第02讲空间向量的数量积运算（人教A版2019选择性）（原卷版）

第02讲空间向量的数量积运算【人教A版2019】·模块一空间向量的夹角与数量积·模块二向量的投影·模块三课后作业模块一模块一空间向量的夹角与数量积1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入求解．【考点1空间向量数量积的计算】【例1.1】（2023·江苏·高二专题练习）正方体ABCD−A1B1C1DA．BC⋅B1D1=2 B．AB【例1.2】（2023秋·福建福州·高二校考期末）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1DA．−1 B．1 C．2 D．3【变式1.1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA⋅PB的最大值为（A．−2 B．−3 C．−1 D．0【变式1.2】（2023春·高二课时练习）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=1，A．−12,0 B．−34,0【考点2空间向量的夹角及其应用】【例2.1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=A．30° B．45°C．60° D．以上都不对【例2.2】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知空间向量a，b，a=1，b=2，且a−b与a垂直，则aA．60∘ B．30∘ C．135∘【变式2.1】（2022秋·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知不共面的三个向量a,b,c都是单位向量，且夹角都是π3，则向量aA．π6 B．π4 C．3π4【变式2.2】（2022·高二课时练习）已知a=(1,0,0)，b=(0,−1,1)，若a+λb与b的夹角为120°A．66 B．−66 C．±【考点3利用空间向量的数量积求模】【例3.1】（2022秋·广东佛山·高二校考阶段练习）已知空间中非零向量a，b，且a=2，b=3，a，b=A．133 B．133 C．61 D．61【例3.2】（2022秋·江西·高二统考期中）若a，b，c为两两垂直的三个空间单位向量，则2a+2bA．23 B．17 C．14 D．【变式3.1】（2022·全国·高二期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．若M是PC的中点，则BM=（

A．62 B．63 C．64【变式3.2】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，则DE的最小值为（A．12 B．22 C．3【考点4向量垂直的应用】【例4.1】（2022秋·河南开封·高三统考开学考试）已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且A．32 B．−32 C．【例4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A1BA．AD1⋅B1C B．B【变式4.1】（2023春·福建莆田·高二校考期中）在空间，已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a=2A．－6 B．6C．3 D．－3【变式4.2】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量OA,OB,OC满足OA⊥A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形模块二模块二向量的投影1．向量的投影(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【考点1投影向量的求解】【例1.1】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量a=13，b=5，且a与b夹角的余弦值为−91365，则A．−91313b B．91313【例1.2】（2022秋·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知a=4，空间向量e为单位向量，a,e=2π3，则空间向量A．2 B．−2 C．−12 【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120∘，PA=AB=BC=6，则向量PC在【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D模块三模块三课后作业1．（2023春·高二课时练习）设a，b，c都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（

）A．aB．aC．aD．a2．（2022·高二课时练习）如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，设AB=A．π6 B．π3 C．π23．（2022秋·北京朝阳·高二校考期中）四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为（

）A．DA B．BC C．BD D．AP4．（2023春·高二课时练习）在正方体ABCD−A①(AA1+AD+AB)2其中正确的命题有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个5．（2023·全国·高三专题练习）如图，PA⊥面ABCD，ABCD为矩形，连接AC､BD､PB､PC､PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（

）A．PC与BD B．PB与DAC．PD与AB D．PA与CD6．（2023春·四川成都·高二校联考期中）已知a，b，c均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90∘，那么a−2bA．2 B．13C．14 D．67．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，A．1 B．3 C．9 D．38．（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，AD⋅AC=0，AB⋅ADA．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定9．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）空间有一四面体A-BCD，满足AD⊥AB，AD⊥AC，则所有正确的选项为（

）①DB⋅②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若AB<DA且A．② B．①③ C．②④ D．②③④10．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是四边形A1A．5 B．6 C．5+2 D．11．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量AC分别与向量A′B′，B′A′，12．（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C13．（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C(1)求AC(2)求AA14．（2023春·高二课时练习）如