高考数学总复习函数及其表示理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第2章§2.1函数及其表示理-A3演示文稿设计与制作§2.1函数及其表示

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§2.1函数及其表示双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．函数的概念及表示函数定义给定两个__________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中______一个数x，在集合B中都存在______确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．函数记法记作_____________或_____________非空数集任何唯一f：A→By＝f(x)，x∈A函数的定义域在函数的定义中x叫作自变量，_______________叫作函数的定义域函数的值域集合_____________叫作函数的值域函数的三要素_______、_______和__________函数的表示法________、__________和_________x的取值范围A{f(x)|x∈A}定义域值域对应法则解析法图像法列表法思考感悟1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：不一定．如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．2．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着______的对应关系，则称这样的函数为分段函数．3．映射的定义(1)两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有______的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为______，B中的对应元素y称为x的_____，记作f：x→y.不同唯一原像像(2)一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：①A中每一个元素在B中都有_______的像与之对应；②A中的不同元素的像也______；③B中的每一个元素____________唯一不同都有原像．思考感悟2．函数是映射吗？提示：由函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数集到非空数集的一一映射．1．(2011年南阳联考)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(

)课前热身A．①②③④

B．①②③C．②③ D．②答案：C答案：D答案：A4．(2010年高考广东卷)函数f(x)＝lg(x－2)的定义域是________．答案：(2，＋∞)5．(教材改编题)给出下面四种对应关系：①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；②A＝N，B＝N＋，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；答案：①③考点探究•挑战高考考点突破考点一映射与函数的概念1．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有像”和“且像唯一”，即可以是“一对一”或者“多对一”．2．f：A→B形成函数时，A即函数的定义域，但B不一定是值域．如果B中的元素都有原像，则B才是值域，即函数就是从定义域到值域的映射．例1④已知A＝[1,2]，B＝[a，b]≠∅，则对应x∈A，f：x→y＝(b－a)x＋2a－b是从集合A到集合B的函数，其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个

D．4个【思路点拨】根据映射与函数的概念逐条判断．∵b＞a，∴y＝(b－a)x－2(b－a)＋b＝(b－a)(x－2)＋b≤b，∴对任意x∈A，即1≤x≤2，在f作用下都有x－2≤0，∴y≤b，同样，有y＝(b－a)x－(b－a)＋a＝(b－a)(x－1)＋a，对任意x∈A，均有x－1≥0，∴y≥a，∴y∈B，故是函数．【答案】

A【名师点评】从集合A到集合B的函数必须满足：(1)集合A中的元素在集合B中都有与之对应的元素；(2)集合B中的元素可以有剩余；(3)对应关系可以是“多对一”，也可以是“一对一”，但绝不是“一对多”．考点二求函数值理解对应关系的实质是解答此类问题的关键．(1)关于对应关系f，它是函数的本质特征，它好比是计算机中的某个“程序”，当f(

)中括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．(2)f(a)(a为定义域中的一个值)是值域内的一个值，是常量，f(x)表示自变量x的函数，表示的是变量．例2【思路点拨】先分清对应关系，再代入求值．【答案】

C【名师点评】

(1)求f(g(x))类型的函数值时，遵循先内后外的原则；(2)对于分段函数的求值问题，依据条件准确地找出利用哪一段求解，不确定时要分类讨论．变式训练1用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为(

)A．4 B．5C．6 D．7(2,4]上单调递增，在点x＝2处两段的函数值相等，故函数在区间[0,4]上单调递增，函数在区间(4，＋∞)上单调递减，又在点x＝4处两段上的函数值相等，故x＝4是函数的最大值点，函数的最大值是f(4)＝6.故选C.法二：画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图像，如图，根据函数f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}的意义，函数f(x)的图像是由上面三个函数图像位于最下方的图像组成的，观察图像可知，当0≤x≤2时，f(x)＝2x，当2＜x≤4时，f(x)＝x＋2，当x＞4时，f(x)＝10－x，f(x)的最大值在x＝4时取得，最大值为6，故选C.考点三求函数的解析式求函数表达式的主要方法有：代入法、换元法、待定系数法和消元法等．如果是求复合函数的解析式可用代入法；已知复合函数的解析式可用换元法求原来函数的解析式，特殊情况下可利用代入法和凑项法解决；如果已知函数的解析式的类型，可采用待定系数法等．例3【失误点评】

(1)设一次函数f(x)的解析式，易忽视一次项系数不为0的条件．(2)易忽视x的取值范围．变式训练2

某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)依题意，本年度每辆摩托车的成本为1＋x(万元)，而出厂价为1.2×(1＋0.75x)(万元)，销售量为1000×(1＋0.6x)(辆)．故利润y＝[1.2×(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．方法感悟方法技巧1．若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则这两个函数为同一函数．(如课前热身2)2．函数有三种表示方法——列表法、图像法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法．(如例3)3．分段函数的特点是在定义域的不同范围内函数的解析式是不相同的，也就是说函数值的变化规律是不相同的．因此研究分段函数问题时，要在各分段定义域内分别讨论．针对近几年的高考，分段函数问题要引起足够的重视．(如例2)失误防范1．研究函数必须遵循“定义域优先”原则．2．判断对应是否为函数，即看A、B是否为“非空数集”和对“任意”x有“唯一”y与之对应．3．判断两个函数是否同一，紧扣函数三要素是解题关键，只有定义域，对应法则相同的函数才是同一函数，与表达形式和所用字母无关．4．求函数解析式一定要注明定义域，求实际问题中函数的定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．考情分析考向瞭望•把脉高考函数及其表示是高考的重要板块之一，表示函数的解析法、图像法、分段函数以及函数与其他知识的综合问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查解析法、图像法、分段函数的应用及对函数概念的理解．主观题考查较为全面，在考查函数概念、表示的基础上，又注重考查函数方程、分类讨论、数形结合等思想方法．预测2012年高考仍将以函数的概念、解析法、图像法、分段函数的应用为主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力．真题透析例1③若奇函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)＝f(2－x)，则f(x)为周期函数．其中真命题是(

)A．①②

B．①③C．②③ D．②对于③，f(x)为奇函数⇒f(x)＝－f(－x)，又f(x)＝f(2－x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，于是有f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，4是其中的一个周期，③正确．故选C.【答案】

C【名师点评】

1.本题易失误的是：(1)忽视函数的定义域，误判①是同一函数；(2)对函数的对称性、平移、伸缩理解不透彻，认为②是错误的；(3)不能把函数的周期性和奇偶性结合使用．2．研究函数问题，一般要借助图像和性质作为解题的切入点，同时还应注意“定义域优先”的解题原则．名师预测解析：选C.∵－2＜0，∴f(－2)＝－2＋3＝1＞0，∴f[f(－2)]＝f(1)＝21＝2.4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋2，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________.感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺