2022数学课程标准解读及实践：关于“数感”的解析

2022数学课程标准解读及实践：关于“数感”的解析数感在二十世纪早期就被描述和研究了。1954年，Dantzig首次明确提出数感(Numbersense)的概念，并且将数感看作是对细小的数量变化的一种直觉感受。数感可以解释为个人对数字、运算以及数字和运算所产生的情境的一般性理解与认知，它包含能够以弹性灵活的方法发展解题策略以处理日常生活中包含数字与运算之相关问题，同时能够判断答案的合理性以及是否符合问题情境。世界数学课程改革关注“数感”研究，多个国家的数学课程标准中规定有“数感”的内容。笔者基于国内外已有文献，结合案例，对数感内涵进行深度解析，以提升小学数学教学素养。一、数感2001年、2011年出版的《义务教育数学课程标准》均提有“数感”这一概念。教育部发布的《义务教育数学课程标准(2022年版)》再次提出并明确指出：数感主要是指对于数与数量、数量关系以及运算结果的直观感悟。数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。即使小学生能够数数l、2、3⋯⋯10，这样的行为表现也许是语言模仿，并不表示他们已理解“数”的概念；但是当他们对着某些对象能够依序数数并正确回答数量，或者能够比较玩具个数的多少，表明他们理解了数的有序性与量的概念，表示获得“数”的关系性，这时表示他们学会了“数”的概念。数感包含数字、运算、数字与运算之间所产生关联的复杂组合。数感各项之间关系密切，显示出数感的多样性和丰富性。识别数感以明确定义、评价数感，将数感与其他技能和能力联系起来，促进数感应用推广。例如：当张明9岁时，他的身高是125厘米；当他30岁时，他的身高大约是多少厘米?请选择：①390厘米，②175厘米，③260厘米，④135厘米。小学生能感知100厘米、150厘米、200厘米的长度，直观察觉一般成人的高度是一百七十几厘米左右，而选择合理的答案为175厘米。学生必须相信数学是有意义并且可以在有关数的活动中发现意义，此种倾向会引导个体去判断结果的合理性。直观是直接的认知反应，不用经过太多思考过程，依据已有知识直观推理，很快出现的想法，仍有其合理性。直观是思维流畅的具体展现；直观让学生能摆脱数学形式规则的束缚，丰富学生在抽象层次上的观察力与想象力，灵活运用数学知识解决日常生活问题。学生将数学概念与自然现象、生活经验及过去所学概念关联，使用各种不同数字的变通形式，比较和排序数字，分解和组合数字，能创新多种不同的策略解决有关数字问题。对所解决的数学问题做出合理判断，即对数学性质和问题能适时地提问合理的结果是什么以及结果为什么是合理的，并适时调整解题策略。学生有良好的数直觉，对于数字有多种不同的看法，面临和数字有关的问题，能给出多种且与众不同的解题策略，学生能寻找多种不同的解题方式。学生了解数字运算的结果、能进行估算并判断其合理性以及数的合成与分解。学生领会生活中涵盖数字与运算的相关问题，能够使用灵活与弹性的方法解决数字与运算问题，并能判断答案合理性。学生在日常生活情境中，会判断他所计算出的结果。实际情境可以提供重要线索帮助学生直观判断计算结果的合理性。二、理解数感(一)能够在真实的情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序在常规教学中，教师利用与生活情境相关联的问题开展教学。学生透过具体模型或实践活动协助学生认识数与运算的关联：知道学校礼堂的主席台上无法站上2000个人；一般人无法背起200公斤的重物，或一般的教室无法站立1000个人。学生能理解数字本身的意义，理解位值制的内涵。小学生学习整数计数系统：一种用于书写(如9、19、90)；另一个用于说话(如九、十九、九十)。前者具有句法特点，国际通用；后者具有自己国家特定语言的语法和句法特征。位值制概念是小学初期阶段最困难且最重要的教学任务[6]。位值制概念既是计数系统的特性，也是记录及书写多位数字的规则。教师只是教学生解决数的计算，不强调理解位值制，这会阻碍学生数感的发展。有的学生数数时，从29直接数到40、从50直接数到61，或者从300直接数到401、从309直接数到了400[8]。出现这样的错误，表明学生对两个数位之间的十进制关系的认识不足，认为以十为单位的计数会产生一个最左位数递增；或者知道一个位置不超过十个单位的位值制原则，因此在将计数增加一个单位时，将个位中的数字“9”替换为“0”。学生不知道如何表示十的结转值，错误地在十位数上加了两个单位(从29直接到40；或者在百位上加一个单位，从309直接到400)，这表明学生对两个位置之间的十进制关系理解不深刻。学生根据数字与运算的属性探寻新的策略，以便进行运算，能对数字进行分解与合成，运用不同表征解决问题。利用数的合成及分解、在各种表征之间弹性转换，找寻有效解决问题方法。这种数的合成及分解和位值概念有密切的关系，因为大部分的合成及分解都与位值有关，例如，计算36×25可将36分解为9×4×25=9×100=900。结合真实情境，学生对于数字系统中有理数(包含整数、分数、小数等)所代表的意义及其基本结构能有充分的理解，包含数字型态、位值概念与十进制系统等。例如：用9、7、5、4、1排成最小的五位数(数字不重复排列)，请问哪个数字应该放在个位数?以有意义的方式将数字、运算与符号关联，例如知道357×6也可以写成300×6+50×6+7×6。能够正确排序数字大小。试比较0.48、8/15、17/16的大小。17/16的值大约为比1大一点点的数，8/15可以被视为比一半(1/2)再多出一点点的数，又0.48＜0.5=1/2，17/16>8/15>0.48。认识有理数的稠密性(小数、分数之间的数)。例如：知道0.8与0.7间存有0.711、0.712、0.713、0.714⋯等无限多个小数；能理解1/7和1/9之间不只唯一存在1/8，而是存在无限多个数。知道618×0.499比618的一半还小一点点。(二)能在简单的真实情境中进行合理估算，作出合理判断1.合理估算。估算是个体未经过精确计算而只借助原有知识对问题提出粗略答案的一种估计形式，是心算、数概念和算术计算技巧之间相互作用的过程。牛津大学的Dowker对整数加法和乘法的估算研究发现有7种主要的估算策略，分别是截取、取整、先补偿、后补偿、分解、转换和猜测。Lemaire等学者用三位数加法题目对五年级学生在计算估算中的策略进行了考查，研究发现4种主要的估算策略：分解的凑整、不分解的凑整、截短和补偿，凑整策略使用最频繁，截短是表现最快的策略，补偿策略表现最慢但产生的结果最精确。估算包括三种基本的思维过程：数据重塑、算式转换、盈亏互补。(1)数据重塑是指改变数据或数据类型以达到简化计算目的的思维过程，比如，将题目中某些数字向最近的整十、整百、整千调整，计算927÷46时，对927和46取大约值，得到900和45，接着计算900÷45，就可以得到估算答案20。再比如，计算21.2×4.18时，对21.2和4.18取大约值，由小数改为整数，得到20和4，接着计算20×4，得到估算结果80，这一思维过程将注意力更多放在参与运算的数据方面，对参与运算的数找到便于计算的关系，调整数据大小，或者对题目中的数字进行取舍，只保留几位数字并补零，再进行估算。(2)算式转换是指改变问题的算式结构或运算顺序以利计算的思维过程，比如，计算522+474+483时，发现三个数据都接近500，可以对三个数据都取大约值500，这时改加法为乘法500×3，就能够通过改变算式结构得到估算值1500，这一思维过程将注意力更多放在算式结构和运算顺序方面。计算447×6÷53时，对447和53取大约值450和50，接着调整运算顺序为450÷50×6，快速得到估算结果54。(3)盈亏互补是指在数据重塑或算式转换之中或之后，根据实际情况对估算结果进行适当调整以达成估算目标的思维过程，比如，比较320×189与64000的大小时，取189的大约值为200，接着计算320×200，得到估算值64000，因200比原数值大，因此320×189的实际值一定比64000小，这一思维过程与问题背景和问题目标是紧密关联的。通过比较估算值和实际值的大小，弹性变更估算值，提高答案精确度。2.合理判断。针对不同的问题情境，学生能依据题意的需求进行有效的判断，并能发展最合适的解题策略，具备检验答案合理性的能力。能透过估测、情境及对数字意义与运算的理解去判断答案的合理性。由于平时数学学习忽略判断合理性的重要性和实用性，许多学生在判断计算结果的合理性时遇到困难。学生理解数学问题解决方法有困难，而判断计算结果合理性的能力较差可能会加剧这种困难。学生解决问题以后能用回应情境、设想特例、估计或不同方式说明解答的合理性；能用解题的结果阐释原来的情境问题；重新评估原来的转化是否合适；能判断日常生活的情境中数字的合理性。例如：一根旗杆有11层楼高，大约是多少米?具备数感的人知道一层楼的高度约3米，所以旗杆的高度大约是33米。在测试“534.6×0.545=291357”中，要求学生决定小数点的位置时，由于534.6与0.545总共有4位小数点，所以学生不假思索地选择答案为29.1357，但是他们未曾仔细思考0.545约为0.5乘以五百多大约为二百多至三百不可能为二十九点多。(三)能初步体会并表达事物蕴含的简单数量规律拥有数感者要能掌握数的量感，并利用合乎规范的口语或符号表征数字与运算关系的联结，而这也是数感教学的核心之一。McIn-tosh等人指出，一个具有良好数感的学生应能在不同情境中弹性地应用运算的性质来解题；或能连结不同运算间的关系发展出多样化的思考与解题方法[17]。能了解并善用运算中交换律、结合律、分配律等特性，来简化运算的步骤或发展运算的策略。例如：使用结合律解4×36×25=(4×25)×36=36×100=3600。如图1，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。幻方的奇妙之处：如图2，让学生用顺时针与逆时针方向旋转构建出两组数(都是八个两位数)，这样构建出的两组数竟然相等(两组数的和为165)，十分奇妙。但更奇妙的是，它们的平方和、立方和竟然也对应相等。学生不仅发现幻方数的规律，经过观察、比较，还发现顺时针与逆时针方向旋转构建出幻方两组数的规律，学生欣赏“平凡数字中的神奇之美”。(四)数感是形成抽象能力的经验基础数量是对现实生活中实物量的抽象。把握事物关于数量的本质，把繁杂问题简单化；去掉事物具体内容，利用符号和关系术语清晰表达，表述已简约化事物的数量关系；通过假设和推理，在一般意义上描述一类事物的特征或规律。数感是一种高层次、开放性的思考历程，也是一种推理能力，个人在面对和数字有关的问题时，能将数字意义化，可以采用多元的解题策略来解决和数字有关的问题。数量概念包含一一对应关系的原则，学生能理解对一堆物体用数字来表示的过程，如：给小学生一堆棋子，他一个一个点完数之后，能够说出共有几个棋子。学生将一个一个分离的对象转化为一个群组，能改善他们对基数意义的认识；以群组为基础进行计数，增进学生认识数字之间的关系，能变通性地处理有关数量问题。学生具有良好的笔算能力并不代表他们能发展良好的数感，他们对运算法则背后所蕴含的数学意义很可能一知半解。发展学生数感是启动代数思维的关键元素，促进学生将纯粹的算术情境转化为代数思维特征的符号语言。由于数字与运算本身是抽象的，其意义在于我们所赋予它的价值，学生透过设计良好的教学活动，才能思索数字与运算间的关系。数字知识是掌握数字组合、解决应用题和抽象数字关系的重要前提。学生可以利用数字关系来简化计算，例如，理解加法和减法之间的关系，可以帮助学生运用互逆关系更流畅、更灵活地进行计算[20]。计算流畅性是指快速、准确、轻松地进行基本运算并灵活应用的能力，是解决数学问题的重要能力。数感和计算流畅性之间的关系相当密切。数感的基础就在于学生本能地直觉及确信数学是有意义的，认知数学不只是概念、公理、法则的集合，探寻多种方法解决问题，提高数字的分解与合成的能力，例如计算36×25=?可以直接竖式计算；还可以分解为9×4×25=9×100=900。学生能够判断结果的合理性，从学习数学中获得自信。理解不同的数字系统在多种数学情境中会相互影响，形成不同的结果。例如：使用口算来计算9公斤减去3.96公斤时，能理解9－3.96的意思，并灵活地将算式中9先减掉3，再用得到的6减掉0.96，简化运算过程并得到答案是5.04公斤。

三、建立数感的意义建立数感有助于学生理解数的意义和数量关系，初步感受数学表达的简洁与精确，增强好奇心，培养学习数学的兴趣。具有良好数感的人会表现出熟练运用各种问题解决策略，选择这些策略取决于所涉及的具体数字，决定如何进行特定的心理计算或估算。学生在数学学习上遇到困难，或能力低落的根本原因在于数感的不足。算术运算建立在数感能力上，学生的数感能力与从小到大的数学成就有相关。学生能利用数字、运算及数字与运算之间的特殊关系，或使用不同的数感特性，针对不同问题情境发展出最有利的解题方法或策略。例如：解决类似1000－864问题时，能使用864往上数36就是900，再多100即为1000之思考策略解题，轻易地得到答案为136。一个具备数感的人，会知道所处的环境有何种资源可用、何种物品容易取得、如何弹性地组