测量数据处理及测量误差分析

测量数据处理及测量误差分析1第1页，课件共54页，创作于2023年2月1.随机误差的分析、处理2.数据处理的基本原理与基本概念3.直接测量值和间接测量值的处理4.有效数字和等精度测量结果的处理5.系统误差的分析、处理学习和掌握的内容(Keys)2第2页，课件共54页，创作于2023年2月2.1随机误差在等精度测量条件(测量次数i=n>1)下,对X

所做测量后得到Xi,{X1，X2,…,Xn}称为测量列或者测量样本。分别将f(Xi)–Xi和f(xi)–xi

(xi=

Xi-X0)绘制在坐标图上(f(Xi)和f(xi)分别称为测量值和测量误差的概率函数)，可得：一、随机误差的性质3第3页，课件共54页，创作于2023年2月2.1随机误差（1）图1所示为测量值Xi的概率分布曲线一、随机误差的性质（2）图2所示为测量误差xi的概率分布曲线4第4页，课件共54页，创作于2023年2月2.1随机误差一、随机误差的性质随机误差的正、负值的分布具有对称性；随机误差数值分布的规律性，即绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小；随机误差的有界性。分析曲线(2)可知，随着xi

的增加，f(xi)迅速地减小，即大误差出现的可能性很小，也就是说，随机误差数值的出现有一定的范围；由正态曲线的对称性可知，随机误差的总和有一定的补偿性。即

5第5页，课件共54页，创作于2023年2月2.1随机误差二、剩余误差在对测量数据进行测量的过程中，因X0永远得不到，随机误差也难以得到。为此，采用最优概值来代替X0；对应地引进剩余误差来代替随机误差。其定义为：当进行有限次测量时，各测得值Xi与最优概值X0之差，称为剩余误差或残差，用ν表示，即：6第6页，课件共54页，创作于2023年2月2.1随机误差三、测量值Xi的方差与标准差当时，测量值与最优概值之差的平方和的统计平均值，就称为方差。称为测量值Xi的样本方差，简称方差取平方的目的是：1.无论是正是负，其平方总是正的，相加的和不会等于零，从而可以用来描述测量值的分散程度。2.在计算过程中不必考虑的符号，给数据处理带来方便。但是，导致了其单位是对应测量值量纲的平方，使用不便。7第7页，课件共54页，创作于2023年2月2.1随机误差将上式两边开方，取算术平方根，得σ定义为测量值的标准误差或均方根误差，也称标准偏差，简称标准差。☆由于在实际测量中，n为有限次。贝塞尔公式

σ反映了测量结果的精密度，σ小表示精密度高，测量值集中；σ大表示精密度低，测量值分散。

讨论σ计算？8第8页，课件共54页，创作于2023年2月2.1随机误差四、基于σ的随机误差的分布概率函数设测量值Xi在X0

到X0+dX范围内出现的概率为p，它正比于dX，并与X0值有关。定义为测量值的分布密度函数或概率分布函数，显然

对于服从正态分布的随机误差xi

，其概率密度函数为：

9第9页，课件共54页，创作于2023年2月

基于σ值变化的随机误差xi的概率分布

2.1随机误差10第10页，课件共54页，创作于2023年2月2.1随机误差

上式的特征：1.σ愈小，愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概率大；相反，绝对值大的随机误差出现的概率小。随着σ的加大，很快趋于零，即超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现(随机误差的有界性)。2.大小相等符号相反的误差出现的概率相等(随机误差的对称性和抵偿性)。3.σ愈小，正态分布曲线愈尖锐，表明测量值越集中，精密度高；反之，σ愈大，曲线愈平坦，表明测量值分散，精密度越低。11第11页，课件共54页，创作于2023年2月

2.2数据处理的基本原理与基本概念一、最小二乘法原理实际测量所得到的一系列数据中的每一个随机误差xi都满足误差方程(2)。如果测量列为等精度测量，为了求得最优概值，则必须满足：目标函数

note：即在等精度测量中，为了求Xi

的最优概值就要使各测量值的残差平方和为最小，这就是最小二乘法原理。而且，

则意味着

的值也小，测量结果的精密度高。12第12页，课件共54页，创作于2023年2月二、测量误差的评价指标及其定义1.测量列的标准误差σ及其极限误差Δmax

由前述可知，在有限次测量过程中，测量列的标准误差σ：

—贝塞尔公式

13第13页，课件共54页，创作于2023年2月

在贝塞尔公式中，n＞1？

当n

=1时，

X=X0上式无实际意义。说明对某一被测量仅测量一次，其标准误差是无法用贝塞尔公式来确定的。这也说明贝塞尔公式只有n＞1才有意义。若测量之前不知道σ，就必须用统计的方法计算出σ；初定时，测量次数最好不小于6次。

14第14页，课件共54页，创作于2023年2月2.2数据处理的基本原理与基本概念置信概率：由概率论可知，对于服从正态分布的，其在区间［-σ，σ］发生的概率为

其含义为，在进行大量等精度测量时，随机误差在该区间［-σ，σ］发生的概率为68.3%；或者说，对应的测量值出现在该区间［X0-σ，X0+σ］（该区间在概率论中称为置信区间）内的概率（在概率论中称为置信概率）为0.683。

15第15页，课件共54页，创作于2023年2月因此，分别发生在区间［-2σ，2σ］和［-3σ，3σ］的概率为

☆在［-3σ，3σ］区间内，发生的概率为99.7%，而不发生的概率只有0.3%，即每测得1000次，其误差绝对值大于3σ的次数仅有3次。因此，在有限次的测量中，就把3σ定义为测量样本的极限误差Δmax

(或最大误差)，也称为随机不确定度。16第16页，课件共54页，创作于2023年2月基于极限误差Δmax

的莱特准则当在多次等精度测量值中，若出现测量误差的绝对值大于3σ的误差，即

就认为该测量值属粗大误差而予以剔除。Note:按照来判断坏值是在进行大量等精度测量、测量数据属于正态分布的前提下提出的，通常将这个原则称为莱特准则，该准则使用较为方便。

17第17页，课件共54页，创作于2023年2月2.2数据处理的基本原理与基本概念2.最优概值的标准误差和极限误差

或

18第18页，课件共54页，创作于2023年2月2.3直接测量值的处理

一、直接测量值的最优概值X01.直接测量值的最优概值的求解(基于最小二乘法)

说明：直接测量值的最优概值为其算术平均值

19第19页，课件共54页，创作于2023年2月2.3直接测量值的处理

2.计算X0的标准误差当n>1时，测量列{X1,X2,…,Xn}的标准误差，可由贝塞尔公式解得：因此，最优概值的标准误差定义为

*σ与的区别。对测量列而言，标准差是衡量测量手段精密度的指标；而是表征测量结果-最优概值的精密度。增加重复测量的次数n，可以提高最优概值的精度。20第20页，课件共54页，创作于2023年2月2.3直接测量值的处理

由式可知，

最优概值的标准误差随测量次数的增大而减小，但减小速度要比n的增长慢得多，即仅靠单纯增加测量次数来减小标准差，效果不显著；同时由于测量次数愈多，也愈难保证测量条件的恒定(等精度测量要求)，从而带来新的误差，因而实际测量中n

的取值并不很大，一般在10到20之间。

21第21页，课件共54页，创作于2023年2月三、处理后结果的表达形式对于精密测量，常需进行多次等精度测量，在基本消除系统误差，并从测量结果中剔除坏值后，测量结果的处理可按下述步骤进行：1.列出测量数据表；i=1～n,Xi,，;2.计算最优概值X0，及;且验证3.计算σ和；4.给出最终测量结果表达式：(置信度95.5%)(置信度68.3%)(置信度99.7%)22第22页，课件共54页，创作于2023年2月Example1:使用温度计测量某个温度Tx。测量了10次，得到X1～X10。假定已经消除了系统误差和粗大误差，试求解出该温度的结果表达式。Step1:列写测量结果数据表，i=1～10,Xi，，Step2:计算出=>和；验证√，表明计算正确。

Step3:计算出和

Step4:23第23页，课件共54页，创作于2023年2月2.4间接测量值的处理

由于在实际测量过程中，某些被测量不能进行直接测量，如散热器的散热量、空气中的焓值等，因而必须进行间接测量。即:通过直接测量与被测量有一定函数关系的中间变量，将其代入已知的函数关系式，从而计算出被测量。假定间接被测量Y与m个直接测量的中间量

X1，X2，…，Xm有以下的函数关系：

其中，X1，X2，…，Xm为各自独立的自变量。假若得到了X1，X2，…，Xm的最优概值

X1,0，X2,0，…，Xm,0

和标准误差σ1,0,σ2,0，…，σm,0，就可计算出Y的最优概值Y0和。24第24页，课件共54页，创作于2023年2月1.最优概值Y0在直接测量到X1，X2，…，Xm

,然后计算出相应的最优概值X1,0，X2,0，…，Xm,0后，将其代入则得到Y0的大小。

2.标准误差在等精度条件下，分别对X1，X2，…，Xm

测量，得到⊿X1，⊿

X2，…，⊿

Xm，基于误差传递定律，得到25第25页，课件共54页，创作于2023年2月2.4间接测量值的处理

基于Taylor公式展开，可得到：为了便于数据处理，忽略高阶导数项，则近似可得：26第26页，课件共54页，创作于2023年2月2.4间接测量值的处理

由于测量次数i=1～n,所以由(3)式可推导出，对于测量列{Y1，Y2，…，Yn

}而言,其标准误差定义如下：

将(4)式代入(5)式，整理，可得到下式：

27第27页，课件共54页，创作于2023年2月2.4间接测量值的处理

-称为自变量Xj

的部分误差，记为Dj或用相对误差表示28第28页，课件共54页，创作于2023年2月Example2:如图所示，测量电阻所消耗的电功率P。已知直接测量的结果为：

试求解电功率P的结果表达式？基于再思考一下：P19，习题6的证明

29第29页，课件共54页，创作于2023年2月2.5误差分析在数据处理中的应用举例

一、有效数字的处理1、有效数字的定义由于△的存在，所以Xi及由测量数据计算出来的算术平均值都是近似值。近似值

如何表示呢？基于误差的观点，来定义近似值的有效数字。

对于构成某个近似值的一组数字元素而言，从左边第一个不为零的数字起始(计数)，直至右边最后一位数字(包括零)为止，记录下来的所有数字，其特点是：它的误差限不大于最末位数字的数量级一半。30第30页，课件共54页，创作于2023年2月Example3：3.1416五位有效数字，极限误差≤0.000056900四位有效数字，极限误差≤0.569×102二位有效数字，极限误差≤0.5×1020.069二位有效数字，极限误差≤0.00050.609三位有效数字，极限误差≤0.0005

Note:(1)位于数字中间和末尾的0都是有效数字，而位于第一个非零数字前面的0，都不是有效数字。(2)有效数字的最末一位是欠准确的估计值，称为欠准数字。31第31页，课件共54页，创作于2023年2月(3)有效数字末尾的0很重要。例如，20.80表示测量结果准确到百分位，其最大绝对误差不大于0.005；对于20.8，则表示测量结果准确到十分位，其极限误差不大于0.05；因此上面两个测量值范围分别位于

20.80±0.005和20.8±0.0532第32页，课件共54页，创作于2023年2月2.5误差分析在数据处理中的应用举例

2.多余有效数字的处理原则简单概括为：“小于5舍，大于5入，等于5时采取偶数法则”即，在确定出所要保留的有效数字后，以末位数字作为基准，检验后面数字。(1)若它大于5，则进位；(2)若它小于5，则舍去；(3)若它等于5，再观察末位数字的奇、偶性。①若其是奇数，则进位；②若其是偶数，则舍去。Example4:将下列有效数字，保留到小数点后面1位45.1445.1(2)45.1645.2(3)45.1545.2(4)45.2545.233第33页，课件共54页，创作于2023年2月3.有效数字的运算法则

加法运算：当若干个有效数字相加，产生的运算结果处理如下：(1)

若运算结果存在小数，则其保留的小数位数等于参与运算的所有有效数字中，最少的小数位数。(2)若参与运算的有效数字均为整数，则运算结果的有效数字的位数等于参与运算的所有有效数字中，最少的有效位数。

P33，示例解读减法运算原则同加法运算；note：当两数很接近时，有可能造成很大的相对误差，因此第一要尽量避免导致相近两数相减的测量方法，第二要在运算中多一些有效数字。34第34页，课件共54页，创作于2023年2月乘、除法运算在参与运算的所有有效数字中，以有效数字的位数最少的作为基准位数。参与运算的每个有效数字的位数以及最终运算结果的有效数字的位数均比基准位数多保留一位。(作用是保证必要的计算精度)

乘方、开方运算运算结果比原有效数字的位数，多保留一位

有效数字。

(作用是保证必要的计算精度)35第35页，课件共54页，创作于2023年2月2.5误差分析在数据处理中的应用举例

二、等精度测量结果的处理

当对某一被测量进行等精度测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和粗大误差，为了给出正确、合理的测量结果，应按下述基本步骤对所测得的数据进行处理。数据处理流程图如下所示：36第36页，课件共54页，创作于2023年2月37第37页，课件共54页，创作于2023年2月Example5:等精度测量某设备的温度16次，所得的结果见数据表，试求解测量结果的表达式。Step1:Step2:√Step3:Step4:基于莱特准则，判定坏值。无坏值，删除第5个测量值，返回

Step1。Step5:38第38页，课件共54页，创作于2023年2月2.6系统误差分析一、系统误差的特性测量数据排除了粗大误差后，测量误差等于随机误差和系统误差的代数和。假设进行n次等精度测量，并设系统误差为恒值系统误差或变化非常缓慢，即，则

△的算术平均值为：当n足够大时，由于随机误差的抵偿性，xi的算术平均值趋于零，

39第39页，课件共54页，创作于2023年2月一、系统误差的特性可见当系统误差与随机误差同时存在时，若测量次数足够多，则各次测量绝对误差的算术平均值等于系统误差(或系统误差的算术平均值)。说明测量结果的准确度不仅与随机误差有关，更与系统误差有关，由于系统误差不易被发现，所以更须重视。由于它不具备抵偿性，所以取平均值对其无效。又由于系统误差产生的原因复杂，因此处理起来比随机误差还要困难。削弱或消除系统误差的影响，必须仔细分析其产生的原因，根据所研究问题的特殊规律，依赖测量者的学识、经验，采取不同的处理方法。40第40页，课件共54页，创作于2023年2月二、系统误差的判别理论分析法凡由测量方法或测量原理引入的系统误差，不难通过对测量方法的定性、定量分析发现系统误差，甚至计算出系统误差的大小。校准和比对法当怀疑测量结果可能会有系统误差时，可用准确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系统误差。测量仪器定期进行校准或标定并在标定证书中给出修正值，目的就是发现和减小使用被检仪器进行测量时的系统误差。改变测量条件法系统误差通常与测量条件有关，如果能改变测量条件，比如更换测量人员，测量环境、测量方法等，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系统误差。41第41页，课件共54页，创作于2023年2月

剩余误差观察法是通过观察测量所得的一系列数据中各个剩余误差的大小、符号的变化规律，以判断有无系统误差及系统误差类型。为了直观和便于处理，通常将剩余误差和测量次数对应地标注在坐标系中，绘制vi–i曲线，如图所示，可分为四类图（a）显示剩余误差大体上正负相同，无明显变化规律，可以认为不存在系统误差；图（b）中呈现线性递增规律，可认为存在累进性系统误差；图（c）中大小和符号大体呈现周期性，可认为存在周期性系统误差；图（d）中变化规律复杂，大体上可认为同时存在线性递增的累进性系统误差和周期性系统误差。剩余误差法主要用来发现变值系统误差。

42第42页，课件共54页，创作于2023年2月

2.6系统误差分析系统误差的判别(图形法)

43第43页，课件共54页，创作于2023年2月三、消除系统误差产生的根源采用正确的测量方法和测量原理。选用的仪器仪表类型要正确，准确度要满足测量要求。测量仪器应定期标定，校准，测量前要正确调节零点，应按操作规程正确使用仪器。尤其对于精密测量，测量环境的影响不能忽视，必要时应采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。条件许可时，可尽量采用数字显示仪器代替指针式仪器，以减小由于刻度不准及分辨力不高等因素带来的系统误差。提高测量人员的学识水平，操作技能，去除一些不良习惯，尽量消除带来系统误差的主观原因。44第44页，课件共54页，创作于2023年2月四、削弱系统误差的典型测量技术1.零示法

零示法是指在测量中，把被测量与已知标准量相比较，当两者的效应互相抵消时，使得零示器的示值为零，此时已知标准量的数值就是被测量的数值。原理如图所示，图中X为被测量，S

为同性质可调节已知标准量，P为零示器。如天平称物。45第45页，课件共54页，创作于2023年2月2.替代法替代法又称置换法。它是指在测量条件不变的情况下，用一标准已知量去替代被测量，通过调整标准量而使仪器的示值不变，于是标准量的值即等于被测量值；若标准量不可变时，可以测出被测量与标准量之间的差值。那么，被测量则等于标准量加上差值。由于替代前后整个测量系统及仪器示值均未改变，因此测量中的恒定系统误差对测量结果不产生影响，测量准确度主要取决于标准已知量的准确度及指示器灵敏度。

46第46页，课件共54页，创作于2023年2月3.利用修正值或修正因数加以消除根据测量仪器检定书中给出的校正曲线，校正数据或利用说明书中的校正公式对测得值进行修正，是实际测量中常用的办法。*这种方法原则上适用于任何形式的系统误差。

47第47页，课件共54页，创作于2023年2月4.随机化处理所谓随机化处理，是指使用同一类型测试仪器的系统误差具有随机特性的特点，对同一被测量X用多台仪器进行测量，取各台仪器测量值的平均值作为测量结果。*

通常这种方法并不多用，首先费时较多；其次需要多台同类型仪器，这在实际测量中往往是做不到的。48第48页，课件共54页，创作于2023年2月5.智能仪器中系统误差的处理在智能仪器中，可利用微处理器的计算、控制和存储等功能，削弱或削除仪器的固有系统误差。利用微处理器削弱系统误差的方法很多，介绍两种常用的方法。49第49页，课件共54页，创作于