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文档简介
第五章频率响应分析法第五章频率响应分析法特点：物理意义明确，系统及其元部件的频率特性可以分析或实验获得，可以图解分析对于一阶、二阶系统，其频域和时域指标一一对应，高阶系统则近似对应频域稳定判据可以根据开环特性判别闭环是否稳定频域设计方法可以兼顾动态响应指标和噪声抑制性能可以推广应用于某些非线性系统第五章频率响应分析法频率特性的基本概念典型环节的频率特性系统开环频率特性的绘制频率域稳定判据稳定裕度系统的闭环频率特性频域性能指标和时域性能指标的关系5.1
频率特性的基本概念一、频率特性的定义二、频率特性的几何表示1、一个简单的例子2、频率特性的定义一、频率特性的定义1、一个简单的例子u1iRu2CT
du2dt+
u2
=
u111U
(S
)G(s)
=
U2
(S
)
=Ts
+1u1
=
Asin
w
t，u2
=
?2111AwU
(s)
=U
(s)
=•Ts
+1Ts
+1s2
+w
22TAAwT-
t
u
=e
+sin(w
t
-
arctan
wt)1+w
2T
21+w
2T
2211)At
fi
¥lim
u
=sin(w
t
-
arctan
wt)1+w
2T
2=
Asin(w
t
+—1+
jwT1+
jwT则输出的稳态响应与输入的正弦信号之比：1G
(
jw
)
==
A
(w
)e
jj
(
w
)1
+
jw
T112T
2A
(w
)
==1
+
jw
T1
+
w1j
(w
)
=
-
arctan
w
T
=
—1
+
jw
T11s
=
jws
=
jw1
+
jw
T其实：G
(jw
)==
.G
(
s
)：=
.1
：+
Tss01jwjwT即：G
(
jw
)
=
.G
(
s
)s
=
jw一般地，线性定常系统的正弦稳态响应与输入的正弦信号之比定义为系统的频率特性。（自己看推导）R
(
jw
)G
(
jw
)
=
C
(
jw
)
=
A
(w
)e
jj
(
w
)2、频率特性的定义二、频率特性的几何表示1、幅相频率特性曲线2、对数频率特性曲线3、对数幅相特性曲线1、幅相频率特性曲线以频率为参变量，将频率特性的幅频特性和相频特性同时表示在附属平面上。2、对数频率特性曲线开环对数频率特性开环幅频特性开环相频特性G(
jw
)
=
G(
jw
)
—
G(
jw
)
=
A(w
)e
jj
(w
)L(w
)
=
20
lg
G(
jw
)j(w
)
=
—
G(
jw
)开环幅频特性开环相频特性单位：分贝dB,1贝尔＝20分贝单位：度也称Bode图对数频率特性的优势：相乘环节变为相加典型环节可用直线或折线 表示，简单明了系统整体的频率特性合成简单2、对数频率特性曲线w0.1dB20L(w
)400.1110100w度f(
w
)900－9001
10
100对数分度，按lg
w线性分度线性分度w
=
2pfrad/s
(弧度/秒)rad/s
(弧度/秒)线性分度3、对数幅相特性曲线将对数幅频特性和对数相频特性合起来绘制成一条曲线，其横坐标是—
G(
jw
)，纵坐标是20
lg
G(
jw
)
，频率w
为参变量。二、频率特性的几何表示工程中以对数频率特性曲线为主5.2
典型环节的频率特性一、比例环节二、积分环节三、微分环节四、惯性环节五、一阶微分环节六、振荡环节七、二阶微分环节八、延时环节第一部分：幅相频率特性曲线也称为Nyquist图G(s)
=
k, k
>
0A(w
)
=
Kj(w
)
=
00一、比例环节G(
jw
)
=
K(K,j0)0●(K,j0)sjwG(s)
=
1G(
jw
)
=
1A(w
)
=
1wj(w
)
=
-900二、积分环节0wG(s)
=
sG(
jw
)
=
jwA(w
)
=
wj(w
)
=
900三、微分环节0w四、惯性环节1Ts
+1G(
s
)
=1G(
jw
)
=jwT
+11A(w
)
=(wT
)2
+1j(w
)
=
-tg
-1wT经证明：其幅相频率特性曲线为一半圆五、一阶微分环节G(
jw
)
=
jwT
+1G(s)
=
Ts
+1A(w
)
=
(wT
)2
+1j(w
)
=
tg
-1wT0w1A(w
)j(w
)w
=
0六、振荡环节1nnG(
s
)
=
n
=s2
+
2zw
s
+
w
2
T
2
s2
+
2zTs
+1w
21(1-
w
2T
2
)
+
j2zw
TG(
jw
)
=1A(w
)
=(1
-
w
2T
2
)2+
(2zw
T
)2j(w
)
=
-tg
-1
2zwT
1-w
2T
2TT
2xA(0)
=
1,j
(0)
=
00A(
1
)
=
1
,j
(
1
)
=
-900A(¥
)
=
0,j
(¥
)
=
-1800(1
w
=0时,(2)w
=1
时,T(3)w
=¥
时,讨论：七、二阶微分环节G(s)
=
T
2
s2
+
2zTs
+1G(
jw
)
=
(1-w
2T
2
)
+
j2zwTA(w
)
=(1
-
w
2T
2
)2
+
(2zw
T
)2j(w
)
=
tg
-1
2zwT
1-w
2T
2A(0)
=
1,j
(0)
=
00A(
1
)
=
2x,
j
(
1
)
=
900TA(¥
)
=
¥
,Tj
(¥
)
=
1800(1
w
=0时,(2)w
=1
时,T(3)w
=¥
时,讨论：w0w
=
0w
=
wn八、延时环节G(s)
=
e-tsG(
jw
)
=
e-t
jwA(w
)
=
1j(w
)
=
-57.3tw0ww
=
0第二部分：对数频率特性曲线也称为Bode图比例环节：G(s)
=
k, k
>
0若k
=10L(w
)
=
20
lg10
=
20dBj(w
)
=
000.1110100wrad
/
s度f(
w
)00rad
/
sw0.1110100dBL(w
)20一、比例环节积分环节：G(
s
)
=
1
G(
jw
)
=
1
=
1
e-900s
jw
wwL(w
)
=
20
lg
1
=
-20
lg
w
j(w
)
=
-9000.1110100wrad
/
s度f(
w
)00-900rad
/
sw0.1110100dBL(w
)20-20-20dB/dec二、积分环节三、微分环节与积分环节关于横坐标轴对称四、惯性环节1Ts
+1G(
s
)
=11-1e-
jtg (
w
T
)(
w
T
)2
+1=jw
T
+1G(
jw
)
=121=
-20
lg[(
w
T
)
+1]2L(
w
)
=
20
lg(
w
T
)2
+1j(w
)
=
-tg
-1wT讨论：Tw
=1
为转折频率wTTTw
<<
1(wT
<<1)L(w
)
»
0dBj(w
)
=
00w
>>
1(wT
>>1)L(w
)
»
-20
lg
wTj(w
)
=
-900w
=
1
(wT
=1)L(w
)
=
-3dBj(w
)
=
-450rad
/
swL(w
)20T1T10T-20dB
0.1-20dB/decwrad
/
sf(
w
)00-450-900T1T度0.1T10L(w
)用渐近线表示：TTwT
=
0.1L(w
)
=
-0.04dBj(w
)
=
5.70wT
=10L(w
)
=
-20.04dBj(w
)
=
-84.30w
<
1
L(
w
)
=
0dBw
>
1
L(
w
)
=
-20
lg
w
T五、一阶微分环节与惯性环节关于横坐标轴对称六、振荡环节1nnG(
s
)
=
n
=s2
+
2zw
s
+
w
2
T
2
s2
+
2zTs
+1w
21(1-
w
2T
2
)
+
j2zw
TG(
jw
)
=1L(
w
)
=
-20
lg
[(
1
-
w
2T
2
)2
+
(
2zw
T
)2]22zw
T1-
w
2T
2F
(
w
)
=
-tg
-1
Tn1w
=平方项4次方项w
T
=
1,w
T
>>
1,(2)w
>>
w
n(3)w
=
w
nL(
w
)
=
0dB
,F
(
w
)
=
00L(
w
)
=
-40dB
,F
(
w
)
=
-180
0L(
w
)
=
-20
lg
2z,F
(
w
)
=
-900w
T
<<
1,(1)w
<<
w
n讨论：wrad
/
sf(
w
)00T1T度0.1T10-900-1800rad
/
swL(w
)20T1T10TdB
0.1-40dB/dec-20-40七、二阶微分环节与振荡环节关于横坐标轴对称八、延时环节G(s)
=
e-tsG(
jw
)
=
e-t
jwL(w
)
=
20
lg
1
=
0j(w
)
=
-57.3twrad
/
sL(w
)wτ增大5.3
系统开环频率特性的绘制一、开环幅相曲线的绘制二、开环对数频率特性曲线的绘制
三、最小相位系统和非最小相位系统一、开环幅相曲线的绘制mjsv i
=1
n
-vK
(ti
s
+1)G(s)H
(s)
=(T
s
+1)j
=1mj(
jw
)v
i
=1
n-vj
=1K
(
jwti +1)G(
jw
)H
(
jw
)
=(
jwT
+1)一、开环幅相曲线的绘制起点（ω→0
）终点（
ω→∞）开环幅相曲线与实轴的交点开环幅相频率特性的变化范围N1.
起点Kw
fi
0w
fi
0
(
jw
)vw
fi
0
w
vlim
G(
jw
)H
(
jw
)
=
lim=
lim
K
e
j
(-v
90
)0型系统，起于实轴（K,j0）点；I型系统，起于－90度的无穷远处；
II型系统，起于－180度的无穷远处w
fi
¥lim
G(
jw
)H
(
jw
)
=
0e-
j
(
n-m
)90开环频率特性曲线以－(n-m)×90°终于坐标原点mj(
jw
)vn-vj
=1K
(
jwti
+1) i
=1
G(
jw
)H
(
jw
)
=(
jwT
+1)2.
终点3.
开环幅相曲线与实轴的交点Im
G(
jw
)H
(
jw
)
=
0令代入得到wxRe
G(
jw
)H
(
jw
)得到与实轴的交点4.
开环幅相频率特性的变化范围在ω的0～∞的变化范围中，中间段需要求出几个特殊点。这样，就确定了开环幅相频率特性曲线的形状。二、开环对数频率特性曲线的绘制nGi
(s)i
=1G(s)H
(s)
=
G1
(s)G2(s)Gn(s)
=ninniiijj
(w
)A
(w
)ei
=1ni
=1i
=1j
ji
(w
)i=1G(
jw
)H
(
jw
)
=G
(
jw
)
==
A
(w
)enL(w
)
=
20
lg
A(w
)
=
20
lg
Ai
(w
)i
=1nj(w
)
=
ji
(w
)i
=1各个环节的叠加得到总的频率特性二、开环对数频率特性曲线的绘制叠加法分段法二、开环对数频率特性曲线的绘制1.
叠加法采用一个例子予以说明例1s(12123s2
+
s
+1
)s
+1
)(7.5(
1
s
+1
)G0
(
s
)
=(1)比例(2)积分(3)比例微分转折频率(4)惯性转折频率(5)振荡转折频率221＝
21
＝
111
＝
21
＝TT1
＝
1
＝
3T
13w
＝w
＝w
＝-20
lg
w
，-20
dB
/dec过w
＝1，j
1=
－
90
02
0
lg
k
=
2
0
lg 7
.
5
=
1
7
.
5
d
B
,
j
=
0
01rad
/
s(4)L(w
)0.1110dB604020(3)(1)(5)-20+20w-20(2)-40-60-60
-800.01-20-40-60f(
w
)度900－900w0.110.01-1800-2700(1)rad
/
s(2)(3)(4)
10(5)1).
确定低频段Bode图的位置。（不考虑惯性、振荡、比例微分环节）斜率由积分环节决定N
＝
0
0dB/decN
=
1 -20dB/decN
=
2 -40dB/deck=
k,
L(1
)
=
20
lg
kw
N在w＝1
位置2.
分段法——同样的例子2.
分段法2).
依次画转折频率以后部分，增减斜率。ω1＝1.414ω2＝2ω3＝3－40－20＋20rad
/
sL(w
)w0.110dB604020-20+20-60-601
-800.01-20-40-6017.5三、最小相位系统和非最小相位系统一个系统如果它的开环传递函数的全部零极点都位于S平面的左半平面或虚轴上，则称此系统为最小相位系统幅频特性相同的系统中最小相位系统的相位变化最小。幅频特性确定后，其对应的最小相位系统是唯一的。例1T
s
+1(4)G1
-T
s(3)GT
s
+1(2)GT
s
+1(1)G1(
s
)
=
T2
s
+1
e
-ts041(
s
)
=
T2
s
+1031(
s
)
=
1
-T2
s021(
s
)
=
T2
s
+101T1＝10T2L(w
)
dBw20-2011T21T-20L1
(
w
)
=
L2
(
w
)
=
L3
(
w
)
=
L4
(
w
)w度-900-1800f(
w
)1800900F
1
(
w
)F
(
w
)4F
(
w
)3F
2
(
w
)四、最小相位系统的应用应用1.对于最小相位系统，根据开环频率特性L(ω)能唯一地确定系统的开环传递函数G(ω)
。应用2.对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。应用1.
对应最小相位系统，根据开环频率特性L(ω)能唯一确定系统的开环传递函数。例2wrad
/
s1100.120L(w
)
dB40-20-40-20-402
4w1w
28①写传递函数120s(
T
s
+1
)k(
T
s
+1
)G (
s
)
=②求时间常数12211T
=
1
=
1
=
0.5,T
=
1
=
=
0.125w
8w
2③求kL(1
)
=
20
lg
k
=
20
lg
2
+
40(lg
4
-
lg
2
)=
60
lg
2
=
20
lg
23w
=1,0s(
0.5s
+1
)∴
k
=
8G (
s
)
=
8(
0.125s
+1
)例3dBrad
/
s10.120L(w
)40-20-40-20-402
4w1w
210
ww
c-40①传递函数210s2
(
T
s
+1
)k(
T
s
+1
)G (
s
)
=②时间常数2211T
=
1
=
1
=
0.1T
=
1
=
1
=
0.5,w
10w
2③求kk
=1020
lg
k
=
20,w
=1,0s2
(
0.1s
+1
)
s2
(
s
+10
)G (
s
)
=
10(
0.5s
+1
)
=
50(
s
+
2
)应用2.对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。－20dB/dec
————
－900－40dB/dec
————
－1800－60dB/dec
————
－2700要使系统稳定，并有足够稳定裕量，应使
L(ω)以－20dB/dec斜率穿越0dB线，并保持
ωc前后有一定宽度(10倍频程)。wL(w
)-40-20-40w
cL(w
)w-20-40cwL(w
)w-60-20w
c以－20dB/dec斜率穿越0dB线，系统稳定。以－40dB/dec斜率穿越0dB线，系统可能稳定。以－60dB/dec斜率穿越0dB线，系统不稳定。5.4
频率域稳定判据一、奈氏判据的数学基础二、奈奎斯特稳定判据三、开环系统含有积分环节时奈氏判据的应用四、对数频率稳定判据一、奈氏判据的数学基础辅助函数F(s)幅角原理1.辅助函数F(s)其中，传递函数G(s)和H(s)可表示为两个多项式之比，即：N2
(s)N1
(s)H
(s)
=
M
2
(s)G(s)
=
M1
(s)系统的开环传递函数和闭环传递函数分别表示为：M
1
(
s
)
N
2
(
s
)G
(
s
)N
1
(
s
)
N
2
(
s
)N
1
(
s
)
N
2
(
s
)
+
M
1
(
s
)
M
2
(
s
)=1
+
G
(
s
)
H
(
s
)F
(
s
)
=G
(
s
)
H
(
s
)
=
M
1
(
s
)
M
2
(
s
)ni=1i=1=
K
(s
-
zi
)
(s
-
pi
)N1
(s)N2
(s)nF
(s)
=
N1
(s)N2
(s)
+
M1
(s)M
2
(s)
=1+
G(s)H
(s)闭环特征多项式开环特征多项式辅助函数F(s)定义如下：F(s)的特点：1).F(s)的零点z为闭环传递函数的极点，F(s)的极点p为开还传递函数的极点；2).F(s)的零点和极点数目相同；3).F(s)和G(s)H(s)只差常数1.nnN1
(s)N2
(s)
i
=1
i
=1K
(s
-
zi
)N1
(s)N2
(s)
+
M1
(s)M
2
(s)F
(s)
==1+
G(s)H
(s)
=(s
-
pi)s平面和F(s)平面F(s)s平面:包围与不包围F(s)平面2.幅角原理在S平面上封闭曲线C域内共有F(s)的P个极点和Z个零点，且封闭曲线C不穿过F(s)的任一个极点和零点。当s顺时针沿封闭曲线C变化一周时，函数F(s)沿Gs曲线按逆时针方向包围坐标原点的周数R满足:R
=
P
-
ZP的贡献
F(s)沿Gs
逆时针包围坐标原点的周数Z的贡献
F(s)沿Gs
顺时针包围坐标原点的周数R=0
F(s)对应的
Gs
不包围平面坐标原点nn i
=1
i
=1K
(s
-
zi
)F
(s)
=(s
-
pi
)ImReF平平·jwsS平平R
=
P－Z
=
1
–
3=
－22.幅角原理问：可否通过围绕S平面左半部的曲线，对应于F(s)的封闭曲线，围绕原点的圈数判断
Z的个数，从而知道闭环系统是否稳定？容易知道的是P，那么，有没有现成的F(s)封闭曲线?二、奈奎斯特稳定判据由F(s)＝1＋G(s)H(s)可知，F(s)按逆时针方向包围坐标原点的周数R，就是开环传递函数G(s)H(s)曲线按逆时针方向包围（－1，j0）点的周数。幅角原理中所定义的R又可表示奈氏曲线{即s沿虚轴－j∞到＋j∞取值，频率特性G(jω)H(jω)的幅相曲线}逆时针包围临界点（－1，j0）的周数。N定义奈氏稳定判据：反馈控制稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点（－1，j0）的周数R等于开环传递函数右半S平面极点数P，即R=P;否则系统不稳定。闭环正实部特征根个数Z＝P－R判断系统稳定性k0(
T1
jw
+1
)(
T2
jw
+1
)例1.
已知开环传递函数
G (
jw
)
=解：画Nyquist示意图G0
(
jw
)
=
G0
(
jw
)
—
G0
(
jw
)(2)趋势00G (
j¥
)
=
0—
-1800G0
(
j0
)
=
k—
0w
fi
¥(1)特殊点w
=
000
fi
-1800k
fi
0G(
jw
)单调递减单调递减w
由0
fi
¥由—G(jw
)由ImRew
=
0w
=
j¥k—
000—
-
1800Imw
=
0w
=
j¥-1-
j¥0-
k正频率轨迹（奈氏图)负频部分(与正频对称)奈氏判据(已知R,
P
求Z
)P
=0(由G0(s)表达式)R＝0(由奈氏图)因为Z=P–R=0
,所以系统稳定例2.
开环传递函数6(
3
s
+
1
)(
2
s
+
1
)(
s
+
1
)G
(
s
)
=试用奈氏稳定判据判断其闭环系统的稳定性。6(3
jw
+1)(2
jw
+1)(
jw
+1)解：频率特性为：G(jw
)=开环幅频特性曲线始于点（6，j0），极点数n＝3,零点数m＝0，按270度终于原点。开环相频特性曲线与实轴交点为－0.6。ω由－∞到＋∞变化时绘出开环幅相特性曲线→稳定性分析：G(s)在右半面内P＝0，奈氏曲线不包围点（－1，j0），即R＝0。P＝R，故该系统稳定！三、开环系统含有积分环节时奈氏判据的应用F(s)在S平面坐标原点有极点，用奈氏判据需对封闭曲线Gs
稍作修改。令曲线Gs在坐标原点附近以半径ε趋于零半圆绕过极点。当ω从0－沿小半圆变到0＋时，θ按逆时针方向从－90变化到＋90，G(s)H(s)在其平面上的映射为小半圆表达式：s
=
limee
jqefi
0mKsefi
0
evefi
0n-vvj
=1K
(ti
s
+1)G(s)H
(s)=
i
=1
=
(lim)e-
jvq
=
¥
e-
jvq(s
=
lim
ee
jq
)(Tj
s
+1)开环系统含有积分环节时的幅相曲线的绘制方法：绘制出除ω＝0→0＋以外的幅相曲线，即不考虑s取无穷小圆弧的 情况，其起点对应ω＝0＋；从G(j0+)H(j0+)开始，逆时针补画半径为无穷大的v90˚圆弧，不过， 曲线方向是逆时针，此时对应的ω是由0
→0＋。将这两部分衔接起来，得到含积分环节的开环系统的幅相曲线。图(a)(b)(c)分别表示v＝1
、2
、3时的系统幅相曲线系统稳定性的判断方法：含有积分环节时，通常只需绘制ω从0→∞时的开环幅相曲线，按其单边包围(－1，j0)的周数N（逆时针包围N为正，顺时针包围N为负）和开环传递函数在右半S平面的极点数P，再由公式Z＝P－2N确定闭环特征方程正实部根的个数。若Z为零，闭环系统稳定；否则，系统不稳定。N也可以定义为穿越次数。穿越次数的定义和计算：1.开环幅相曲线在GH平面通过(-1,j0)点左侧的负实轴称为穿越。2.
穿越次数的计算:N
=
N+
-
N-N+——正穿越＋半次正穿越N-——负穿越＋半次负穿越随ω增大，自下而上，称为负穿越随ω增大，自上而下，称为正穿越若开环幅相曲线逆时针起始或中止于(-1,j0)点左侧的负实轴，记为半次正穿越；若开环幅相曲线顺时针起始或中止于(-1,j0)点左侧的负实轴，记为半次负穿越。见下图：例5－9.
单位反馈系统的开环幅相曲线(K=10,P=0,v=1)图如下，试确定系统稳定时的K值范围。0
0ssvG(s)
=
K
G
(s)＝
K
G
(s)0jwG(
jw
)
=
10
G
(
jw
)解：幅相曲线与负实轴的3个交点设为：w1
,w
2
,w
3
，开环传递函数：G(
jw1)
=
-2,G(
jw2
)
=
-1.5,G(
jw3
)
=
-0.5K变化时，开环幅相曲线与负实轴的交点沿负实轴移动。设K分别为，幅相曲线与负实轴交点均在(-1,j0)点，则K1
,
K2
,
K3111G0
(
jw1
)
=
-1jwKG(
jw
)
=333G0
(
jw
3
)
=
-1jwKG(
jw
)
=222G0
(
jw
2
)
=
-1jwKG(
jw
)
=3320求得：
K1
=
5,
K2
=
,
K
=
20在0
<K
<K1,K1
<K
<K2
和K2
<K
<K3
,K
>K3
时，系统开环幅相曲线如下根据奈氏判据判断闭环系统的稳定性：0
<K
<K1,N
=0,Z
=0时，闭环系统稳定K1
<K
<K2
,N-=1,N+=0,N
=-1,Z
=2时，系统不稳定K2
<K
<K3，N+=N-=1,N
=0,Z
=0时，系统稳定K
>K3，N-=2,N+=1,N
=-1,Z
=2时，系统不稳定综上，系统闭环稳定时K值范围：30
<
K
<
5
和
20
<
K
<
20对数频率稳定判据是奈氏稳定判据的另一种形式，它利用开环系统的对数频率特性来判别闭环系统的稳定性。它可以通过试验获得，在工程上应用广泛。四、对数频率稳定判据幅相频特性曲线及其与对数频率特性曲线的对应幅相频率特性图上的单位圆对应对数幅频特性曲线的横坐标，即0分贝线；单位圆外区域对应L(ω)>0的部分，即0分贝线上区域；单位圆内区域对应L(ω)<0的部分，即0分贝线下区域。幅相频率特性图的负实轴对应于对数相频特性图上的－180˚线。L(ω)>0的区域内，曲线自下而上通过－
180˚线，为正穿越，曲线自上而下通过－180˚线，为负穿越。对数频率稳定判据：一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数右半s平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲线与－180˚线的正负穿越数之差
N
=
N+
-
N-
确定Z
=
P
-
2N若Z为零，闭环系统稳定；不为零，则不稳定。5.5
稳定裕度一、稳定裕度二、幅值裕度和相位裕度三、应用举例N一、稳定裕度由奈氏稳定判据，对于开环稳定(P=0)系统，根据开环幅相曲线相对(-1,j0)点的位置不同，对应闭环系统的稳定性也不同。幅相曲线靠近(-1,j0)点的程度表征了系统的相对稳定性，幅相曲线距离(-1,j0)点越远，闭环系统的相对稳定性越高。一、稳定裕度稳定裕度：系统在频域的相对稳定性。常用幅值裕度和相位裕度来度量。幅值裕度相位裕度截止频率的计算幅值裕度的计算N二、幅值裕度和相位裕度幅值裕度的定义幅值裕度的物理意义利用幅值裕度判断稳定性1.
幅值裕度系统开环相频特性为－180˚时，系统开环频率特性，所对应的频率wg
称为1gG(
jw
g
)H
(
jw
g
)K
=式中wg
满足j(wg
)
=
—
G(
jw
g
)H
(
jw
g
)
=
-180幅值的倒数定义为幅值裕度Kg相位穿越频率。1)
幅值裕度的定义幅值裕度Kg
的物理意义：对于闭环稳定系统，如果系统的开环增益再放大Kg
倍，则系统将处于临界稳定状态。幅值裕度的分贝表示：1ggG(
jw
g
)H
(
jw
g
)=
-20
lg
G(
jw
g
)H
(
jw
g
)=
20
lgK
(dB)
=
20
lg
K2)
幅值裕度的物理意义Kg
(dB)
>
0幅值裕度为正>1稳定系统：幅值裕度：K
g3)利用幅值裕度判断稳定性幅值裕度大的系统，其稳定性一般优于幅值裕度小的系统不稳定系统：幅值裕度：K
g
<1Kg
(dB)
<
0幅值裕度为负2.
相位裕度仅幅值裕度还不能充分表示所有系统的稳定程度。因此，引入相位裕度γ相位裕度的定义相位裕度的物理意义利用相位裕度判断稳定性A(w
c
)
=
G(
jwc
)H
(
jwc
)
=1系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角与180˚之和定义为相位裕度，所对应的频率w
c
称为系统截至频率。表达式：
g
=180
+—
G(
jwc
)H
(
jwc
)式中
wc
满足1）相位裕度的定义相位裕度γ物理意义：对与闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后γ度，则系统将处于临界状态。2）相位裕度的物理意义相位裕度γ从负实轴算起，逆时针为正，顺时针为负。稳定系统，其相位裕度γ为正，即γ>0；不稳定系统，其相位裕度γ为负，即γ<0。3)利用幅值裕度判断稳定性于是，闭环稳定系统，应γ>0，且负实轴以下。在波德图上，γ必在－180˚线以上，必在0dB线以下。在负实轴上。在波德图上，γ必在－180˚线以下，必在0dB线以上。稳定裕度越大，系统的稳定性越好，但是快速性下降Kg
(dB)闭环不稳定系统，应γ<0，且
Kg
<。1
在极坐标图上，
γ必Kg
(dB)Kg
>1。在极坐标图上，γ必在w
‡
wmm-1m-2m-12
1
2
20
lg
Am
(w
)(w
)
w
£
w
£
w20
lg
A
20
lg
A
(w
)
w
£
w
£
wL(w
)
=
1)
按分段描述的方法写出对数幅频特性曲线的渐进方程表达式，利用转折频率前的开环频率特性的渐近线计算。P148例14
20
lg
A1
(w
)
w
0
£
w
£
w13.截止频率w
c
的计算不成立，2)
按顺序求Ai
(w
)=1
之解ω，考查wi-1
£
w
<wi
是否成立。若成立，则
wc
=
w
停止计算；若
wi-1
£
w
<
wi则令i＝i＋1，重新计算Ai
(w
)=1。3.截止频率wc
的计算3)
wc
用于计算相位裕度，用试探法求。用于幅值裕度的计算方法2：根据系统的相频特性j(wg
)=-180出相位穿越频率wg方法1：将系统的开环幅相频率特性用实部和虚部表示，令虚部等于零，求出相位穿越频率wg
。4.穿越频率w
g的计算求其幅值和相位裕度1例系统开环传递函数G(s)H
(s)=s(s
+1)(s
+
2)解：由开环传递函数知P＝0，开环系统稳定，其Bode图如下图幅值裕度Kg
(dB)
=12dB
>1相位裕度
γ＝50˚>0系统稳定三、应用举例例开环传递函数试求：(1)
K＝5时，绘出对数幅频特性曲线，并求截至频率和相位裕度
(2)用频域分析法求出临界稳态K值。解(1)
K＝5，20lgK＝14dBω＝1，L(1)=14dB，过(14,1)点，向上画－20dB/dec的直线。ω＝1，曲线斜率变为－40;ω=10，曲线斜率变为－60.s(s
+1)(0.1s
+1)G(s)H
(s)=
K
Kwcwc截止频率：=
2.24c相位裕度：g
=180
-
90
-
arctan
2.24
-
arctan
0.1·
2.24=
-11.5=1
得w(2)计算幅值裕度令=
-180j(wg
)
=
-90
-
arctan
wg
-
arctan
0.1w
g53.1 3.12
+1 0.312
+1A(3.1)
=
=
0.473用试探法求得
wg=
3.1
在ω＝3.1时的幅值为0.4731=
2.112g由上式知，若开环增益增大2.112倍，K＝5×2.112＝10.56，则系统处于临界稳定状态。N则幅值裕度为
K
=—
系统的闭环频率特性二 开环频率特性与闭环频率特性的关系三 尼科尔斯图线四 非单位反馈系统的闭环频率特性5.6
系统的闭环频率特性一、系统的闭环频率特性1、开环用于细节分析、设计，闭环用于全面分析系统性能2、系统的闭环频率特性对于一个单位反馈控制系统，其开环频率特性：G(
jw
)
=
A(w
)e
jj
(w
)则闭环频率特性为jj
(w
))
A(
)e
G(
jw
wjj
(w
)=
M
(w
)ejj
(w
)1+
A(w
)e=1+
G(
jw
)F
(w
)
=其中，M(ω)为闭环幅频特性；α(ω)为闭环相频特性。一、系统的闭环频率特性3、闭环频率特性指标有：谐振峰值Mr谐振频率wr带宽频率wb剪切速度闭环系统的幅频特性曲线的一般形状谐振峰值闭环系统幅频特性的最大值，它反映系统相对稳定性。该值越大，系统超调量越大，系统相对稳定性比较差。通常在1.1－1.4谐振频率闭环系统幅频特性出现谐振峰值时所对应的频率，一定程度上反映系统瞬态响应速度。该值越大，瞬态响应越快。带宽频率闭环系统频率特性幅值M(ω)由其初始值M(0)减到0.707M(0)（或零频率分贝值以下3dB）时，所对应的频率。带宽越大，瞬态响应速度越快，但对高频噪声的过滤能力越差。剪切速度在高频时频率特性衰减的快慢。剪切速度越快，谐振峰值越大。一、系统的闭环频率特性11PAOA=
e
j[j
(w1
)-q
(w1
)]1+
G(
jw
)G(
jw1
)F
(
jw
)
=系统开环频率特性（
w＝w1
）G(
jw
)
=
OA
=
OA
e
jj
(w1
)11+
G(
jw
)
=
PA
=
PAe
jq
(w1
)1闭环频率特性据此求出不同频率所对应的闭环幅值和相角，得到闭环频率特性，从而绘制出闭环幅频特性曲线和闭环相频特性曲线。麻烦二、开环频率特性与闭环频率特性的关系三、尼科尔斯图线1、等α轨迹2、等M轨迹3、尼科尔斯图线Aejj
(w
)jaMe
=1+
Ae
jj
(w
)无法显示该图片。AeAjj
(w
)jaMe
=1+
Ae
jj
(w
)e－jj
(w
)
+
A＝=
AMe
j
(a
-j
)
+
MAe
ja等式两边虚部相等，则sin(a
-j)
+
Asin
a
=
0A
=
-
sin(a
-j)
=
sin(j
-a
)
sin
a
sin
a1.等α轨迹M
cos(a
-j)
+
jM
sin(a
-j
)
+
MA
cosa
+
jMAsin
a
=
A闭环频率特性：A
=
-
sin(a
-j)
=
sin(j
-a
)
sin
a
sin
a令α为常数，则上式是L(ω)～φ(ω)的一条曲线。对于不同的α值，可以绘出不同的曲线，这簇曲线称为尼科尔斯图线中的等α轨迹。1.等α轨迹M
-2
-1A1,2
=cos2
j
+
M
-2
-1cosj
–222=
01-
MM
21-
MM
2A
-
2
Acosj
-A
AA
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