高等数学实验chapter

第五章 应用微积分预备知识：微积分的基本概念数值微积分MATLAB命令计算实验：数值微积分建模实验：奶油蛋糕习题5.1

预备知识：微积分的基本概念1、极限和连续2、微分和导数3、多元函数微分学4、积分1、极限和连续数列极限："e>0,$

N>0

，使当n>N时，有xn

-a<e，则连续：如果当xfi

x0时，有f(x)fi

f(x0)，则称

f(x)在x0连续。闭区间上的连续函数必有最大值和最小值。nfi

¥函数极限：如果当xfi

x0时有f(x)fi

A，则lim

xn

=

alim

f

(

x)

=

Axfi

x00函数f(x)在点x=x

的导数为h0'

00f

(x

)

=

limf

(x

+

h)

-

f

(x

)hfi

0函数在x0处切线的斜率若f(x)在x0可导则在x0可微，dy=Adx当f’(x0)>0,函数在x0点附近是上升的；当f’(x0)<0,函数在x0点附近是下降的；当f’(x0)=0,x0为驻点,若x0为驻点且f”(x0)<0(或f”(x0)>0)，则f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小）2、微分与导数当n=0

得，微分中值定理f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)其中x是x0与x之间某个值Taylor公式：当f(x)在含有x0某个开区间内具有直到n+1阶的导数，n!f

''

(x

)f

(n)

(

x

)0

0

00f

(

x)

=

f

(

x

)

+

f

'

(

x

)(

x

-

x

)

+

0

(

x

-

x )2

+00(

x

-

x

)(n+1)+

0

(

x

-

x )n

+2f

n+1

(x)(n

+1)!设f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义，当(x,y)以任何方式趋向于(x0,y0)时，f(x,y)趋向于一个确定的常数A，则lim

f

(x,

y)

=

Axfi

x0yfi

y0若

A=f(x0,y0),

称f(x,y)在(x0,y0)

点连续；f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数分别定义为：0

0f

y'(

x0

,

y0

)0000f

x'

(

x0

,

y0

)

=)

-

f

(

x0

,

y0

)limDxfi

0=

limDyfi

0f

(

x

+

Dx,

yDxf

(

x

,

y

+

Dy)

-

f

(

x

,

y

)Dy3、多元函数微分学abnlimmax(

Dxi

)fi

0

i

=1

f

(

x)dx

=

f

(xi

)Dxi其中a=x0<x1<…<xn=b,Dxi=xi-xi-1,xi˛

(xi-1,xi),i=1,2,…,n若在[a,b]上,

F’(x)=f(x),

则二重积分定义为i

ji

j

f

(x,

y)dxdy=Gmax(

Dx2

+Dy2

)fi

¥lim

f

(xi

,h

j

)Dxi

Dy

j4、积分函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为baf

(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)5.2

数值微积分MATLAB命令1、数值差分2、数值导数和梯度3、梯形积分法4、高精度数值积分5、重积分1、数值差分n维向量x=(x1,x2,…,xn)的差分定义为n-1维向量Dx

=(x2

-x1,x3

-x2

,...,xn

-xn-1

)diff(x)如果x是向量，返回向量x的差分如果x是矩阵，则按各列作差分。

k阶差分，即差分k次diff(x,

k)>>

A=[1

3;5

2;6

5;77],B=diff(A),C=diff(A,2)A

=B

=C

=134-1-3452130-1651277q=polyder(p)求得由向量p表示的多项式的导函数的向量表示q；Fx=gradient(F,x)返回向量F表示的一元函数沿x方向的导函数F’(x)，其中x是与F同维数的向量；[Fx,Fy]=gradient(F,x,y)返回矩阵F表示的二元函数的数值梯度(F‘x,F’y),当F为m×n矩阵时,x,y分别为n维和m维的向量；quiver(X,Y,U,V)在(X,Y)平面点上，画(U,V)表示的方向箭头；2、数值导数和梯度的方向导数图>>

xa=-2:0.2:2;ya=-2:0.5:2;[x,y]=meshgrid(xa,ya);>>

z=x.*exp(-x.^2-y.^2);>>mesh(x,y,z)>>

[px,py]=gradient(z,xa,ya);>>

contour(x,y,z),hold

on,>>quiver(x,y,px,py),hold

off2

2例：画函数

z

=

xe-x

-y3、梯形积分法trapz

是最基本的数值积分方法,精度低。z=trapz(x,y)返回积分的近似值，其中x表示积分区间的离散化向量;y是与x同维数的向量,表示被积函数。例21-12e

dx-x解：>>clear;

x=-1:0.1:1;y=exp(-x.^2);>>trapz(x,y)4、高精度数值积分quad(Fun,a,

b)

自适应步长Simpson积分法求得

Fun在区间[a,b]上的定积分，Fun为M文件函数句柄或字符串内嵌函数z=quadl(Fun,a,b)高精度Lobatto积分法。格式同quad。注：trapz,

quad,

quad1：一元函数积分；点运算；不能用于求广义积分。例：>>

z=quad(inline('exp(-x.^2)'),-1,1)>>

z=quadl(inline('exp(-x.^2)'),-1,1)z

=1.4936点运算5、重积分z=dblquad(Fun,a,b,c,d)

求得二元函数

Fun(x,y)的矩形区域重积分，Fun为M文件函数句柄或字符串内嵌函数。a,b为变量x的下上限；c,

d为变量y的下上限。z=triplequad(Fun,a,b,c,d,e,f)

求得三元函数Fun(x,y,z)的重积分,格式类似dblquad。例2、计算重积分

2

20

-2x

exp(x

2

+

y

2

)dxdy

p

1

10

0

-1(

y

sin

t

+

z

cos

t)dtdydz>>

clear;fun=inline('x.*exp(x.^2+y.^2)','x','y');>> dblquad(fun,0,2,-2,2)>>

fun=inline('y.*sin(t)+z.*cos(t)');>>

triplequad(fun,0,pi,0,1,-1,1)1、数值微分2、导数、单调性与极限3、梯形积分法4、变步长积分法5.3

计算实验：数值微积分1、数值微分若f(x)在x=a可导,设h>0且足够小，则称中心差商hf

'

(a)

»

f

(a

+

h)

-

f

(a)hf

'

(a)

»

f

(a)

-

f

(a

-

h)f

'

(a)

»

f

(a

+

h)

-

f

(a

-

h)2h向前差商向后差商>>

clear;x=[1

1.1

1.2

1.3];y=x.^3;

dy=diff(y)./diff(x)dy=3.3100

3.9700

4.6900向前差商>>

dy=gradient(y,x)dy=3.3100

3.6400

4.3300

4.6900梯度求解－中心差商>>3*x.^2验证ans

=3.0000

3.6300

4.3200

5.07002、导数、单调性与极值当f

’(x0)>0,函数在x0点附近是上升的，f

’(x0)<0,函数在x0点附近是下降的；函数在x0点达到局部极大(或局部极小)的充分条件是f

’(x0)=0且f’’(x0)<0(或f’’(x0)>0)例3、考虑函数f(x)=x2cos(x2+3x-4)在[-2,

2]内的图象特征。>>

clear;fun='x.^2.*cos(x.^2+3*x-4)';>>

fplot(fun,[-2,2]);grid

on;hold

on;>>

h=0.01;x=-2:h:2;df=diff(eval(fun,x))/h;>>

plot(x(1:end-1),df,':r')X=-2:h:2时，fun的值X的前n-1个元素组成的向量abxnif

(

x)dxxi-1f

(

x)dx

=

i

=1在[xi-1,xi]上f(x)近似为一直线，用弦线代替，则xixi

-12i-1

ibf

(x)dx

»

xi

-

xi-1

(

f

(x

)

+

f

(x

))

a

x

xi-1

i3、梯形法积分设f(x)在[a,b]上大于0，且a=x0<x1<……<xn=b,则4、变步长积分法function

[t,n]=trapz_v(fname,a,b,tol,N)if

nargin<5,

N=1e+10;endif

nargin<4,

tol=1e-4;endfa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);h=b-a;t=h*(fa+fb)/2;t0=t+2*tol;n=1;while

abs(t-t0)>tol

&

n<=Nt0=t;x=(a+h/2):h:b;f=feval(fname,x);t=t0+h*sum(f);t=t/2;h=h/2;n=2*n;endif

n>N,warning('Iteration

exceeds

limit');end某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型，学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5,

0<h<1(单位：米)。蛋糕的成本取决于蛋糕的重量和表面积（底面除外），问如何计算重量和表面积？5.4

建模实验：奶油蛋糕解：设高为H，半径r,比重为k若蛋糕是单层圆盘的，则蛋糕的重量和表面积分别为：W=kpHr2

S

=

2pHr+pr2若蛋糕是双层的，每层高H/2，下层半径r1,上层半径r2，则W=kpH(r12+

r22)/2S

=

pH(r1+r2)+pr22如果蛋糕是n层的，每层高H/n，半径分别r1,…,rn,则rHr1r2HnrinW

=

kp2i

=1inHr

fi

kHW

=

kp

np2i

=10r

2

(h)dhni

ni

=12HS

=

2p

nr

+

prinnHi

=1202HS

=

2p

nr

+

pr

fi

2p

r(h)dh+

pr(H)若蛋糕边缘是曲线r=r(h),

0<h<H，各层半径近似为

ri

=r((i-1/2)H/n),

i=1,…,n,

那么当nfi

¥，例4、一半径为5m的球形水罐充满了水，底部有一半径为b=0.1m的小孔漏水，问多少时间以后，水面下降至离底部0.5m?解：水从孔漏出的速度由下列能量方程决定g(z+R)=u2/2

，

u是速度,z表示从球心测量的水面高度,

g为重力加速度。考虑在时间dt内水面变化dz，漏水的体积为uAdt=

-

px2dz其中x为高度z水面的半径,A=pb2由于R2=z2+x2得dt=-

RRR

-

zdz

=

0.5-R

b22

20.5-Rb2R

2

-

z

2dz2g(z

+

R)2g(z

+

R)在顶部z=R水降到0.5m时，z=0.5-R，从而t=-dzb2R

2

-

z

22g(z

+

R)5m0.5m05.5

扩展实验：计算机可信吗1、计算机的局限性2、广义积分广义积分数值求解是一个较困难的问题，通常数值积分方法都不适用。例5(无界域积分)计算积分I=¥-¥exp(sin

x

-

x

2

/100)dx例6、(奇点积分)计算积分I=dxx

(exp(

x)

+

1)013、重积分重积分的数值计算可通过单积分组合计算I

=Af

(

x,

y)dxdy

=dxf

(x,

y)dya c(

x

)b

d

(

x

)我们利用梯形法，先将[a,b]区间m等分，hx=(b-a)/m,x