老师课件高等代数

消元法n维向量空间线性相关性矩阵的秩线性方程组有解的判别定理线性方程组解的结构第三章线性方程组高等代数第三章、线性方程组(1).................................221

1

22

2

2n

n

ax

+

a

x

+

+

a

x

=

b

a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

=

b1在这一章我们研究线性方程组am1

x1

+

am

2

x2

+

+

amn

xn

=

bm从三个方面进行研究：①寻找线性方程组（1）有解的判别定理；②在线性方程组（1）有解的条件下，判定有多少解（唯一解，无穷多解）以及如何求解；③在线性方程组（1）有无穷多解条件下，研究解与解之间的关系。高等代数第三章、线性方程组§3.1

消元法1

2

32

x1

+

x2

+

x3

=

33

x

+

2

x

-

5

x

=

11一、线性方程组的消元解法例1

解线性方程组

x1

+

3

x2

-

2

x3

=

4高等代数§3.1

消元法高等代数§3.1

消元法在用消元法对方程组进行求解的过程中，我们反复对方程组施行以下三种变换①

交换某两个方程的位置；② 用非零常数k乘某个方程的两边；③

对某个方程两边同乘以某个常数l后再加到另一个方程上。这三种变换统称为线性方程组的初等变换。线性方程组的初等变换不改变方程组的解高等代数§3.1

消元法线性方程组消元解法的基本思想：首先逐步消元将方程组化成阶梯形方程组，然后依次回代，求出线性方程组的解。2x1

+

x2

+

x3

=

33x1

+

2x2

-

5x3

=

11

x1

+

3x2

-

2x3

=

43x1

+

3x2

-

2x3

=

4x2

-

x3

=1-

6x

=

61

2

31

2

3x1

+

3x2

-

2x3

=

43x

+

2x

+

x

=

52x

+

x

+

x

=

32x1

+

x2

+

x3

=

33x1

+

2x2

-

5x3

=

11

x1

+

3x2

-

2x3

=

41

2

3x1

+

3x2

-

2x3

=

43x

+

2x

+

x

=

82x

+

x

+

x

=

3

1

2

33x1

+

3x2

-

2x3

=

4x2

-

x3

=1-

6x

=

62x1

+

3x2

-

2x3

=

4x

-

x

=130

=

02x1

+

3x2

-

2x3

=

4x

-

x

=130

=

3定义1

由m

·

n个数排成的

m

行

n

列的矩形数表mn

a

a

am1

m

2a2n

a1n

a11

a12

a21

a22称为一个m

·

n矩阵。一般地用A，B，C…..表示矩阵。可简记为A

=(aij)m·n[注]1)矩阵与行列式在形式上很相似，但在实质上有本质的区别。高等代数§3.1

消元法（1）行列式的结果是数，而矩阵是矩形数表，一般地A

„k;（2）行列式的行数及列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以相等，也可以不相等。当矩阵A的行数与列数相等时，称矩阵A为n阶矩阵，此时称由矩阵A的元素构成的行列式为矩阵A的行列式，记作A

.高等代数§3.1

消元法元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为：O或Om×n。若中所有元素非负，即aij≥0，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n。称矩阵A为非负矩阵m·nA

=

(aij高等代数§3.1

消元法定义3.2如果两个矩阵A、B具有相同的行数及相同的列数，并且对应的每一个元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。即，若A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，且aij=bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…n），则A=B。高等代数§3.1

消元法高等代数§3.1

消元法定义3

对矩阵

A

=

(aij

)m·n

施行以下三种变换：①交换A某两行(列)元素的位置；② 用非零常数k乘A某行(列)；③把A某行(列)乘以常数k后再加另一行(列)上。矩阵的这三种变换统称为矩阵的初等变换.对矩阵的行施行的初等变换称为矩阵的初等行变换；对矩阵的列施行的初等变换称为矩阵的初等列变换。对矩阵A施行初等变换后得到的矩阵B,则BB.与A一般地不相等，则记作A

fi初等变换不改变矩阵的行数及列数。线性方程组消元解法的思想是：将线性方程组所有的系数及常数构成一个矩阵,然后对它施行初等行变换将其化成阶梯形矩阵,再进一步化成行简化阶梯形矩阵，从而求解。高等代数§3.1

消元法阶梯形矩阵的特点：①自上而下的各行中，第一个非零元素（称为首非零元）左边零的个数随着行数的增加而增加；②元素全为零元素的行（如果有的话）位于矩阵的最下面。首非零元所在的列除了首非零元为1外，其余元素均为零的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵。高等代数§3.1

消元法(1)....................................线性方程组am1

x1

+

am

2

x2

+

+

amn

xn

=

bm

a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

=

b1

a21

x1

+

a22

x2

+

+

a2n

xn

=

b2称mn

a

a

am

2m1a2n

A

=

a21a1n

a11

a12a22为方程组（1）的系数矩阵。高等代数§3.1

消元法

m

a

a

a

bm1

m

2

mn称A

=

a21b1

a1na2n

a11

a12a22b2

为方程组（1）

的增广矩阵。1

2

3

4

53

x1

+

9

x2

+

4

x3

-

5

x4

+

x5

=

5=

2

x

+

3

x

-

2

x

-

x

-

x

=

-1例1

解线性方程组

2

x1

+

6

x2

+

x3

-

3

x4

x1

+

3

x2

+

3

x3

-

2

x4

+

x5

=

3高等代数§3.1

消元法二、线性方程组解的情况(1)...........................................am1

x1

+

am

2

x2

+

+

amn

xn

=

bm

a21

x1

+

a22

x2

+

+

a2n

xn

=

b2

a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

=

b1的增广矩阵为m

mn

a

a

a

bm

2m1a2n

b2

A

=

a21b1

a1n

a11

a12a22高等代数§3.1

消元法0

00

0

0

0

a¢

a¢

a¢

a¢

a¢

b

11

12

1r

1r

+1

1n

1¢

0

a¢22

a1¢r

a2¢r

1

a2¢n

b2¢

+

0

0

a¢

a¢

a¢

b¢

A

初等行变换fi

rr

rr

+1

rn

r

(2)

0

0

0

0

0

br¢+1

相对应的方程组为a2¢2

x2

+

a2¢r

xr

+

a2¢n

xn

=

b2¢....................................................ar¢r

xr

+

ar¢n

xn

=

br¢0

=

br¢+1

a11

x1

+

a12

x1

a1r

xr

+

a1n

xn

=

b1

0

0

0

0

0

0

aii

„

0

i

=

1,2,r高等代数§3.1

消元法讨论方程组的解的情况：当br

+1

„0时，第r+1个方程是矛盾方程，故原方程组无解；当br

+1

=0

时，原方程组有解。a2¢2

x2

+

+

a2¢n

xn

=

b2¢....................................an¢n

xn

=

bn¢讨论方程组有解的情况：①当r

=n时，方程组可以写成：

a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

=

b1因为

aii

„

0(i=

1,2,r

)，由克拉默法则，原方程组有唯一解。高等代数§3.1

消元法②当r

<n时，对原方程组的增广矩阵继续进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵：(3)0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

000c1r

+1c1n

d1

10c2r

+1c2n

d2

01crr

+1crn

dr

A初等行变换fi

0高等代数§3.1

消元法

x2

=

d2

-

c2r

+1

xr

+1

-

-

c2n

xn原方程组可以写成：

x1

=

d1

-

c1r

+1

xr

+1

-

-

c1n

xn....................................高等代数§3.1

消元法

xr

=

dr

-

crr

+1

xr

+1

-

-

crn

xnxr

+1

,xr

+2

,

xn

为自由未知量，故原方程组有无穷多解令xr

+1

=

kr

+1

,

xr

+2

=

kr

+2

,...,

xn

=

kn则线性方程组的全部解（通解）可以写成：rknkkr

+1

,kr

+2

,...,kn为任意常数。kr

+2.......r

+1r

+1

x

xxn

=

xr

+2

=r

rr+1

r

+1=

x

=

d

-

c

k

-

c

k

-...-

c

krr+2

r

+2

rn

n2

=

d2

-

c2r

+1kr

+1

-

c2r

+2

kr

+2

-...-

c2nkn......

x1

=

d1

-

c1r

+1kr

+1

-

c1r

+2

kr

+2

-...-

c1n

kn线性方程组有无穷多解小结：线性方程组消元解法的思路：对于线性方程组（1）的增广矩阵施行初等行变换，先将其化成阶梯形矩阵(2)，若br

+1

„0则原方程组无解；若br

+1

=0

，则原方程组有解，此时对增广矩阵继续施行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵（3）；若n

=r，则方程组有唯一解；若r

<n

，判断出方程组的自由未知量的个数，从而求出线性方程组的全部解。高等代数§3.1

消元法2

x1

+

6

x2

-

3

x3

-

3

x4

=

l

+

1x1

-

5

x2

+

2

x3

+

x4

=

-1例3

线性方程组3

x1

+

x2

-

x3

-

2

x4

=

2当l

为何值时，方程组无解，当方程组有解，并求出其解。l为何值时高等代数§3.1

消元法三、齐次线性方程组(2)....................................am1

x1

+

am

2

x2

+

+

amn

xn

=

0

a21

x1

+

a22

x2

+

+

a2n

xn

=

0

a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

=

0高等代数§3.1

消元法21mna1n2n

a11

a12220