复习参考题人教A版 新教材

复习参考题4一．解答题1.根据下列数列的通项公式，分别作出它们的图象.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据数列的通项公式求出它的前几项，从而作出它们的图象.【详解】（1）的前5项分别为：，如下图所示：（2）的前4项分别为：，如下图所示：（3）的前5项分别为：3，，如下图所示：（4）的前5项分别为：-1，，如下图所示：2.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式.（1），，，；（2），，，；（3）0，，0，．【答案】（1），；（2），；（3），．【解析】【分析】（1）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可；（2）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可；（3）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可．【详解】（1），，，，观察每一项的分子是连续的奇数，分母是，，；（2），，，，观察每一项的组成是1加或减一个分数的形式，分数的分子是连续的奇数，分母是连续偶数的平方，，；（3），，0，，该数列可化为，，，；，．二．选择题3.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（）A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 C.摆动变化 D.不变【答案】B【解析】【分析】根据题意，可知为预测期内年增长率，当，可知年增长率为负，由此即可求出结果.【详解】由题意，为预测期内年增长率，如果在某一时期有，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.故选:B.4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，依题意可得，，，，解得，.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.5.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，所以为首项为，公比为的等比数列，.故选：B.三．填空题6.已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________．【答案】①.5②.【解析】【分析】由等差中项与等比中项计算即可.【详解】若a，b，c三个数成等差数列.所以.若a，b，c三个数成等比数列.所以故答案为：5，.7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________【答案】3【解析】【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.四．解答题8.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元．他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行了多少天？【答案】16【解析】【分析】由题意知每天得到的捐款成等差数列，写出首项与公差，代入前项和公式，即可解出答案.【详解】由题意知：每天得到的捐款成等差数列.且则化简得：舍.故这次募捐活动一共进行了16天.9.某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付38圆；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此类推：第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍），你会选择哪种方式领取报酬呢？【答案】见解析【解析】【详解】，，．下面考察，，的大小．可以看出时，．因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式，时，，，因此，选用第三种付费方式．10.非零实数a，b，c不全相等．（1）若a，b，c成等差数列，，，构成等差数列吗？你能用函数图象解释一下吗？（2）若a，b，c成等比数列，，，能构成等比数列吗？为什么？【答案】（1）不构成（2）构成【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式为一次函数模型即可判断.（2）根据等比中项判断即可.【详解】（1）不成等差数列.可以从图像上解释.a，b，c成等差数列.则通项公式为的形式，且a，b，c位于同一直线上，而，，的通项公式却是的形式，，，不可能在同一直线上，故，，不是等差数列.（2）成等比数列.因为a，b，c成等比数列，有，又由于a、b、c不为0，两边同取倒数有：.所以，，为等比数列.11.小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，于2017年元旦在某银行存入10000元，并在后续每一年的元旦都在该银行存入1200元，直到2022年存入最后一笔钱为止．如果银行的存款年利率为2．75%，且以复利计息，那么小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出时，能取到多少钱？【答案】元【解析】【分析】根据复利计算即可得出答案.【详解】由题意得，小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出的钱数为：（元）即能取到元.12.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．（1）当时，试确定使得需要多少步雹程；（2）若，求m所有可能的取值集合M．【答案】（1）12；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用递推关系逐步计算可得使得需要多少步雹程；（2）由，利用递推关系，分类讨论逆推出的不同取值，进而可得答案.【详解】当时，即根据上述运算法得出：故当时，使得需要12步雹程；（2）若，根据上述运算法进行逆推，或；若，则或；当时，或；若时，或；当，则或；当时，；当时，，故所有可能的取值集合．13.已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出,则可写出其通项公式.（2）利用错位相减，化简解可得出答案.【详解】（1）由题意知：，即：化简得.所以数列的通项公式.（2）因为所以化简得：.14.已知等比数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式．（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）不存在【解析】【分析】（1）由题意知为等比数列，取代入等式即可解出，即可写出.（2）根据题意结合第一问先写出的通项公式，假设存在，解出m、k、p结果与题意矛盾,则不存在.【详解】（1）由题意知：当时：①当时：②联立①②，解得.所以数列的通项公式.（2）由（1）知，.所以.所以.设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.则，所以，即.又因为m，k，p成等差数列,所以所以化简得所以又，所以与已知矛盾.所以在数列中不存在3项，，成等比数列.15.类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“-”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立．（1）根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式；名称等差数列等比数列定义通项公式常用性质①…②③④①②③若，则④（2）在等差数列中，若，则有．相应地，在等比数列中，若，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明．【答案】（1）答案见下表；（2）等式见解析；证明见解析；【解析】【分析】（1）根据将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“-”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立．类比推断出相关的对偶关系式即可；（2）类比推测出对偶的等式，并根据等比数列性质进行证明即可.【详解】（1）根据上述说法，参照给出的信息推断出相关的对偶关系式如下表：名称等差数列等比数列定义通项公式常用性质①…②③若，则④①②③若，则④（2）类比推测出对偶的等式知，在等比数列中，若，；证明如下：由等比数列性质知；；故当，即时，；则同理当，即时，综上所述：16.在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．记第n堆的乒乓球总数为．（1）求出；（2）试归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式探求的表达式．参考公式：．【答案】（1）10；（2）；；证明见解析；【解析】【分析】（1）根据图形可直接求出；（2）观察图形的排列规律，归纳总结出与的关系式，并求得的表达式．【详解】观察图形的排列规律可知，；；；（1）（2）由上知，则故又，则17.有理数都能表示成，且，m与n互质）的形式，进而有理数集且，m与n互质}．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数．反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数；那么无限循环小数是否为有理数？思考下列问题：（1）是有理数吗？请说明理由．（2）是有理数吗？请说明理由．【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析【解析】【分析】（1）由可判断；（2）由可判断.【详解】无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，（1），可以化为的形式，故是有理数；（2），可以化为的形式，故是有理数.18.平面上有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论．【答案】；证明见解析；【解析】【分析】根据时的直线条数，归纳出有n个点时的直线条数，利用数学归纳法证明即可.【详解】当时，过任意两个点作直线，共有3条；当时，设四个点为，过三点中的任意2点的直线有三条，过三点中的任意1点与D点相连的直线有3条，即共有条；当时，设五个点为，同上，过中的任意2点的直线有6条，过中的任意1点与的连线共有4条，即共有条；假设当，过k个点（任意三点不共线）中任意2点作直线，共有条；当时，共有k+1个