函数的最值和导数在经济中的应用

(1)定义3.4.1函数的最值最值的定义如果函数f（x）在其定义域[a，b]上的函数值满足其中则称为函数的最小值，为函数的最大值。

3.4函数的最值与导数在经济中的应用3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.1函数的最值我们知道，连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只可能在区间内的极值点和端点处得到．因此可直接求出一切可能的极值点（驻点及个别不可导点）和端点处的函数值，比较这些数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值。3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3.4.1函数的最值

如果函数在上单调增加，则函数的最大值和最小值分别是什么？?3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3集.沈4老.裕1色函组数扁的雷最惭值如图１所示，如果在上单调增加，则函数的最小值是，最大值是。xyoab3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3请.郊4樱.肆1稼函运数浮的东最样值

如果函数在上单调减少，则函数的最大值和最小值分别是什么？?3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3虚.理4辣.魄1哨函能数技的罪最显值如右图所示，如果在上单调减少，则函数的最小值是，最大值是。xyoab3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3将.尝4星.滨1系函屈数邻的飘最夜值在什么情况下函数的极大值一定是最大值，在什么情况下函数的极小值一定是最小值?3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3嗓.羽4梦.波1籍函廉数产的如最脏值3.4函数的最值与导数在经济中的应用如果连续函数在上仅有一个极大值而没有极小值，则此极大值就是在上的最大值，如右图所示。xyoabx0f(x0)(2)引子3痰.赤4椒.掀1烈函巷数蒙的汪最阻值3.4函数的最值与导数在经济中的应用如果连续函数在上仅有一个极小值而没有极大值，则此极小值就是在上的最小值，如右图所示。xyoabx0f(x0)(3)举例3派.葛4裤.范1烦函应数伍的沙最避值3.4函数的最值与导数在经济中的应用例１求函数在上的最值。解良：因为令得驻点（不合题意舍去）由于比较各值，得函数的最大值为最小值为(3)举例3其.食4咸.抽1组函立数治的雪最闹值3.4函数的最值与导数在经济中的应用例２求函数在上的最大值和最小值。解楼：因为显然与是的不可导点，令，得驻点为，比较各值，得函数最大值为，最小值为。(刘4魄)训摩练即题骡一3绸.堡4慌.锋1呼函调数舌的诱最息值3.4函数的最值与导数在经济中的应用1.求函数在上的最大值和最小值。答泉案档：兆最歇大熔值禁f菌（铺-呼1仔）巩=宴1雄0孟，像最伸小走值卷f欢（遣3趴）盖=妈-冠2岗2(1)举例3颈.乳4徒.徐2殃最愁值芝在址经姑济醋问袜题拣中钩的插应赚用喘举预例3.4函数的最值与导数在经济中的应用设某产品的总成本函数为（元）（ｑ为产品的产量），求当产量为多少时，该产品的平均成本最小，并求最小平均成本？解升：该爆产逆品州的饿平剃均季产多品招函逝数侍为令，即

求得唯一驻点，所以在处取得最小值，最小值为例３

又因为3.4函数的最值与导数在经济中的应用(柱2省)训役练纷题老二3昨.版4逮.裳2坟最揉值筋在辞经缩慧济此问杏题模中珠的舍应布用漠举寸例1.设某产品的价格与需求的关系为，总成本函数（元），求当产量和价格分别是多少时，该产品的利润最大，并求最大利润．答绍案日：变当贺产异品稍为息2河5源0管个爹单师位骑，怜价鼓格母为膨1呈7舱5炸元凡/难单赔位饥时骗，利敢润克最补大睁，轿最鲁大挂利消润紫为嫁1编6创9杀5鼠0霞元常．(1)定义3路.揭4础.枣3沫导缓数棍在鉴经练济芦分吩析疯中省的颂应旁用3.4函数的最值与导数在经济中的应用1麻.炸边相际农与忠边健际科分励析定旨义袖3类.谣2

边际函数反映了函数在点处的变化率。设函数在点处可导，则导函数称为函数的边际函数。也称为函数在处的边际函数值。3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3况.避4消.寒3絮导房诚数垄在芳经堡济翻分胸析魂中隆的询应烧用1轨.伏边甜际味与弱边粮际镰分休析因为，当，时有因此，函数在点处的边际函数值的具体意义是，当在点处改变一个单位时，函数近似地改变个单位。3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3傻.球4稻.缴3企导考数漂在逮经镇济唇分葬析惕中巧的厅应障用1联.订边闹际笼与配边置际疫分相析例４

求函数在点处的边际函数值。解涨:即边际函数值为14。它表示函数在处，当改变一个单位时，函数近似地改变14个单位。因为所以3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3谎.联4练.鸦3溉导教数估在尿经舅济死分慈析脱中今的絮应括用2困.终边遍际村函滥数补在徐经货济己学贡中点的肥应糕用边廉际为需珠求婚的菜定类义设需求函数在点处可导（其中为需求量，为价格），则其边际函数称为边际需求函数。简称边际需求。3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3布.河4邪.球3迎导碍数森在约经识济堡分供析彻中茎的毯应铅用边忙际葵供盈给郊的距定唇义

若供给函数在点处可导（其中为供给量，为价格），则其边际函数称为边际供给函数。简称边际供给。2办.染边陕际巩函耽数盼在厨经正济眠学则中吃的家应节用3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3也.岔4奥.阿3胃导乐数皇在铃经纹济趋分茄析司中挠的滤应蠢用边炒际茫成觉本拦的绝定刷义设成本函数可导（其中表示总成本，表示产量），则其边际函数称为边际成本函数，简称边际成本。称为当产量为时的边际成本。其经济意义为：当产量达到时，如果增减一个单位产品，则成本相应增减个单位。2孙.浩边键际霉函跟数督在贤经污济高学钻中贷的纪应喜用3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3辟.虽4晋.阴3毙导幻玉数姓在养经获济守分此析稳中筛的内应委用边银际句收点益吹的细定丈义设收益函数可导（其中表示收益，表示商品销售量），则其边际函数称为边际收益函数，简称边际收益。称为当商品销售量为时的边际收益。经济意义：销售量达到时，如果销售量增减一个单位产品，则收益相应增减个单位。2雨.冲边蚀际据函扔数肃在姻经谢济调学柄中陵的藏应拼用3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3汁.巾4垒.肤3已导意数物在兼经娘济摘分法析骑中退的墙应凳用边晋际旺利怎润咸的捐定块义设利润函数可导，则其边际函数称为边际利润。称为当产量为时的边际利润。经济意义：当产量达到时，如果增减一个单位产品，则利润相应增减个单位。2谈.迁边惧际里函咬数烫在停经推济踏学月中姻的过应刺用3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3失.煌4钢.纸3痒导狭数仔在务经梅济提分期析笑中冰的饰应彩用2后.晕边令际究函利数葵在帆经巾济词学访中征的铅应缴用例５

设总成本函数（元），求：⑴边际成本函数；⑵生产50个单位时的平均单位成本，和边际成本值，并解释后者的经济意义。⑵q=50时的平均单位成本为⑴边际成本函数为解：q瓣=怜5弦0涨时忘的织边裤际呀成混本随为经湿济帐意挽义亡：那当议生丽产侦达梅到采5阵0络个马单坑位探产讯品乒时赤，粉如暑果捧再衰多稼生奋产爽1旧个颜产罚品沿所祥最汇加伪的净成漆本挥为充1岔7杨.险5浙元猛。3.4函数的最值与导数在经济中的应用(3)训练题三3杀.滤4员.愈3手导酿数珍在狱经辩济艰分泡析投中吐的堡应学用2下.芦边贱际叫函塘数雅在邮经五济漠学爷中比的辉应线用

某工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C（元）是日产量x（吨）的函数：

求当日产量为100吨时的边际成本，并解释经济意义。答案：边际成本：经济意义是：当产量是100吨时，每增加1吨产量，成本增加9.5元。3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3怠.畏4塔.渗3逼导耳数只在廉经扶济莫分片析检中知的嚼应龙用3脾.榜弹乱性片函贴数定约义辛3颗.精3

设函数在点处可导，称极限为函数的弹性函数，记为，即

3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3驻.美4密.歇3尾导腊数辅在叮经散济来分去析粮中丹的悲应亭用3丛.挡弹添性姑函仅数在点处，弹性函数值称为函数在点处的弹性值，简称弹性。它表示在点处，当变动1%时，的值近似地变动。3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3岩.辅4苗.呼3岂导照数案在霸经言济扎分辫析应中益的毛应基用3河.练弹括性临函炉数例６设函数，求其弹性函数以及在处的弹性。解：因为所以弹性函数于是，3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3戚.絮4净.产3傍导耐数映在朵经滩济浪分灵析萝中坊的碎应胀用4毒.疑需伶求恰弹稀性让和帜供固给迷弹党性定框义妄3硬.乡丰4设需求函数在处可导，则称为该商品在处的需求弹性，记作或，即3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3堪.奥4循.截3时导比数悔在逼经崖济嚷分胞析例中财的彻应照用4刚.压需极求业弹核性斯和包供虎给街弹态性定陕义铺3区.蠢5设供给函数在处可导，则称为该商品在处的供给弹性，记作或，即3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3艰.皱4给.置3闯导理数烤在牵经捉济曾分并析霞中彼的组应刷用4瞎.碧需谁求肆弹醒性裙和义供骂给拒弹轰性例７设某商品的需求函数为，求⑴需求弹性函数；⑵时的需求弹性，并说明其经济意义；⑶时，价格上涨1%，其总收益增加还是减少？变化的幅度是多少？⑷当取多少时，总收益最大？3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3望.面4然.己3为导站数下在羽经系济恼分绵析冻中纲的耀应劳用4晨.互需忠求舍弹波性谈和挣供嘱给被弹低性⑴需求弹性函数：解：因为需求函数为，总收益函数为⑵当p=4时的需求弹性这续说疏明丢，飞在析p琴=拆4导时予，咏价丑格她每刚上茧涨嫩1怖%愈，修则唯需蒙求咳减辣少探0失.