灰色系统建模

灰色系统建模第1页，课件共130页，创作于2023年2月近年CUMCM数据预测题目2003年A题SARS的传播问题2005年A题长江水质评价和预测问题2006年B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题2007年A题中国人口增加预测问题2009年D题“会议筹备”对与会人数的确定2010B题上海世博会影响力相关数据预测

最近几年，在全国大学生数学建模竞赛常常出现预测模型或是与预测有关的题目，例如疾病的传播，雨量的预报等。什么是预测模型？如何预测？有那些方法？对此下面作些介绍。第2页，课件共130页，创作于2023年2月一、预测的概念系统预测：根据系统发展变化的实际数据和历史资料，运用现代的科学理论和方法，以及各种经验、判断和知识，对事物在未来一定时期内的可能变化情况，进行推测、估计和分析。几个问题三六九，出门走。早霞不出门，晚霞行千里。第3页，课件共130页，创作于2023年2月预测的特点科学性：据统计资料和目前信息，运用一定程序、方法和模型，分析预测对象与相关因素的相互联系，而揭示预测对象特性和变化规律。近似性：受许多随机因素的影响，事前预测的结果，往往与将来实际发生的结果有一定偏差。局限性：对预测对象的认识常受知识、经验、观察和分析能力限制，又掌握资料和信息不够准确完整，或建模时简化等，导致预测的分析不够全面。第4页，课件共130页，创作于2023年2月根据预测的内容：科学预测、技术预测、社会预测、经济预测、军事预测根据预测的期限：短期预测（1年内）、中期预测（2~5年）、长期预测（5~10年及以上）根据预测的性质：定性预测、定量预测、综合预测预测分类第5页，课件共130页，创作于2023年2月

预测技术的种类繁多，据统计有150多种。其中广泛采用有15～20种。定性预测方法定量预测方法时间序列分析因果关系分析移动平均指数平滑Box-Jenkins法回归分析法计量经济模型状态空间分析Markov预测灰色系统模型专家会议法/Delphi法主观概率法领先指标法神经网络预测法第6页，课件共130页，创作于2023年2月预测一般步骤第7页，课件共130页，创作于2023年2月

特尔斐法采用统计方法对结果进行定量处理，能科学地综合专家们的预测意见。能够对未来发展中可能出现的前景作出概率描述，因而为决策者提供了多方案选择的可能性1、特尔斐法

采用特尔斐法不仅可以从事技术预测，同时可以从事经济、社会预测；不仅可以从事短期预测，同时可以从事长期预测；不仅可以预测事物的量变过程，同时可以预测事物的质变过程。

第8页，课件共130页，创作于2023年2月应用特尔斐法进行预测，主要包括四个阶段：（1）建立预测领导小组，编制预测日程计划；（2）选择专家；（3）轮间反馈；（4）编写预测报告。

第9页，课件共130页，创作于2023年2月2、目标预测法

目标预测法又称规范性预测法，是美国霍尼维尔公司首先开发并投入使用的，具有重要实用价值，但目前在我国应用的示例还很少。

目标预测法的突出特点是：它不是探索在什么时间将达到什么目标，而是在目标已定的情况下，研究如何实现既定目标。

第10页，课件共130页，创作于2023年2月3、时间序列模型

时间序列模型主要研究事物的自身发展规律，借以预测事物的未来趋势。主要方法有移动平均、指数平滑、分解预测、鲍克斯--詹金斯模型、多变量模型以及历史类推法等。第11页，课件共130页，创作于2023年2月

特点和应用范围时间序列一般指一组按时间顺序排列的数据，展示了研究对象在一定时期的发展变化过程。时间序列模型，就是根据预测对象时间序列的变化特征，研究事物自身的发展规律，探讨未来发展趋势，是一种重要的定量预测方法，包括多种模型，主要适用于经济预测、商业预测、需求预测、库存预测等，预测期限主要为中、短期，不适用于有拐点的长期预测。第12页，课件共130页，创作于2023年2月4、因果关系模型

因果关系模型是定量预测模型的主要方法之一，主要用于研究不同变量之间的相关关系，用一个或多个自变量的变化来描述因变量的变化因果关系模型主要包括：趋势外推、回归分析、数量经济模型、投入产出模型、灰色系统模型、系统动力学等。第13页，课件共130页，创作于2023年2月特点和适用范围事物的发展不仅取决于自身的发展规律，同时受多种外界因素的影响，如果把预测值作因变量，那么影响预测对象发展的各变量则称作自变量。研究因变量与自变量的关系，则是因果关系模型的任务。因果关系模型在预测中应用最广，它与时间序列模型不同，不仅可以从事短期预测，而且还可以从事中、长期预测，也可以预测宏观、中观、微观问题。第14页，课件共130页，创作于2023年2月二、数据建模的常用预测方法1.插值与拟合方法：小样本内部预测；应用案例：（1）CUMCM2001-A:血管的三维重建问题；（2）CUMCM2003-A,C:SARS的传播问题；（3）CUMCM2004-C:饮酒驾车问题；（4）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；（5）CUMCM2005-D:雨量预报方法的评价；（6）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。第15页，课件共130页，创作于2023年2月2.回归模型方法：大样本的内部预测；应用案例：（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计；（2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理；（3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；（4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；（5）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题。第16页，课件共130页，创作于2023年2月3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测(外部预测

)；（1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；（3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；（4）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题。4.时间序列方法：大样本的随机因素或周期特征的未来预测；（1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；（3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。5.神经网络方法：大样本的未来预测．第17页，课件共130页，创作于2023年2月灰色系统分析方法在建模中的应用CUMCM2003ASARS的传播CUMCM2005A长江水质的评价和预测CUMCM2006A出版社的资源配置

CUMCM2007A中国人口增长预测

第18页，课件共130页，创作于2023年2月CUMCM2003ASARS的传播SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。第19页，课件共130页，创作于2023年2月（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。第20页，课件共130页，创作于2023年2月

1、问题水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”

长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。CUMCM2005A长江水质的评价和预测第21页，课件共130页，创作于2023年2月

为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。第22页，课件共130页，创作于2023年2月

一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2

(单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。

第23页，课件共130页，创作于2023年2月请你们研究下列问题：（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？（5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。第24页，课件共130页，创作于2023年2月三、灰色系统分析方法252023年7月15日

一灰色系统概论；

二灰色关联分析；

三灰色生成数列；

五案例：SARS疫情对某些经济指标影响。

四灰色模型GM；第25页，课件共130页，创作于2023年2月§1灰色系统概论

客观世界在不断发展变化的同时，往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互联系而构成一个整体，我们称之为系统。从信息的完备性与模型的构建上看，工程技术等系统具有较充足的信息量，其发展变化规律明显，定量描述较方便，结构与参数较具体，人们称之为白色系统；对另一类系统诸如社会系统、农业系统、生态系统等，人们无法建立客观的物理原型，其作用原理亦不明确，内部因素难以辨识或之间关系隐蔽，人们很难准确了解这类系统的行为特征，因此对其定量描述难度较大，带来建立模型的困难。这类系统内部特性部分已知的系统称之为灰色系统。一个系统的内部特性全部未知，则称之为黑色系统。第26页，课件共130页，创作于2023年2月区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系。运动学中物体运动的速度、加速度与其所受到的外力有关，其关系可用牛顿定律以明确的定量来阐明，因此，物体的运动便是一个白色系统。当然，白、灰、黑是相对于一定的认识层次而言的，因而具有相对性。某人有一天去他朋友家做客，发现当外面的汽车开过来时，他朋友家的狗就躲到屋角里瑟瑟发抖。他对此莫名其妙。但对他朋友来讲，狗的这种行为是可以理解的，因为他知道，狗在前不久曾被汽车撞伤过。显然，同样对于“狗的惧怕行为”，客人因不知内情而面临一个黑箱，而主人则面临一个灰箱。第27页，课件共130页，创作于2023年2月作为实际问题，灰色系统在大千世界中是大量存在的，绝对的白色或黑色系统是很少的。随着人类认识的进步及对掌握现实世界的要求的升级，人们对社会、经济等问题的研究往往已不满足于定性分析。尽管当代科技日新月异，发展迅速，但人们对自然界的认识仍然是肤浅的。粮食作物的生产是一个实际的关系到人们吃饭的大问题，但同时，它又是一个抽象的灰色系统。第28页，课件共130页，创作于2023年2月肥料、种子、农药、气象、土壤、劳力、水利、耕作及政策等皆是影响生产的因素，但又难以确定影响生产的确定因素，更难确定这些因素与粮食产量的定量关系。人们只能在一定的假设条件（往往是一些经验及常识）下按照某种逻辑推理演绎而得到模型。这种模型并非是粮食作物生产问题在理论认识上的“翻版”，而只能看作是人们在认识上对实际问题的一种“反映”或“逼近”。第29页，课件共130页，创作于2023年2月社会、经济、农业以及生态系统一般都会有不可忽略的“噪声”（即随即干扰）。现有的研究经常被“噪声”污染。受随机干扰侵蚀的系统理论主要立足于概率统计。通过统计规律、概率分布对事物的发展进行预测，对事物的处置进行决策。现有的系统分析的量化方法，大都是数理统计法如回归分析、方差分析、主成分分析等，回归分析是应用最广泛的一种办法。但回归分析要求大样本，只有通过大量的数据才能得到量化的规律，这对很多无法得到或一时缺乏数据的实际问题的解决带来困难。第30页，课件共130页，创作于2023年2月回归分析还要求样本有较好的分布规律，而很多实际情形并非如此。例如，我国建国以来经济方面有几次大起大落，难以满足样本有较规律的分布要求。因此，有了大量的数据也不一定能得到统计规律，甚至即使得到了统计规律，也并非任何情况都可以分析。另外，回归分析不能分析因素间动态的关联程度，即使是静态，其精度也不高，且常常出现反常现象。第31页，课件共130页，创作于2023年2月灰色系统理论提出了一种新的分析方法—关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。这种方法已应用到农业经济、水利、宏观经济等各方面，都取得了较好的效果。第32页，课件共130页，创作于2023年2月灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。第33页，课件共130页，创作于2023年2月灰色系统理论首先基于对客观系统的新的认识。尽管某些系统的信息不够充分，但作为系统必然是有特定功能和有序的，只是其内在规律并未充分外露。有些随机量、无规则的干扰成分以及杂乱无章的数据列，从灰色系统的观点看，并不认为是不可捉摸的。相反地，灰色系统理论将随机量看作是在一定范围内变化的灰色量，按适当的办法将原始数据进行处理，将灰色数变换为生成数，从生成数进而得到规律性较强的生成函数。例如，某些系统的数据经处理后呈现出指数规律，这是由于大多数系统都是广义的能量系统，而指数规律是能量变化的一种规律。第34页，课件共130页，创作于2023年2月灰色系统理论的量化基础是生成数，从而突破了概率统计的局限性，使其结果不再是过去依据大量数据得到的经验性的统计规律，而是现实性的生成律。这种使灰色系统变得尽量清晰明了的过程被称为白化。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。第35页，课件共130页，创作于2023年2月362023年7月15日

灰数的概念及其表示法第36页，课件共130页，创作于2023年2月372023年7月15日

第37页，课件共130页，创作于2023年2月§2灰色关联分析大千世界里的客观事物往往现象复杂，因素繁多。我们往往需要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键和起点。因素分析的基本方法过去主要采取回归分析等办法。正如前面指出的，回归分析的办法有很多欠缺，如要求大量数据、计算量大及可能出现反常情况等。为克服以上弊病，可采用关联度分析的办法来做系统分析。第38页，课件共130页，创作于2023年2月392023年7月15日

(1)单因子的情况第39页，课件共130页，创作于2023年2月则参考数列对于各比较数列间的绝对差为记称之为差数列.于是,可以定义比较数列对参考数列在第点的灰关联系数为第40页，课件共130页，创作于2023年2月412023年7月15日

第41页，课件共130页，创作于2023年2月由（2）易看出，关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，亦即把过于分散的信息集中处理。利用关联度这个概念，我们可以对各种问题进行因素分析。考虑下面的问题。例1通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查,获得其1982年至1986年每年最好成绩及16项专项素质和身体素质的时间序列资料，见表2，试对此铅球运动员的专项成绩进行因素分析第42页，课件共130页，创作于2023年2月表2各项成绩数据19821983198419851986铅球专项成绩0x13.614.0114.5415.6415.694kg前抛1x11.5013.0015.1515.3015.024kg后抛2x13.7616.3616.9016.5617.304kg原地3x12.4112.7013.9614.0413.46立定跳远4x2.482.492.562.642.59高翻5x858590100105抓举6x5565758080卧推7x65707585903kg前抛8x12.8015.3016.2416.4017.053kg后抛9x15.3018.4018.7517.9519.303kg原地10x12.7114.5014.6615.8815.703kg滑步11x14.7815.5416.0316.8717.82立定三级跳远12x7.647.567.767.547.70全蹲13x120125130140140挺举14x808590909530米起跑15x4’’24’’254’’14’’063’’99100米16x13’’113’’4212’’8512’’7212’’56第43页，课件共130页，创作于2023年2月在利用（1）式及（2）式计算关联度之前，我们需对表2的各个数列做初始化处理。一般来讲，实际问题中的不同数列往往具有不同的量纲，而我们在计算关联系数时，要求量纲要相同。因此，需首先对各种数据进行无量纲化。另外，为了易于比较，要求所有数列有公共的交点。为了解决上述两个问题，我们对给定数列进行变换。定义4给定数列,称

为原始数列的初始化数列.

这样，我们可对表2中的17个数列进行初始化处理。注意，对于前15个数列，随着时间的增加，数值的增加意味着运动水平的进步，而对后2个数列来讲，随着时间的增加，数值（秒数）的减少却意味着运动水平的进步。第44页，课件共130页，创作于2023年2月因此，在对数列及进行初始化处理时，采取以下公式依照问题的要求，我们自然选取铅球运动员专项成绩作为参考数列，将表2中的各个数列的初始化数列代入（1）及（2）式，易算出各数列的关联度如下表（这里=0.5）。表3关联度计算结果

1r2r3r4r5r6r7r8r0.5880.6630.8540.7760.8550.5020.6590.5829r10r11r12r13r14r15r16r0.6830.6960.8960.7050.9330.8470.7450.726第45页，课件共130页，创作于2023年2月计算的MATLAB程序如下：clc,clearloadx.txt%把原始数据存放在纯文本文件x.txt中fori=1:15x(i,:)=x(i,:)/x(i,1);%标准化数据endfori=16:17x(i,:)=x(i,1)./x(i,:);%标准化数据enddata=x;n=size(data,1);ck=data(1,:);m1=size(ck,1);bj=data(2:n,:);m2=size(bj,1);第46页，课件共130页，创作于2023年2月fori=1:m1forj=1:m2t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:);endjc1=min(min(abs(t')));jc2=max(max(abs(t')));rho=0.5;ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2);rt=sum(ksi')/size(ksi,2);r(i,:)=rt;endr[rs,rind]=sort(r,'descend')%对关联度进行排序第47页，课件共130页，创作于2023年2月r=[0.58810.66270.85360.77630.85490.50220.65920.58200.68310.69580.89550.70470.93340.84670.69700.8258]rs=[0.93340.89550.85490.85360.84670.82580.77630.70470.69700.69580.68310.66270.65920.58810.58200.5022]rind=[13115314164121510927186]易看出，影响铅球专项成绩的前八项主要因素依次为全蹲、3kg滑步、高翻、4kg原地、挺举、立定跳远、30米起跳、100米成绩。因此，在训练中应着重考虑安排这八项指标的练习。这样可减少训练的盲目性，提高训练效果。第48页，课件共130页，创作于2023年2月492023年7月15日(2)多因子的情况第49页，课件共130页，创作于2023年2月以灰关联因子集中的一个因子为参考数列.以任意因子为比较数列,则二者间的绝对差为相应的差数列为于是,比较数列对参考数列在第点的灰关联系数为第50页，课件共130页，创作于2023年2月512023年7月15日

§3.灰色生成数列

灰色系统理论把一切随机量都看作灰色数—即在指定范围内变化的所有白色数的全体。对灰色数的处理不是找概率分布或求统计规律，而是利用数据处理的办法去寻找数据间的规律。通过对数列中的数据进行处理，产生新的数列，以此来挖掘和寻找数的规律性的方法，叫做数的生成。第51页，课件共130页，创作于2023年2月

常用的灰色系统数据生成方式有:

累加生成,累减生成,均值生成等:累加生成简记AGO（AccumulatedGeneratingOperation）累减生成简记IAGO（InverseAccumulatedGeneratingOperation）均值生成

第52页，课件共130页，创作于2023年2月532023年7月15日（1）累加生成数列

第53页，课件共130页，创作于2023年2月542023年7月15日（3）式中上标（1）表示1次累加生成，记作1—AGO。在一次累加数列x(1)的基础上再做1次累加生成，可得到2次累加生成，记作2—AGO。依次下去，对原始数列x(0)，我们可做r次累加生成，记作r—AGO，第54页，课件共130页，创作于2023年2月累加生成计算示例例：x(0)=(x(0)(k)︱k=1，2，3，4，5)=x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，x(0)(4)，x(0)(5)=(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8)

求x(1)(k)解：第55页，课件共130页，创作于2023年2月第56页，课件共130页，创作于2023年2月累加生成的特点

一般经济数列都是非负数列。累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。原始数列作图1—AGO作图某市的汽车销售量递增的规律

第57页，课件共130页，创作于2023年2月原始数列作图1—AGO作图有明显的指数关系的规律

某钢厂产量某地区作物产量s型变化规律

第58页，课件共130页，创作于2023年2月累加生成模型

经累加生成后，如果能较强的规律，并且接近某一函数，则该函数成为生成函数。生成函数就是一种模型，称为生成模型。通过累加获得的模型称为累加生成模型。图例：第59页，课件共130页，创作于2023年2月602023年7月15日(2)累减生成数列

第60页，课件共130页，创作于2023年2月2、计算示例第61页，课件共130页，创作于2023年2月622023年7月15日(3)均值生成数列

第62页，课件共130页，创作于2023年2月632023年7月15日第63页，课件共130页，创作于2023年2月642023年7月15日

灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。G表示grey（灰色），M表示model（模型）§4灰色模型ＧＭ(1,N)第64页，课件共130页，创作于2023年2月652023年7月15日（1）GM(1,1)的定义

1.GM(1,1)模型GM（1，1）表示1阶的、1个变量的模型。第65页，课件共130页，创作于2023年2月662023年7月15日

1.GM(1,1)模型---GM(1,1)模型定义第66页，课件共130页，创作于2023年2月672023年7月15日第67页，课件共130页，创作于2023年2月682023年7月15日第68页，课件共130页，创作于2023年2月692023年7月15日GM(1,1)的白化型第69页，课件共130页，创作于2023年2月值得注意的是：GM(1,1)的白化型（6）并不是由GM(1,1)的灰微分方程直接推导出来的，它仅仅是一种“借用”或“白化默认”。另一方面，GM(1,1)的白化型是一个真正的微分方程，如果白化型模型精度高，则表明所用数列建立的模型GM(1,1)与真正的微分方程模型吻合较好，反之亦然。第70页，课件共130页，创作于2023年2月712023年7月15日

2.GM(1,N)模型----GM(1,N)的定义

第71页，课件共130页，创作于2023年2月722023年7月15日第72页，课件共130页，创作于2023年2月732023年7月15日第73页，课件共130页，创作于2023年2月742023年7月15日第74页，课件共130页，创作于2023年2月如果为奇异矩阵（例如当n−1<N时），即不存在，则此时uˆ

不能用（8）式确定。但注意到uˆ

的元素实际上是各子因素对主因素影响大小的反映，因此，我们可以引入加权矩阵，使对各因素的未来发展趋势进行调整控制。对于未来发展减弱趋势的因素赋予较大的权值，而对于未来增强趋势的因素赋予较小的权值，使之更好地反映未来的实际情况。此时，计算向量uˆ

可采用下面的公式第75页，课件共130页，创作于2023年2月762023年7月15日

2.GM(1,N)模型----GM(1,N)的白化型

第76页，课件共130页，创作于2023年2月3、灰色预测方法772023年7月15日

灰色预测是指利用GM模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中GM(1,1)模型来进行处理。灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。第77页，课件共130页，创作于2023年2月782023年7月15日

1).灰色预测的一般方法第78页，课件共130页，创作于2023年2月792023年7月15日第79页，课件共130页，创作于2023年2月802023年7月15日第80页，课件共130页，创作于2023年2月

通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色预测。

1.数据的预处理首先我们从一个简单例子来考察问题.

【例1】

设原始数据序列x0=[6,3,8,10,7]%原始数据序列第81页，课件共130页，创作于2023年2月对数据累加于是得到一个新数据序列x1=cumsum(x0)%进行累加得到一个新数据序列第82页，课件共130页，创作于2023年2月

归纳上面的式子可写为

称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成.显然有

将上述例子中的分别做成图1、图2.可见图1上的曲线有明显的摆动，图2呈现逐渐递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成数列第83页，课件共130页，创作于2023年2月图2

图1

为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中

t=1:5,subplot(1,2,1),plot(t,x0,t,x0,'o'),axis([06035]),subplot(1,2,2),plot(t,x1,t,x1,'o'),axis([06035])第84页，课件共130页，创作于2023年2月归纳上面的式子得到如下结果：一次后减其中第85页，课件共130页，创作于2023年2月2.建模原理给定观测数据列经一次累加得设满足一阶常微分方程（1）

（2）

（3）

其中a是常数，称为发展灰数；u称为内生控制灰数(或内生变量)，是对系统的常定输入。第86页，课件共130页，创作于2023年2月

此方程满足初始条件的解为(3)’

对等间隔取样的离散值(注意到）则为

(4)

灰色建模的途径是一次累加序列（2）通过最小二乘法来估计常数a与u.symsxaut0x0s=dsolve('Dx+a*x-u=0','x(t0)=x0')第87页，课件共130页，创作于2023年2月因

留作初值用，故将

用差分代替微分，又因等间隔取样，

分别代入方程(3),故得

类似地有于是，由式（3）有

方程(3),第88页，课件共130页，创作于2023年2月由于

涉及到累加列

的两个时刻的值，因此，

取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将

替换为

把

项移到右边，并写成向量的数量积形式

(5)

第89页，课件共130页，创作于2023年2月将（5）写为矩阵表达式令这里，T表示转置.(6)

alpha=0.5,n=length(x0)z1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)%求邻值生成值第90页，课件共130页，创作于2023年2月则(6)式的矩阵形式为方程组(6)’的最小二乘估计为

(6)’(7)B=Y=x0(2:n);B=[-z1',ones(n-1,1)],ab=B\Y'令第91页，课件共130页，创作于2023年2月把估计值

代入（4）式得时间响应方程由(8)式算得的

是拟合值；

为预报值.这是相对于一次累加序列

的拟合值，用后减运算还原，

就可得原始序列

的拟合值

可得原始序列

预报值.(8)

x_hat=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*(exp(-ab(1)*n)-exp(-ab(1)*(n-1)))fori=1:1:nx_hat(i)=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*(exp(-ab(1)*i)-exp(-ab(1)*(i-1)))end第92页，课件共130页，创作于2023年2月3.精度检验

(1)残差检验：分别计算第93页，课件共130页，创作于2023年2月第94页，课件共130页，创作于2023年2月第95页，课件共130页，创作于2023年2月第96页，课件共130页，创作于2023年2月第97页，课件共130页，创作于2023年2月（3）预测精度等级对照表，见表1.

表1等级对照表第98页，课件共130页，创作于2023年2月4、预测预报所建立的GM(1,1)模型通过了所有的检验，则可以应用与预测了。实际问题中往往预报时的值，只需要在(4)式中令即可。第99页，课件共130页，创作于2023年2月

由于模型是基于一阶常微分方程（3）建立的，故称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是，建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增的目的.如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整体提升”处理.

注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常微分方程（3）.第100页，课件共130页，创作于2023年2月灰色预测计算实例例北方某城市1986～1992年道路交通噪声平均声级数据见表6表6市近年来交通噪声数据[dB(A)]序号年份eqL1198671.12198772.43198872.44198972.15199071.46199172.07199271.6第一步:级比检验建立交通噪声平均声级数据时间序列如下：=(71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6)x0=[71.172.472.472.171.472.071.6];第101页，课件共130页，创作于2023年2月（1）求级比λ(k)

=(0.982,1,1.0042,1.0098,0.9917,1.0056)（2）级比判断由于所有的λ(k)∈[0.982,1.0098]，k=2,3,,7，故可以用x(0)作满意的GM（1，1）建模。n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda)第102页，课件共130页，创作于2023年2月第二步:GM（1，1）建模（1）对原始数据作一次累加，即

=(71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503）（2）构造数据矩阵B及数据向量Yx1=cumsum(x0)fori=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));endB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];Y=x0(2:n)';第103页，课件共130页，创作于2023年2月（3）计算uˆ（4）建立模型于是得到a=0.0023，b=72.6573u=B\Y求解得x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});digits(6),y=vpa(x)%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解第104页，课件共130页，创作于2023年2月（5）求生成数列值及模型还原值：令k=1,2,3,4,5,6,由上面的时间响应函数可算得，其中取由取k=2,3,4,,7，得

(71.1,72.4,72.2,72.1,71.9,71.7,71.6)yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);yuce=[x0(1),diff(yuce1)]第105页，课件共130页，创作于2023年2月模型的各种检验指标值的计算结果见表7.表7GM(1,1)模型检验表序号年份原始值模型值残差相对误差级比偏差1198671.171.1002198772.472.4-0.00570.01%0.00233198872.472.20.16380.23%0.02034198972.172.10.03290.05%-0.00185199071.471.9-0.49840.7%-0.00746199172.071.70.26990.37%0.01077199271.671.60.03780.05%-0.0032经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。第三步:模型检验epsilon=x0-yuce%计算残差delta=abs(epsilon./x0)%计算相对误差rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda%计算级比偏差值第106页，课件共130页，创作于2023年2月计算的MATLAB程序如下：clc,clearx0=[71.172.472.472.171.472.071.6];n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda)x1=cumsum(x0)fori=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));endB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];Y=x0(2:n)';第107页，课件共130页，创作于2023年2月u=B\Yx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);digits(6),y=vpa(x)%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解yuce=[x0(1),diff(yuce1)]epsilon=x0-yuce%计算残差delta=abs(epsilon./x0)%计算相对误差rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda%计算级比偏差值第108页，课件共130页，创作于2023年2月四、灰色预测建模实例SARS疫情对某些经济指标的影响问题1.问题的提出

2003年的SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是明显的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响，直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务业等。很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS疫情较严重的某市商品零售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量的评估分析。第109页，课件共130页，创作于2023年2月年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月199783.079.878.185.186.688.290.386.793.392.590.996.91998101.785.187.891.693.494.597.499.5104.2102.3101.0123.5199992.2114.093.3101.0103.5105.2109.5109.2109.6111.2121.7131.32000105.0125.7106.6116.0117.6118.0121.7118.712O.2127.8121.8121.92001139.3129.5122.5124.5135.713O.8138.7133.7136.8138.9129.6133.72002137.5135.3133.0133.4142.8141.6142.9147.3159.6162.1153.5155.92003163.2159.7158.4145.2124144.1157162.6171.8180.7173.5176.5表1商品的零售额(单位：亿元)

究竟SARS疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997年1月到2003年12月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表1、表2和表3。第110页，课件共130页，创作于2023年2月年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月19979.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.619989.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9199910.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.5200011.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.5200111.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.7200213.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.9200315.417.123.5l1.61.782.618.816.220.124.926.521.8表2接待海外旅游人数(单位：万人)第111页，课件共130页，创作于2023年2月年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月l99796l44l94276383466554652747832972199811116923540045956569580588110111139l99915123833542554164173986697510871238200016426337653160071191310381173129614972001182318445576708856100011451292143516672002216361504642818979114213051479164419202003241404584741923111412981492168418852218表3综合服务业累计数据(单位：亿元)试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003年SARS疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响．第112页，课件共130页，创作于2023年2月2模型的分析与假设根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：（1）利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由1997－2002年的平均值预测2003年平均值；第113页，课件共130页，创作于2023年2月（2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS疫情实际造成的影响。给出下面两条假设：（1）假设该市的统计数据都是可靠准确的；（2）假设该市在SARS疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。第114页，课件共130页，创作于2023年2月3建立灰色预测模型GM(1,1)第115页，课件共130页，创作于2023年2月第116页，课件共130页，创作于2023年2月第117页，课件共130页，创作于2023年2月4模型的求解第118页，课件共130页，创作于2023年2月将预测值与实际统计值进行比较如表4所示。表42003年商品的零售额（单位：亿元）结果分析第119页，课件共130页，创作于2023年2月计算的MATLAB程序如下：clearloadhan1.txt%把原始数据保存在纯文本文件han1.txt中han1(end,:)=[];%由于2003年的值要预测，删除矩阵的最后一行m=size(han1,2);%求矩阵的列数x0=mean(han1,2);%求矩阵每一行的均值x1=cumsum(x0)%对均值进行累加alpha=0.4;n=length(x0);z1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)%求邻值生成值Y=x0(2:n);B=[-z1,ones(n-1,1)];ab=B\Y%