向.第30页，课件共48页，创作于2023年2月

[考题印证](2009·陕西高考)(12分)已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝

，n∈N+.(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn＋1－xn|≤()n－1.第31页，课件共48页，创作于2023年2月【解】

(1)由x1＝及xn＋1＝得x2＝，x4＝，x6＝.由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列.┄┄┄2分下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，已证命题成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分第32页，课件共48页，创作于2023年2月②假设当n＝k时命题成立，即x2k＞x2k＋2，易知xk＞0，那么x2k＋2－x2k＋4＝＝＝＞0，┄┄

5分即x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立.结合①和②知，命题成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分第33页，课件共48页，创作于2023年2月(2)证明：当n＝1时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝，结论成立；当n≥2时，易知0＜xn－1＜1，∴1＋xn－1＜2，xn＝＞，∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋)(1＋xn－1)＝2＋xn－1>，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分第34页，课件共48页，创作于2023年2月∴|xn＋1－xn|＝||＝<|xn－xn－1|<()2|xn－1－xn－2|<…<()n－1|x2－x1|＝()n－1.┄┄┄┄┄┄┄11分综上：n∈N+时，|xn＋1－xn|≤·()n－1.┄┄12分第35页，课件共48页，创作于2023年2月[自主体验]已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N＋)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N＋，点Pn都在(1)中的直线l上．

第36页，课件共48页，创作于2023年2月解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1.b2＝，a2＝1×＝，∴P2()，∴直线l的方程为，即2x＋y＝1.

第37页，课件共48页，创作于2023年2月(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立，则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝1，∴当n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N＋，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．

第38页，课件共48页，创作于2023年2月第39页，课件共48页，创作于2023年2月1.如果命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立.若p(n)

对n＝2也成立，则下列结论正确的是(

)A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立第40页，课件共48页，创作于2023年2月解析：由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立.答案：B第41页，课件共48页，创作于2023年2月2.设f(n)＝，n∈N+，那么f(n＋1)

－f(n)＝(

)A.

B.C.D.第42页，课件共48页，创作于2023年2月解析：用数学归纳法证明有关问题时，分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然，当自变量取n时，等式的左边是n项和的形式.答案：D第43页，课件共48页，创作于2023年2月3.下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是(

)A.6＋6·7kB.2＋7k－1C.2(2＋7k＋1)D.3(2＋7k)解析：本题考查用数学归纳法证明整除性问题.(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除.(2)假设当k＝n(n∈N+)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立.答案：D第44页，课件共48页，创作于2023年2月4.猜想1＝1,1－